借助幾何直觀　架構(gòu)思維橋梁

屈婷　袁凌云

幾何直觀是借助“幾何”手段描述問題、分析問題，從而得出結(jié)果。借助幾何直觀，可以將抽象的問題形象化，使隱性的思維可視化。如何提高學(xué)生的幾何直觀能力？

一、夯實(shí)畫圖技能，培養(yǎng)幾何表征能力

幾何直觀作為一種手段，不能直接作為工具被使用。在教學(xué)中，教師要教給學(xué)生一些畫圖技巧，培養(yǎng)學(xué)生利用圖的直觀表征問題中的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的能力。在學(xué)生明確兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理之后，筆者進(jìn)行了如下教學(xué)：

師：筆算14×12時，先算什么？再算什么？

生1：先算14×2=28，再算14×10=140，最后把兩部分積加起來得到168。

師：在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)時，我們借助點(diǎn)子圖明確了先算什么、再算什么。如果用一個長方形表示14×12的積，如下圖，你能把它分割成兩部分，并說說哪部分表示14×2，哪部分表示14×10嗎？

筆者展示學(xué)生的畫法，并根據(jù)學(xué)生的解釋標(biāo)上相應(yīng)數(shù)據(jù)。

師：上面3種分法都對嗎？

生2：第2種分法不對，14和10不能一樣長。

師：如下圖，如果老師給第一幅圖添一條線段再分割一下，你能看出這4部分分別表示幾乘幾嗎？

生3（指著圖形）：10×10，10×2，10×4，2×4。

師：在筆算14×12時，我們實(shí)際上乘了4次。哪部分的面積最大？哪部分面積最?。繛槭裁?？

生4：A部分是兩個整十?dāng)?shù)相乘，面積最大，D部分是兩個一位數(shù)相乘，面積最小。

師：試著用這樣的長方形面積圖表示14×12的每一步計(jì)算過程，想一想，畫的時候有什么要注意的？

生5：長邊表示大一點(diǎn)的數(shù)，短邊表示小一點(diǎn)的數(shù)。如果有相等的數(shù)，邊的長短要畫一樣長。

生6：不一定要畫那么精確，能表示意思就可以了。

教學(xué)中，筆者先出示形象的點(diǎn)子圖，然后過渡到抽象的矩形圖，再到能表征兩位數(shù)乘兩位數(shù)每一步算理的結(jié)構(gòu)圖，降低了學(xué)生用圖形表征的難度。在分割長方形面積的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了抽象算式的“圖形化”，提升了將數(shù)的運(yùn)算關(guān)系與圖形結(jié)構(gòu)匹配的能力。

二、架構(gòu)思維橋梁，提升圖形分析能力

幾何直觀的最大優(yōu)勢是“直觀”， 即跳開計(jì)算，能直接“看”出結(jié)果。教師要善于打通形象思維與抽象思維之間的通道，提升學(xué)生憑借幾何直觀對研究對象進(jìn)行思考的能力。當(dāng)學(xué)生會使用面積模型表征兩位數(shù)乘兩位數(shù)后，筆者再引導(dǎo)學(xué)生依托圖形探究乘法計(jì)算中的規(guī)律。

師：如果用2、3、4、5組成兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，怎樣使乘積最大？以小組為單位，借助圖形研究一下。

生1：我們發(fā)現(xiàn)，5和4都要放在十位，不能放在一起。

師：為什么？5和4都放在十位，相乘得出的是哪個圖形的面積？長方形的面積由哪幾個因素決定？

生2：十位數(shù)字相乘得到的是A部分的面積，要使乘積最大，就需要將最大的數(shù)字分開放。

生3：要使A面積足夠大，不能只看長，或者只看寬，長和寬要一起看。

師：這個大長方形由4個小長方形組成，為什么你們要把5和4分別放在十位？把5放在個位也能保證C部分的面積最大?。?/p>

生4：A部分的長和寬不管放哪個數(shù)字，它的面積都是最大的，要優(yōu)先考慮。

生5：整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)肯定比整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)大。既然這樣，肯定要用大一點(diǎn)的數(shù)字做A部分的長和寬，這樣才能保證兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘積盡量大。

師：以前遇到這類問題時，我們做了大量的計(jì)算，都沒能說清為什么要將5和4分開放。借助圖形，好像一下子就解釋清楚了?？磥恚瑘D形的威力還是挺大的。

生6：我們也確定了十位的數(shù)字，個位數(shù)字不知道怎么放能保證乘積最大。

生7：我們比較了一下，B部分的長是50，C部分的長是40，50×3+40×2（230）比50×2+40×3（220）更大，第三大的數(shù)要跟在第二大的數(shù)后面。

生8：D部分不管2和3怎么放，乘積都是6。

師：看來，A部分和D部分大家沒有爭議，B和C部分需要比較才能得出結(jié)論，原來最大數(shù)跟最小數(shù)、次大數(shù)跟次小數(shù)相乘的積最大才是最大的。

借助直觀的矩形圖，發(fā)現(xiàn)如何寫出乘積最大的兩位數(shù)乘兩位數(shù)算式，屬于以幾何圖形為載體的幾何直觀，綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的領(lǐng)悟能力要求更高。4個數(shù)字如何放置的規(guī)律，巧妙融入5個矩形之間的面積關(guān)系之中，既需要兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理來支撐，又需聯(lián)系長方形的面積進(jìn)行思考。筆者啟迪學(xué)生把“數(shù)與形”結(jié)合起來觀察、思考，透過現(xiàn)象看到本質(zhì)。長方形面積大小由長、寬的長度決定，積的大小由兩個乘數(shù)的大小決定，大長方形的面積取決于4個小長方形的面積和，最大數(shù)字和較大數(shù)字放在十位，就能保證最大塊的面積最大，這樣就將圖形與算式的內(nèi)在結(jié)構(gòu)統(tǒng)一起來了，讓學(xué)生借助圖形提升了分析能力。

三、啟發(fā)想象創(chuàng)造，發(fā)展直觀洞察能力

在教學(xué)中，教師要啟發(fā)學(xué)生對圖形進(jìn)行想象與再創(chuàng)造，將隱藏在圖形背后的關(guān)系精細(xì)化，發(fā)展學(xué)生的直觀洞察能力。對于B部分和C部分的面積誰應(yīng)該優(yōu)先考慮，能不能借助直觀圖看出來，筆者引導(dǎo)學(xué)生有意識地在矩形圖上進(jìn)行創(chuàng)造。

師：兩位數(shù)的十位分別放哪些數(shù)字，我們能夠確定，放個位數(shù)字時要試驗(yàn)兩次，那么問題出在哪里？

生1：B部分和C部分。

師（取下第二幅圖B的板貼，與第一幅B部分重合，故作疑惑）：這兩部分到底有什么秘密？如果將2和3的位置互換一下，會發(fā)生什么變化？

生2（恍然大悟）：如下圖，我發(fā)現(xiàn)把3和2換個位置，用50×2，就會少了這一塊（B部分的陰影部分），用40×3，就會多這一塊（C部分的陰影部分），3當(dāng)然跟50乘更大，就只能跟在40后面了。

師：少的這塊面積是幾乘幾？多的這一塊呢？

生3：少的面積是1×50，多的面積是1×40。

師：對，寬是1的長方形，當(dāng)然長越大，面積越大。

為什么“52×43”的乘積最大？兩個長方形，已知長分別是50和40，可搭配的寬是3和2，使面積和最大，如何匹配？實(shí)際上，這與“A部分的面積由最大數(shù)和次大數(shù)相乘就能保證乘積最大”有異曲同工之處。50和40分別作為制約B部分與C部分面積的一個因素，50比40更有優(yōu)勢，更容易與較大數(shù)相乘得到更大的面積，由此相加得到的面積和也會更大。

（作者單位：宜城市窯灣小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏