小學(xué)數(shù)學(xué)錯(cuò)題分析及應(yīng)用研究

王科崢

摘要：文章對(duì)小學(xué)一至六年級(jí)中的68個(gè)策略性知識(shí)典型錯(cuò)題的錯(cuò)因進(jìn)行分析，其因有受身心發(fā)展制約，未發(fā)現(xiàn)新舊情境中的細(xì)微差異導(dǎo)致錯(cuò)誤;由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的缺陷，導(dǎo)致解題策略的錯(cuò)誤推廣;學(xué)生對(duì)解讀問(wèn)題中的一些特殊要求存在困難，導(dǎo)致解題策略錯(cuò)誤;概念圖式不夠豐富，導(dǎo)致解決應(yīng)用策略的錯(cuò)誤。通過(guò)實(shí)踐提出三個(gè)干預(yù)策略：提前干預(yù)策略;過(guò)程性干預(yù)策略;錯(cuò)誤發(fā)生后的干預(yù)策略。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);策略性知識(shí);典型錯(cuò)題;錯(cuò)因分析;干預(yù)策略

如何合理、系統(tǒng)地利用“錯(cuò)誤資源”，達(dá)到輕負(fù)高質(zhì)的效果？這需要進(jìn)一步深入研究。筆者收集了小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年共298個(gè)典型錯(cuò)題。按錯(cuò)題的知識(shí)屬性分為陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和策略性知識(shí)三類(lèi)。其中屬于策略性知識(shí)典型錯(cuò)題有68個(gè)。本文對(duì)68個(gè)錯(cuò)題的錯(cuò)因進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)分析，在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了三個(gè)有效的干預(yù)策略。

一、策略性知識(shí)典型錯(cuò)題的原因分析

“典型錯(cuò)題”，指學(xué)生解數(shù)學(xué)題時(shí)，在口答、書(shū)面等練習(xí)中呈現(xiàn)出的錯(cuò)誤率較高（全班的錯(cuò)誤率≥15%）的數(shù)學(xué)題，如果錯(cuò)題的知識(shí)屬性是屬于策略性知識(shí)，筆者把這樣的錯(cuò)題定義為策略性典型錯(cuò)題。

（一）受身心發(fā)展制約，未發(fā)現(xiàn)新舊情境中的結(jié)構(gòu)性中細(xì)微差異導(dǎo)致錯(cuò)誤

[案例一]我的前面有9人，后面有5人，一共有多少人？學(xué)生的錯(cuò)誤解答為9+15= 14，錯(cuò)誤率為57.7%。

師：你認(rèn)為這樣做對(duì)嗎？

生：對(duì)的呀。

師：前面9人包括他嗎？后面呢？

生：不包括。

師：那說(shuō)明9+5 =14人是錯(cuò)的。錯(cuò)在哪里呢？

生：沒(méi)有加進(jìn)自己。

從訪談中看，對(duì)于9+5=14這種解題策略，學(xué)生還是堅(jiān)持自己是正確的。說(shuō)明學(xué)生掌握了求已知部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)這個(gè)陳述性知識(shí)，錯(cuò)誤原因在于題中有3個(gè)部分?jǐn)?shù)，而“我”這個(gè)部分?jǐn)?shù)比其他兩個(gè)部分?jǐn)?shù)更具有“隱性”因素，學(xué)生未能發(fā)現(xiàn)“新”的變化。

（二）由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的缺陷，導(dǎo)致解題策略的錯(cuò)誤推廣

[案例二]A盒中有25個(gè)玻璃球，B盒中的玻璃球個(gè)數(shù)比A多15個(gè)，B盒中的玻璃球個(gè)數(shù)比C盒多18個(gè)，B盒中有多少個(gè)？C合中有多少個(gè)？學(xué)生的錯(cuò)解出現(xiàn)在求C盒：40+ 18= 58（個(gè)），錯(cuò)誤率為34.3%。

生：B盒中的玻璃球個(gè)數(shù)比A多。（指著）“多”

師：你是看到了“多”，就想到了加法，老師是這樣教你們的嗎？

生：（笑笑）不是，老師說(shuō)什么大數(shù)，小數(shù)的。

師：那你為什么不用老師那個(gè)方法呢？

生：太麻煩了，這個(gè)容易。別人說(shuō)過(guò)，后來(lái)我也想到了。

分析一個(gè)量比另一個(gè)量多（少），需要分析出大數(shù)、小數(shù)、相差數(shù)，然后找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，即大數(shù)=小數(shù)+相差數(shù)，小數(shù)=大數(shù)一相差數(shù)，相差數(shù)=大數(shù)一小數(shù)。

（三）學(xué)生對(duì)認(rèn)識(shí)題中的一些特殊要求存在困難，導(dǎo)致解題策略的錯(cuò)誤

[案例三]從一張長(zhǎng)36厘米，寬20厘米的長(zhǎng)方形紙上剪下一個(gè)最大的正方形，求剩下部分圖形的周長(zhǎng)是多少？學(xué)生錯(cuò)解為（36+20）×2=112cm，

20×4=80cm.112 - 80= 32cm，錯(cuò)誤率為34%。

生：我先算長(zhǎng)方形周長(zhǎng)，再算正方形周長(zhǎng)，最后把兩個(gè)相減。

師：你是怎么想到可減的？

生：剩下的是周長(zhǎng)啊。

“求剩下的量，用減法?！边@是學(xué)生已多次應(yīng)用且正確的觀念。由于周長(zhǎng)計(jì)算的具有其特殊性，即“有限圖形周長(zhǎng)的不可加（減）性?！睂?duì)于這個(gè)知識(shí)的認(rèn)識(shí)完全顛覆了學(xué)生對(duì)求“剩下量”的認(rèn)識(shí)。

（四）由于概念圖式不夠豐富，缺乏聯(lián)系，導(dǎo)致解決應(yīng)用策略的錯(cuò)誤

[案例四]如圖1，根據(jù)圖形，畫(huà)出距離是8厘米的高。錯(cuò)誤率達(dá)84%。

生：題目里只說(shuō)畫(huà)8厘米的高，沒(méi)有說(shuō)要畫(huà)在哪條底上，我就按自己的習(xí)慣畫(huà)了這條。

師：畫(huà)好后，你想過(guò)這條高可能是8厘米嗎？

生：（低頭想，好一會(huì)兒），不對(duì)，應(yīng)該是斜邊長(zhǎng)一點(diǎn)。

師：你當(dāng)時(shí)怎么沒(méi)想到呢？

生：這個(gè)（指了指左邊的三角形），我畫(huà)出來(lái)后就再也沒(méi)想。 從學(xué)生的訪談中看，解決此題的3個(gè)知識(shí)點(diǎn)，即直角三角形的斜邊大于任何一條直角邊、畫(huà)高的技能、平行四邊形有兩類(lèi)高等，學(xué)生對(duì)此都明白的，技能也是掌握的。

二、策略性知識(shí)典型錯(cuò)題在教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）鋪墊性策略

鋪墊性策略，即有些錯(cuò)誤是學(xué)生在新知識(shí)學(xué)習(xí)前，由于原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)“缺陷”、技能缺失等因素引起思考的錯(cuò)誤，就要采用提前鋪墊，為學(xué)生奠定“正確想”的知識(shí)技能基礎(chǔ)。

1.加強(qiáng)陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)的教學(xué)，夯實(shí)“正確想”的知識(shí)基礎(chǔ)

在策略性知識(shí)的了解階段，陳述性知識(shí)顯得尤為重要。在轉(zhuǎn)化階段，程序性知識(shí)又起到了重要的作用。要注重在操作程序中“夯實(shí)”陳述性知識(shí)概念。

如案例二，是因?yàn)閷W(xué)生原有認(rèn)知里，知識(shí)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即看到“多”就用“加”，看到“少”就用“減”。所以我們應(yīng)該在新知教學(xué)前做好鋪墊。

首先建立正確的概念。題中的“多、少”與“加、減”運(yùn)算沒(méi)有直接的邏輯推理關(guān)系。其次建立正確其程序。第一步，知道（ ）與（

）比;第二步，比的結(jié)果（

）多、（

）少;第三步，求（ ）;第四步，確定解決方法。

2.加強(qiáng)“數(shù)學(xué)表示”直觀能力培養(yǎng)，奠定“怎么想”的技術(shù)基礎(chǔ)

小學(xué)生正處于由形象具體思維向抽象邏輯思維的過(guò)渡階段，在問(wèn)題解決中思維需要直觀的“數(shù)學(xué)表示”來(lái)支撐思考。這種能力要從低年級(jí)開(kāi)始培養(yǎng)。具體有三個(gè)方面：首先培養(yǎng)圖示與文字的轉(zhuǎn)化能力;其次，培養(yǎng)“符號(hào)”表示的能力;最后重視圖示與條件間匹配的能力。

（二）“過(guò)程性”干預(yù)策略

過(guò)程性干預(yù)策略，即在新知識(shí)學(xué)習(xí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程中，正對(duì)新知識(shí)的特點(diǎn)，找到學(xué)生的思維可能出現(xiàn)障礙、阻隔的地方，引入相應(yīng)的干預(yù)策略，突破難點(diǎn)，使學(xué)生頭腦中構(gòu)建起“怎么想”的正確思路和方法。

1.用題組對(duì)比顯示新舊知識(shí)概念差異，減少出錯(cuò)率

新舊知識(shí)在概念表述、題型結(jié)構(gòu)、思考方法等具有某種相似性，這種相似性掩蓋了其差異，而概念差異可能是學(xué)生思維出現(xiàn)阻隔、障礙的“節(jié)點(diǎn)”。在教學(xué)中破解新舊知識(shí)的差異是干預(yù)的重點(diǎn)，其最常用策略是題組對(duì)比。

如案例三，學(xué)生受到原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移，可以提供如下題組。

①甲比乙多5元，

②甲比乙多4/5元，

③甲比乙多4/5

通過(guò)對(duì)比，凸顯題①和題②都表示具體量。通過(guò)題②和題③的對(duì)比，重點(diǎn)突出③中4/5是“率”。

2.在解決多個(gè)概念融合的綜合題時(shí)需清晰概念，建立解決程序 一些策略性典型性錯(cuò)題干預(yù)后仍有較高的錯(cuò)誤率，如案例五。它在沒(méi)有干預(yù)教學(xué)之前的錯(cuò)誤率為53.4%，在實(shí)行干預(yù)策略后，大樣本數(shù)據(jù)測(cè)查的錯(cuò)誤還有33.3%，這就需要幫助學(xué)生清晰概念，建立關(guān)鍵程序。

一個(gè)數(shù)省略萬(wàn)后面的尾數(shù)是8萬(wàn)，這個(gè)數(shù)最大是（

），最小是（ ）。

要解決這個(gè)題目要抓住3個(gè)關(guān)鍵。

（1）近似數(shù)是一個(gè)區(qū)間。用數(shù)軸的直觀形式理解“區(qū)間”。

（2）要清晰“最大”和“最小”兩個(gè)含義。

（3）要明確清晰可具體操作的程序。要配直觀圖示（如圖2）。首先，要判清楚“舍”與“進(jìn)”的數(shù)位;其次，根據(jù)四舍五人中最大與最小的要排列出數(shù)字;最后，按照題目要求找到最大和最小的數(shù)。

（三）錯(cuò)誤產(chǎn)生后的糾錯(cuò)策略

1.發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因策略

策略性典型性錯(cuò)題的錯(cuò)因與陳述性、程序性知識(shí)屬性錯(cuò)題的錯(cuò)因相比，相對(duì)而言更為復(fù)雜，更為隱性。錯(cuò)誤要關(guān)注兩點(diǎn)：第一，“他（我）原來(lái)是怎么想的？”第二，“他（我）錯(cuò)在哪兒？”

（1）通過(guò)“說(shuō)”“寫(xiě)”等方式，認(rèn)識(shí)“他（我）原來(lái)是怎么想的”

當(dāng)錯(cuò)誤出現(xiàn)后應(yīng)尋找它的源頭，即思考的過(guò)程。思考過(guò)程具有隱性化。把它顯性化的策略說(shuō)和寫(xiě)。讓學(xué)生通過(guò)“聲音”表達(dá)自己的想，高年級(jí)的學(xué)生也可通過(guò)“寫(xiě)”（思考思路、思考依據(jù)）的方式表達(dá)自己是怎么想的。

（2）通過(guò)正確與錯(cuò)誤的方法對(duì)比，認(rèn)識(shí)“他（我）錯(cuò)在哪兒”

錯(cuò)誤思維方式往往帶有一定的隱蔽性和頑固性。僅靠教師的正面示范，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)，改變?cè)瓉?lái)的思維方法，效率會(huì)比較低。 2.矯正錯(cuò)誤策略 矯正錯(cuò)誤更重要的是矯正錯(cuò)誤的思考方式和思考方法。它僅僅靠訂正一個(gè)錯(cuò)誤的題目難以實(shí)現(xiàn)，需要在多種變式練習(xí)中完成。提供非概念變式練習(xí)題，凸顯出變中不變，及時(shí)鞏固正確的想法;還可以提供概念變式練習(xí)題，在這些變式題中的練習(xí)中，凸顯出變與不變的應(yīng)對(duì)方式，以達(dá)到融會(huì)貫通。

（1）提供非概念變式題，及時(shí)鞏固

提供相同類(lèi)型的習(xí)題，讓學(xué)生在解決這些習(xí)題中不斷強(qiáng)化正確的思考方式，以此弱化原有的思考方法。在這個(gè)過(guò)程中，不是以正確的解答為主要目的，而是改變思考方法為主，具體的方式，讓學(xué)生通過(guò)寫(xiě)、畫(huà)、說(shuō)等多種不同的方式來(lái)表達(dá)正確的思考方法。要增加與原題目的對(duì)比，凸顯出不變的方法。

（2）提供概念變式題，融會(huì)貫通

提供變式習(xí)題，這既能鞏固原有正確的思考方法，又能達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的作用。在這個(gè)過(guò)程中也要與原題的對(duì)比，凸顯出變化的地方及改變相應(yīng)的思考方法。

參考文獻(xiàn)

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