剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的兩種設(shè)計(jì)方法之比較

楊建花

摘? 要 中心對(duì)稱(chēng)圖形是初中數(shù)學(xué)中非常重要的教學(xué)內(nèi)容，有兩種方法可以設(shè)計(jì)剪中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)這兩種設(shè)計(jì)方法進(jìn)行分析，希望能夠提高教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué);中心對(duì)稱(chēng)圖形;實(shí)驗(yàn)教學(xué);數(shù)學(xué)思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2020）03-0097-03

1 前言

剪中心對(duì)稱(chēng)圖形是初中數(shù)學(xué)一種實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法，而實(shí)驗(yàn)教學(xué)是通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考開(kāi)展的教學(xué)活動(dòng)，目的是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。具體是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，使用合適的工具剪出中心對(duì)稱(chēng)圖形，而目前教學(xué)中常用的設(shè)計(jì)方法有兩種，即以模仿為基礎(chǔ)的理解型和以探究為基礎(chǔ)的探索型。這兩種剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的方法各有優(yōu)點(diǎn)，教師可結(jié)合實(shí)際教學(xué)需要、教學(xué)時(shí)間，選擇合適的方法對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，或是將兩種方法全部教給學(xué)生，在這個(gè)基礎(chǔ)上提高中心對(duì)稱(chēng)圖形的教學(xué)質(zhì)量。

2 剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的兩種設(shè)計(jì)方法片段記錄

在教學(xué)中心對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，相關(guān)的實(shí)踐或是實(shí)驗(yàn)課程會(huì)涉及中心對(duì)稱(chēng)圖形的裁剪問(wèn)題，教師通常采用兩種設(shè)計(jì)方法來(lái)剪出中心對(duì)稱(chēng)圖形，即理解型和探索型。筆者以實(shí)踐教學(xué)片段記錄為素材，淺析剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的兩種設(shè)計(jì)方法，具體內(nèi)容如下。

理解型

1）教師演示中心對(duì)稱(chēng)圖形的裁剪方法，由學(xué)生來(lái)說(shuō)明理由。教師按照?qǐng)D1的方法折疊長(zhǎng)方形紙片，而后按照?qǐng)D1-c所示方法在紙片上留下一個(gè)小孔，并且將紙片展開(kāi)，說(shuō)明這個(gè)孔具有哪一種對(duì)稱(chēng)性，并且說(shuō)明理由。

學(xué)生按照教師演示的方法合作完成以上步驟，且積極思考教師留下的問(wèn)題。有的學(xué)生認(rèn)為：兩個(gè)孔為中心對(duì)稱(chēng)圖形，這是根據(jù)折疊重合進(jìn)行推理得出的結(jié)論，即線(xiàn)段OA與OA1相等，∠AOB與∠A1OC相等，得出∠A1OA為180°與∠AOB的和減去∠A1OC，最終結(jié)果仍為180°，進(jìn)而得出點(diǎn)A與A1關(guān)于點(diǎn)O為中心對(duì)稱(chēng)的結(jié)論。

而后教師繼續(xù)演示，并提出問(wèn)題：按照?qǐng)D2的方法再留下一個(gè)孔，沿著兩個(gè)孔連接成線(xiàn)，并且沿著這條線(xiàn)剪下，可以得到一個(gè)怎樣的圖形？此時(shí)學(xué)生得出結(jié)論為平行四邊形。

2）學(xué)生嘗試自主剪出中心對(duì)稱(chēng)圖形。學(xué)生最為熟悉的中心對(duì)稱(chēng)圖形就是平行四邊形，教師結(jié)合這一點(diǎn)，要求學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，想一想還有哪些圖案不是平行四邊形，但是屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形？學(xué)生經(jīng)過(guò)多次嘗試，沒(méi)有總結(jié)出哪些圖形僅屬于中心對(duì)稱(chēng)圖形。

3）教師指導(dǎo)學(xué)生按照方法剪中心對(duì)稱(chēng)圖形。教師指導(dǎo)學(xué)生按照?qǐng)D3的方式剪一個(gè)正方形紙片，按照虛線(xiàn)將其剪開(kāi)，沿著對(duì)角線(xiàn)將其進(jìn)行兩次對(duì)折，而后將其中的兩層展開(kāi)，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形;同時(shí)將展開(kāi)的圖形剪下來(lái)，觀察這個(gè)圖形屬于哪一種對(duì)稱(chēng)，并且說(shuō)明理由。由于這個(gè)圖形的操作難度較高，學(xué)生操作的時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)。

學(xué)生經(jīng)過(guò)操作和思考，認(rèn)為該圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形。而后教師要求學(xué)生說(shuō)明理由。學(xué)生組織語(yǔ)言，給出理由：中間位置的小正方形，就等于是折疊長(zhǎng)方形紙片在其中間形成的正方形;中心的位置在折疊過(guò)程中出現(xiàn)四層重合，其余地方則是雙層重合，而雙層重合的地方剪出的圖形在展開(kāi)之后自然就是中心對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)于學(xué)生能夠總結(jié)出這樣的結(jié)論并且結(jié)論合理，教師應(yīng)表示鼓勵(lì)，并且?guī)椭鷮W(xué)生了解僅為中心對(duì)稱(chēng)的圖形。

4）理解裁剪方法后嘗試設(shè)計(jì)剪中心對(duì)稱(chēng)圖形。選擇一張正方形紙片，按照前文提到的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)并且剪出中心對(duì)稱(chēng)圖形，但該圖形需要為非軸對(duì)稱(chēng)圖形。如果課堂時(shí)間不足，這個(gè)環(huán)節(jié)可以留作課后作業(yè)，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，使其掌握剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的理解型方法。

探索型

1）教師可以允許學(xué)生實(shí)施無(wú)序的嘗試。教師指導(dǎo)學(xué)生可以嘗試使用長(zhǎng)方形紙片，利用折疊、裁剪和切開(kāi)等方法得到一個(gè)非軸對(duì)稱(chēng)的中心對(duì)稱(chēng)圖形。學(xué)生按照教師的指導(dǎo)，嘗試不同的折疊、裁剪方法，而后互相交流自己的心得和想法。教師詢(xún)問(wèn)學(xué)生是否得到符合要求的圖形，此時(shí)得到的回答是沒(méi)有剪出這樣的圖形;繼續(xù)提出疑問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生分析自己得出的圖形，總結(jié)困惑。大多數(shù)學(xué)生剪出的中心對(duì)稱(chēng)圖形同時(shí)屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形，而對(duì)稱(chēng)軸就是折疊線(xiàn)[1]。

2）利用實(shí)物探索剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的方法。教師準(zhǔn)備好等寬的矩形紙片和平行四邊形紙片，為便于觀察，準(zhǔn)備的矩形紙片兩面顏色要有所差別。兩個(gè)學(xué)生合作，分別拿著矩形和平行四邊形紙片，嘗試不同的方法對(duì)比兩張紙片，思考如何能夠一剪刀直接在矩形紙片上剪出平行四邊形？在學(xué)生思考和嘗試的過(guò)程中，教師需要不斷巡視，發(fā)現(xiàn)學(xué)生很快就想到了解決辦法，而后要求學(xué)生說(shuō)一說(shuō)自己的想法并進(jìn)行演示。學(xué)生對(duì)此的描述是：將矩形紙片繞成一個(gè)

環(huán)，環(huán)的邊界重合，將其與平行四邊形進(jìn)行對(duì)比，按照斜線(xiàn)的方式直接在重合的邊界裁剪一刀，而后將環(huán)展開(kāi)可得到平行四邊形。如果班級(jí)中有學(xué)生沒(méi)有完成任務(wù)，教師可以要求其他學(xué)生按照之前的演示裁剪，最終使所有學(xué)生都能夠得到一個(gè)平行四邊形。

在這個(gè)基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分析怎樣折疊才能夠得到平行四邊形？這時(shí)學(xué)生嘗試思考自己的操作與后面正確的操作之間的不同點(diǎn)，總結(jié)出不同顏色的面重合才有可能得到平行四邊形的短邊。而后教師繼續(xù)追問(wèn)：如何折疊才能實(shí)現(xiàn)不同顏色的面重合？教師還可以這個(gè)基礎(chǔ)上帶領(lǐng)學(xué)生探索更為優(yōu)化的裁剪方法。此時(shí)學(xué)生繼續(xù)思考，嘗試扭轉(zhuǎn)紙片，發(fā)現(xiàn)同樣可以得到平行四邊形，如圖4所示。

在完成以上教學(xué)環(huán)節(jié)之后，如果課堂時(shí)間充足，教師可以允許學(xué)生自由設(shè)計(jì)，剪出中心對(duì)稱(chēng)圖形;如果時(shí)間不允許，可以選擇布置課后作業(yè)的方式鞏固知識(shí)。

3 剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的兩種設(shè)計(jì)方法之比較

兩種方法的相同點(diǎn)

1）兩種方法都需要推理、操作以及證明等環(huán)節(jié)結(jié)合。兩種剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的設(shè)計(jì)方法都重視學(xué)生的獨(dú)立思考和動(dòng)手操作，在學(xué)生理性思考的同時(shí)加深他們的主觀感受。在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，構(gòu)建理解抽象知識(shí)的基礎(chǔ)，并且能夠通過(guò)適當(dāng)?shù)闹庇^操作掌握數(shù)學(xué)，是初中數(shù)學(xué)證明環(huán)節(jié)中不可缺少的重要步驟，是驗(yàn)證數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是否成功的關(guān)鍵，并且有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。兩種設(shè)計(jì)方法都具有很強(qiáng)的操作性和實(shí)踐性，這是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)非常明顯的外在特點(diǎn)，可培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)眼光去觀察、分析問(wèn)題，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)思維徹底解決問(wèn)題，最終達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及能力的教學(xué)目的。

2）兩種設(shè)計(jì)方法都為學(xué)生探究數(shù)學(xué)提供了機(jī)會(huì)。剪中心對(duì)稱(chēng)圖形是通過(guò)動(dòng)態(tài)的過(guò)程來(lái)展示靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)，以直觀的思維背景支持抽象的思維。在整個(gè)操作過(guò)程中，學(xué)生能夠全面了解中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)等理論知識(shí)，感受到探索數(shù)學(xué)知識(shí)的樂(lè)趣。在剪中心對(duì)稱(chēng)圖形兩種設(shè)計(jì)方法對(duì)比教學(xué)基礎(chǔ)上，可以達(dá)到強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)效果、提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)水平的目的[2]。

3）在完成兩種設(shè)計(jì)方法的過(guò)程中，學(xué)生都需要經(jīng)歷模仿以及探索的實(shí)踐操作，有利于學(xué)生積累豐富的經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)來(lái)自社會(huì)實(shí)踐，是客觀事物在人們腦海中形成的印象，也是人們認(rèn)識(shí)事物的一個(gè)開(kāi)端。經(jīng)驗(yàn)是人們對(duì)感官知覺(jué)的觀念性總結(jié)和反思，也是人們通過(guò)內(nèi)省而掌握的內(nèi)容。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)來(lái)自數(shù)學(xué)活動(dòng)。初中數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，而不是簡(jiǎn)單的記憶和積累。本次實(shí)驗(yàn)中設(shè)計(jì)的兩種方法，無(wú)論是模仿還是探索，都需要一個(gè)“做”的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷推理、思考和探索等環(huán)節(jié)積累豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，有利于數(shù)學(xué)思維、探索能力以及解決問(wèn)題能力的全面發(fā)展。相對(duì)而言，學(xué)生親自經(jīng)歷探索以及尋求問(wèn)題解決方法的過(guò)程，其優(yōu)點(diǎn)遠(yuǎn)比單純的模仿更為突出，更有利于學(xué)生獲取直接的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

兩種方法的不同點(diǎn)

1）兩種方法的起點(diǎn)不同。

設(shè)計(jì)方法1的重點(diǎn)在于學(xué)生的感受，學(xué)生接受教師的指導(dǎo)，而后親身體驗(yàn)中心對(duì)稱(chēng)圖形的裁剪方法。教師演示剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的折疊和裁剪方法，學(xué)生模仿教師的操作，這是一種直觀的理解，學(xué)生的體驗(yàn)更真實(shí)、準(zhǔn)確。

設(shè)計(jì)方法2的重點(diǎn)在于中心對(duì)稱(chēng)圖形的折疊，整個(gè)過(guò)程學(xué)生自由探索，在一次次的失敗中尋找可行的方法，可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和探索能力。

2）裁剪過(guò)程以及每個(gè)環(huán)節(jié)需要的時(shí)間不同。

方法1的流程主要是演示、解說(shuō)、模仿以及體驗(yàn)等，到最后則為學(xué)生應(yīng)用知識(shí)，包括學(xué)生對(duì)裁剪方法原理的分析、理解和討論等，一般需要的時(shí)間較短，多應(yīng)用在結(jié)論的驗(yàn)證上;最后應(yīng)用的環(huán)節(jié)需要時(shí)間較長(zhǎng)，創(chuàng)新性不足。

方法2的流程主要是提出問(wèn)題、探索答案、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、再次探索等，直至發(fā)展到應(yīng)用環(huán)節(jié)。這是一種探索型的學(xué)習(xí)裁剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的方法，雖然學(xué)生在前面幾個(gè)環(huán)節(jié)需要的時(shí)間較長(zhǎng)，但在應(yīng)用環(huán)節(jié)一般耗時(shí)較短，并且作品具有顯著的創(chuàng)新特點(diǎn)。

3）不同的設(shè)計(jì)方法，學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)也不同。

在設(shè)計(jì)方法1中，教師演示操作方法之后，學(xué)生很容易就掌握剪中心對(duì)稱(chēng)圖形的步驟，相對(duì)容易總結(jié)出這樣操作的理由。但由于該方法的重點(diǎn)在于模仿，因此，學(xué)生在最后的應(yīng)用環(huán)節(jié)顯得缺少創(chuàng)新性，創(chuàng)新能力不足。

而設(shè)計(jì)方法2恰好相反，因?yàn)榻虒W(xué)的重點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)中心對(duì)稱(chēng)圖形的特點(diǎn)，在這個(gè)基礎(chǔ)上完成裁剪任務(wù)，能夠提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，故而學(xué)生的應(yīng)用環(huán)節(jié)發(fā)展較為順利，學(xué)生的創(chuàng)新能力也得到較好的發(fā)展。其難點(diǎn)在于將折疊的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中缺少將現(xiàn)實(shí)生活轉(zhuǎn)化為抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的引導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生在使用數(shù)學(xué)方法論證猜想時(shí)遇到很多困難。

總之，兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，需要教師結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行教學(xué)。

4 結(jié)語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)承上啟下，其教學(xué)質(zhì)量直接關(guān)系著學(xué)生能否樹(shù)立終身學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀念，影響學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。為此，教師通常采用多元化的方法進(jìn)行教學(xué)，激發(fā)并保持學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探索能力，使其能夠主動(dòng)學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。中心對(duì)稱(chēng)圖形是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方式設(shè)計(jì)兩種不同的裁剪方法并對(duì)其進(jìn)行對(duì)比分析，可提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，增加學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的深度，使其在學(xué)習(xí)的同時(shí)積極應(yīng)用數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)

[1]王梅.以“三學(xué)”為導(dǎo)向的單元教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)：以“中心對(duì)稱(chēng)圖形”的單元教學(xué)為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2018（12）：18-19.

[2]曹婕.初探信息化課堂中有效激發(fā)學(xué)生主動(dòng)評(píng)價(jià)的方法：以“中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形”信息化教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（2）：116.