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    “三線八角”——平面幾何的敲門磚

    2020-09-06 13:18:31呂宗儒
    初中生世界·七年級 2020年8期
    關(guān)鍵詞:同旁內(nèi)角截線內(nèi)錯角

    呂宗儒

    中華文化,源遠流長,從不少的古詩詞中,我發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的蛛絲馬跡。“君住長江頭,我住長江尾,日日思君不見君”,這就像兩道凄美的平行線,永無相交。但是它們“共飲長江水”,此時,江水好似兩線間的樞紐,溝通了兩線,形成許多關(guān)聯(lián)。它們形成了幾個特殊的夾角,分別為:同位角,內(nèi)錯角,同旁內(nèi)角。

    你或許已經(jīng)猜到了,這便是鼎鼎有名的“三線八角”模型。這個模型是初中幾何一個很重要的知識點,在判定兩直線平行以及探究角之間的數(shù)量關(guān)系上有著舉足輕重的作用。今天,我?guī)Т蠹艺J(rèn)識“三線八角”模型。

    兩條直線被第三條直線所截,共頂點處的角分別為對頂角和鄰補角;不共頂點處有同位角、內(nèi)錯角,還有同旁內(nèi)角。分清同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找準(zhǔn)截線和被截線。

    如圖1,直線AB、CD分別與直線EF相交,形成了8個角。

    同位角:∠1的兩邊所在的直線是AB和EF,∠5的兩邊所在的直線是CD和EF,它們的公共邊是EF,所以EF是截線,AB、CD是被截線,∠1與∠5分別在截線的同旁,被截線的同側(cè),故∠1與∠5是同位角。具備這一位置關(guān)系的角還有∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8。

    內(nèi)錯角:根據(jù)定義可知,這兩個角應(yīng)該在“內(nèi)”部,并且交錯。因為截線只有一條,無所謂內(nèi)外,所以這兩個角一定是在被截線的內(nèi)部,且在截線的兩側(cè)交錯。不共頂點處的8個角中,具有上述位置關(guān)系的角是∠3與∠5、∠4與∠6。

    同旁內(nèi)角:根據(jù)定義可知,這兩個角也應(yīng)在“內(nèi)”部,并且在同旁。因為截線只有一條,無所謂內(nèi)外,所以這兩個角一定是在被截線的內(nèi)部,且在截線的同旁。不共頂點處的8個角中,具有上述位置關(guān)系的角是∠3與∠6、∠4與∠5。如果你細心觀察,會發(fā)現(xiàn)同位角的基礎(chǔ)圖形是任意旋轉(zhuǎn)的“F”字形,內(nèi)錯角的基礎(chǔ)圖形是任意旋轉(zhuǎn)的“Z”字形,同旁內(nèi)角的基礎(chǔ)圖形是任意旋轉(zhuǎn)的“U”字形。在一些平面幾何圖形中,都可以發(fā)現(xiàn)它們的身影。

    無論AB是否平行CD,這三種特殊角始終存在,且每種角都是兩兩出現(xiàn),難舍難分,所以千萬別說“∠1是同位角”,而應(yīng)該說“∠1和∠5是同位角”。

    找準(zhǔn)了角,有什么用呢?難道是數(shù)學(xué)家閑得無聊給它們起名玩嗎?顯然不是,它們的用處大著哩!

    如果AB∥CD,那么以下命題都成立:(1)同位角相等;(2)內(nèi)錯角相等;(3)同旁內(nèi)角互補。

    其中,(1)是一個基本事實,即公理,而(2)(3)則是其推論,是定理。在幾何題中,它們都可以直接使用。反之,它們的逆定理為:

    (4)同位角相等,兩直線平行;(5)內(nèi)錯角相等,兩直線平行;(6)同旁內(nèi)角互補,兩直線平行。

    它們也是定理,也可以直接使用。

    所以,這小小的“三線八角”模型,蘊藏著不小的內(nèi)涵。這個模型是一把神奇的鑰匙,能夠打開平面圖形的大門;它又是一塊墊腳石,是幾何知識的基石。在無數(shù)人的心目中,幾何是枯燥的,具有空想色彩,而在真正熱愛數(shù)學(xué)的人眼里,每一個符號、數(shù)字、模型都富含朝氣蓬勃的生命,這也是數(shù)學(xué)的最終奧義。

    同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角好似小精靈,簇擁著三條直線,構(gòu)成美麗奇妙的“三線八角”模型。這就是“三線八角”,這就是平面幾何的敲門磚!

    教師點評

    這篇數(shù)學(xué)習(xí)作記錄了小作者對學(xué)習(xí)平面幾何的敲門磚——“三線八角”模型的認(rèn)識和感受。小作者把“三線八角”模型分析得細致入微,體現(xiàn)了他對數(shù)學(xué)知識的深刻理解,值得同學(xué)們學(xué)習(xí)借鑒。

    (指導(dǎo)教師:王維松)

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