錯(cuò)題資源與微專題教學(xué)
——以導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用為例

相 建

(江蘇省寶應(yīng)縣氾水高級(jí)中學(xué)，225819)

在教學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常有一部分學(xué)生對(duì)于相同的錯(cuò)誤屢犯不止,學(xué)習(xí)效率大打折扣．為了利用錯(cuò)題這一資源為教學(xué)服務(wù),教師可以收集錯(cuò)題整合成微專題,通過(guò)歸納、總結(jié)，以達(dá)到提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的有效把握的目的.

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是高考必考內(nèi)容之一,是高考考查的重點(diǎn),其主要題型以函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,單調(diào)性的證明,已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參變量的取值范圍為主．而熟練掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解題的突破口．本文以此為專題整合錯(cuò)題資源，供教學(xué)參考.

題型1利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

例1(1)證明:函數(shù)f(x)=-2lnx+x2在(1,+∞)上是增函數(shù);

(2)證明:函數(shù)f(x)=x-sinx在R上是單調(diào)增函數(shù).

分析此題是利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性的問(wèn)題,直接利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證明即可．其基本解題步驟為:① 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并將其寫成可以判斷符號(hào)的形式(往往可以化成兩個(gè)基礎(chǔ)函數(shù)的積或商的形式，如本題的第(1)問(wèn),但本題的第(2)問(wèn)有點(diǎn)特殊);② 判別導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上的符號(hào);③ 下結(jié)論(即若有導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0在區(qū)間D上成立，則原函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)增;若有導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0在區(qū)間D上成立,則原函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)減).

證明(1)∵f(x)=-2lnx+x2，

∵x>1，(x+1)(x-1)>0,

(2)∵f(x)=x-sinx,∴f′(x)=1-cosx.∵x∈R,∴cosx∈[-1,1],∴-cosx∈[-1,1],∴1-cosx∈[0,2],即1-cosx≥0在R上恒成立.∴函數(shù)f(x)=x-sinx在R上是單調(diào)增函數(shù).

題型2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2求函數(shù)f(x)=x3-15x2-33x+6的單調(diào)減區(qū)間.

分析用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是非常簡(jiǎn)便的,它可以避免用定義確定函數(shù)單調(diào)性所帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的基本步驟為:① 確定函數(shù)f(x)的定義域；② 求導(dǎo)數(shù)f′(x);③ 由f′(x)>0(或<0)求出相應(yīng)的x的取值范圍．解不等式f′(x)>0,可得單調(diào)遞增區(qū)間,解不等式f′(x)<0得單調(diào)遞減區(qū)間.

解由f(x)=x3-15x2-33x+6得定義域?yàn)镽,且f′(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11).令f′(x)<0得-1

點(diǎn)評(píng)使f′(x)<0的取值區(qū)間如為一個(gè),則此區(qū)間為其單調(diào)區(qū)間,如為兩個(gè)或兩個(gè)以上,在各自區(qū)間上均為單調(diào)函數(shù),在這里不能將這兩個(gè)區(qū)間并起來(lái)．如此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間寫成 (-∞,-1)∪(11,+∞)就錯(cuò)了,應(yīng)寫出單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(11,+∞).

題型3已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求參變量的范圍

例3(1)已知函數(shù)f(x)=mx2+lnx-2x在定義域內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)若函數(shù)f(x)=x3+ax有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析第(1)問(wèn)的處理方法是將函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)換為f′(x)≥0在定義域內(nèi)恒成立.

第(3)問(wèn)求a的取值范圍的處理方法是由f(x)=x3+ax有兩個(gè)極值點(diǎn).

(3)由函數(shù)f(x)=x3+ax有三個(gè)單調(diào)區(qū)間可得f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),即f′(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,即3x2+a=0的兩個(gè)不等的實(shí)根,易得a<0.

題型4構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性解題

例4已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(1)=3,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)<2x+1,則不等式f(2x)<4x2+2x+1的解集為_(kāi)_____.

這個(gè)題目需要構(gòu)造新的函數(shù)并利用單調(diào)性進(jìn)行求解．根據(jù)題目的特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧．許多問(wèn)題,如果運(yùn)用這種思想去解決,往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路,有著非凡的功效.

首先，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)該給學(xué)生提供更多的思考與合作交流的機(jī)會(huì),創(chuàng)造有利于學(xué)生思考的寬松的課堂氛圍,讓學(xué)生嘗試自己去編制個(gè)性化的微專題,鼓勵(lì)學(xué)生大膽地質(zhì)疑,盡可能引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程,盡可能把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,使教師真正成為課堂活動(dòng)的組織者.

其次,我們要注意整合錯(cuò)題資源．教學(xué)的成功并不取決于微專題題數(shù)量的多少,而在于整合的錯(cuò)題資源以及進(jìn)行的微專題是否具有典型性、必要性和合理性．我們提倡開(kāi)展微專題復(fù)習(xí),并不是說(shuō)所有的教學(xué)內(nèi)容都要求進(jìn)行微專題．要克服單純地為了微專題而微專題,給學(xué)生造成過(guò)重的學(xué)習(xí)和心理負(fù)擔(dān),讓學(xué)生產(chǎn)生逆反心理,反而事倍功半.

另外,整合錯(cuò)題資源、微專題教學(xué)的起點(diǎn)一般源于課本上的例、習(xí)題．在設(shè)計(jì)微專題時(shí)，要做到源于教材又高于教材,不脫離教材,不脫離學(xué)生的實(shí)際．否則將會(huì)加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),產(chǎn)生厭學(xué)情緒,不利于復(fù)習(xí)效果的提高.

實(shí)踐證明,在高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，適時(shí)采用微專題教學(xué)法,可以幫助學(xué)生更好地構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu),熟悉每一種題型的通性通法,通過(guò)學(xué)一道題達(dá)到會(huì)解一類題的效果.有利于學(xué)習(xí)效率的提升和減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,從而使數(shù)學(xué)課堂更加高效.