構(gòu)造圖形巧解平面向量模的取值范圍問題*

閆 偉

(廣東省中山市濠頭中學(xué)，528437)

平面向量具有“形”和“數(shù)”的雙重性,是溝通代數(shù)、幾何和三角的重要工具.平面向量模是一個實數(shù),是向量的一個核心概念,與平面向量的運算緊密相關(guān),而且具有明確的幾何意義.因此，平面向量的模,特別是與模有關(guān)的最值或取值范圍問題，常常出現(xiàn)在知識點的交匯之處,著眼于向量知識,與矩形、圓、橢圓等幾何圖形聯(lián)系緊密,思維跨度大且解法靈活. 本文分類例說借助幾何圖形巧解向量模的取值范圍問題,供大家參考.

一、構(gòu)造矩形

例1已知|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)(b-c)=0,則|a-b|的取值范圍是______.

二、構(gòu)造圓

例2已知a,b是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量,且|a|=1,a-b與b的夾角為150°,則|b|的取值范圍是______.

評注將向量轉(zhuǎn)化到?ABO中,根據(jù)|a|=1及其對角∠ABO=30°可以確定點B的軌跡是圓,然后借助圓的直觀性質(zhì)求解,極大地提高了解題效率.

評注本題由向量相等關(guān)系巧妙地將c-a+2b轉(zhuǎn)化到同一個三角形中,從而確定點C的軌跡是半徑為2的圓,|c|表示圓內(nèi)定點到圓上的點的距離,借助圓的特性可快速鎖定結(jié)論,解題中根據(jù)向量模的幾何意義加強這類轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

三、構(gòu)造橢圓

例4已知平面向量a,b滿足|a|=1,4-a·b=2|a-b|,則|a+b|的取值范圍是______.

評注本題的幾何意義較隱蔽,難度較大,先借助坐標(biāo)將條件等式中蘊含的橢圓顯現(xiàn)出來,再根據(jù)向量模的幾何意義確定|a+b|是橢圓焦點與橢圓上點的距離,解題思路清晰,關(guān)鍵是抓住向量模的本質(zhì)進行轉(zhuǎn)化.

四、構(gòu)造拋物線

評注由本題條件可知A,B的相對位置是確定的,關(guān)鍵是確定動點C的軌跡.從幾何的角度進行轉(zhuǎn)化得到拋物線方程,于是原問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到定點B(1,1)與到焦點A(1,0)的距離之和的最小值問題.再結(jié)合拋物線的定義準(zhǔn)確快速地解決問題,本題若直接根據(jù)向量模運算求解很難求得結(jié)論.利用轉(zhuǎn)化思想將代數(shù)問題幾何化,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.

在解題教學(xué)過程中,數(shù)形結(jié)合已作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,借助圖形,可以使許多數(shù)量關(guān)系(如文章中的向量模)、抽象的概念直觀化、形象化,免去因計算而帶來的冗長與枯燥乏味,從而極大地提高解題效率.