一題一課 跳出題海*
——以2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷文科第12題為例

李 超 孔德宏

(云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，650500)

波利亞指出:“拿一個(gè)有意義又不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域”.解題教學(xué)亦是如此，要充分發(fā)揮例題的作用.筆者以一道高考試題的教學(xué)為例，闡述自己的一些思考.

一、試題呈現(xiàn)

(2019年全國高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷文科第12題)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|，則C的方程為( )

二、一題多想

解題教學(xué)不僅要教學(xué)生獲得解題活動(dòng)的結(jié)果，而且要暴露學(xué)生在解題過程中的思維活動(dòng).教師引導(dǎo)學(xué)生抓住題目的關(guān)鍵點(diǎn):由題目已知c的值,根據(jù)方程思想，只需要再找到a,b，c的一組關(guān)系，就可以求出橢圓的方程.利用方程思想找關(guān)系時(shí)，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生諸多想法.

想法2利用三角形相似求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代回橢圓方程，從而構(gòu)造出關(guān)于a的一個(gè)方程.

想法3注意到|AB|，|BF2|,|AF1|都可以用a來表示，并且?AF1F2和?AF1B有公共角∠F1AF2，可聯(lián)想到余弦定理，得到關(guān)于a的一個(gè)方程.

想法4∠BF1A余弦值可以求解，可聯(lián)想到平面向量基本定理，兩邊平方便轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一個(gè)方程.

想法5涉及到過焦點(diǎn)的問題，可以考慮用焦半徑公式解決.

想法6運(yùn)用直線的參數(shù)方程是處理定比點(diǎn)分問題的常用的方法，可以利用t的幾何意義和比值關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于a的一個(gè)方程.

三、一題多解

從學(xué)生不同的想法出發(fā)，理清解題思路，對解題的可行性進(jìn)行分析，研究解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

解法1利用弦長公式求解.

由于|AB|=|BF1|,|AF2|=2|F2B|,所以2a=|BF2|+|BF1|=|BF2|+|AB|=|BF2|+|AF2|+|BF2|=2|AF2|.故|AF2|=a,因此點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).根據(jù)橢圓的對稱性，我們考慮點(diǎn)A為上頂點(diǎn)的情況，如圖1.

解法2利用相似三角形求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再代入橢圓方程求解.

過點(diǎn)B作x軸的垂線交于點(diǎn)B1,如圖2.

解法3運(yùn)用兩次余弦定理求解.

(注：由cos∠AF2F1=-cos∠F1F2B也可以求出a)

解法4余弦定理+平面向量基本定理.

解法5利用橢圓焦半徑公式求解

解法6運(yùn)用直線的參數(shù)方程求解

由于直線AB的參數(shù)方程為：

四、一題多思

在教學(xué)中有學(xué)生提出了下面兩種解法.

上面這兩種解法在思路上并沒有錯(cuò)，但為什么解不出結(jié)果呢？方程反映了同一事物在2種不同的表現(xiàn)形式下有相等關(guān)系，也反映了2種事物在不同形式上有相等關(guān)系[1].上述解法實(shí)質(zhì)上是同一事物在同種表現(xiàn)形式下的相等關(guān)系，即自身和自身相等，無法解出結(jié)果.因此，建立方程時(shí)，教師需向?qū)W生強(qiáng)調(diào)要找表現(xiàn)形式不同的相等關(guān)系.

五、一題多變

對于同一類問題，可以從不同的角度進(jìn)行不同形式的變式通過變式，讓學(xué)生對此類問題有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識，做到會(huì)一題通一類.

解題教學(xué)中，教師要以學(xué)生為中心，充分暴露出學(xué)生在解題過程中的思維活動(dòng)，讓學(xué)生的思維在解題中得到有效地鍛煉，題目千千萬萬，刷百題而不如解透一題！