聚焦函數(shù)零點 求解參數(shù)范圍*
——從一類高考題談起

蔡海濤

(福建省莆田第二中學(xué)，351131)

已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，這類高考題在近幾年高考中頻頻出現(xiàn)，成為高考的熱點.如2014全國卷Ⅰ理科第11題，2016全國卷Ⅰ理科第21題，2017全國卷Ⅰ理科第21題，2017全國卷Ⅲ理科第11題，2018全國卷Ⅰ理科第9題，2018全國卷Ⅱ第21題等.本文舉例探討解決這類問題常用策略.

一、直接分離參數(shù)

(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(1,4)上有三個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

二、部分分離參數(shù)

例2(2020年泉州市高三質(zhì)檢題)已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+1)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)g(x)=(x2+1)ex-mx-1在[-1,+∞)有兩個零點,求m的取值范圍.

評注本題對參數(shù)部分分離,轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)=(x2+1)ex與函數(shù)φ(x)=mx+1圖象的交點問題.一個函數(shù)不含參數(shù)容易求導(dǎo),另一個含參函數(shù)的圖象是一條直線,觀察它們圖象的變化趨勢,找到臨界的位置,易求得參數(shù)的取值范圍,使得運(yùn)算簡化.一般地,分離參數(shù)究竟是全部分離還是部分分離,要視分離后函數(shù)哪個更簡單而定.

三、不分離參數(shù)

例3(2020年福州市高三質(zhì)檢題)已知函數(shù)f(x)=cosx+ax2-1.

(2)若f(x)在R上有且只有一個零點,求a的取值范圍.

解(1)略.(2)① 當(dāng)a=0時,f(x)=cosx-1.令cosx-1=0,解得x=2kπ(k∈Ζ),所以函數(shù)f(x)有無數(shù)個零點,不符合題意.

② 當(dāng)a<0時,f(x)=cosx+ax2-1≤ax2≤0.當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立,故a<0符合題意.

③ 因為f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),又因為f(0)=0,故x=0是f(x)的零點.

當(dāng)a>0時,f′(x)=-sinx+2ax,記g(x)=f′(x)=-sinx+2ax,則g′(x)=-cosx+2a.

因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在R上有且只有一個零點.

總之,處理已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題,基本思路都是一樣的,通過判斷函數(shù)單調(diào)性,利用數(shù)形結(jié)合思想,將函數(shù)的趨勢圖象作出來,然后根據(jù)題意作出合適的函數(shù)圖象，得到關(guān)于參數(shù)的不等式.運(yùn)算過程中,需要思考的是研究哪個函數(shù)比較簡單,從而選擇對參數(shù)分離，還是部分分離，還是不分離，做到以上這些,解決這類問題就不難了.