齊次化聯(lián)立方程，簡(jiǎn)化圓錐曲線解題運(yùn)算

趙立春 (江蘇省南京市寧海中學(xué) 210024)

眾所周知，圓錐曲線問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要考點(diǎn)，更是由于其對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的考查尤其突出而成為難點(diǎn)．在解決此類(lèi)大題的過(guò)程中，學(xué)生往往思路特別清晰，但卻在運(yùn)算上耗費(fèi)大量時(shí)間，陷入算不出來(lái)、算不下去的窘境．

事實(shí)上，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后，利用“1”的代換實(shí)現(xiàn)齊次化，順理成章地將聯(lián)立后的方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用一元二次方程的兩根關(guān)系，可化簡(jiǎn)解題過(guò)程，避免繁瑣運(yùn)算，提高解題正確率．

1 知識(shí)鋪墊

問(wèn)題 如何用平面中的點(diǎn)P(a,b)來(lái)設(shè)直線方程？

2 考題探究

(1)求橢圓C的方程．

(2)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2.

①若m=0，求k1·k2的值；

(2)利用定點(diǎn)A(-2,0)，直線l的方程可設(shè)為λ(x+2)+μy=1．

點(diǎn)評(píng)獨(dú)特巧妙之處在于齊次化聯(lián)立一箭雙雕，①②兩問(wèn)順著同一條路徑，同時(shí)解決．

3 方法應(yīng)用

由例1、例2的解題過(guò)程發(fā)現(xiàn)，齊次化聯(lián)立的適用范圍在于：

(1)橢圓上有定點(diǎn)P和動(dòng)弦AB；

類(lèi)似地，齊次化聯(lián)立也適用于雙曲線和拋物線問(wèn)題．

故可得直線l的方程為8x+y-24=0.

例4已知拋物線C:y2=4x，過(guò)點(diǎn)M(1,2)作C的兩條弦MA,MB，設(shè)MA,MB的斜率分別為k1,k2，當(dāng)k1,k2變化且滿足k1+k2=-1時(shí)，試問(wèn)：直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

點(diǎn)評(píng)由以上解題過(guò)程，齊次化聯(lián)立的一般步驟可概括如下：

(1)題型識(shí)別.

①有心二次曲線上出現(xiàn)定點(diǎn)和動(dòng)弦；

(2)利用定點(diǎn)重新設(shè)出直線l和曲線的方程.

(3)聯(lián)立之后利用“1”的代換實(shí)現(xiàn)齊次化，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決．

4 拓展延伸

問(wèn)題 如果定點(diǎn)不在二次曲線上，是否也可以用此法解決呢？答案是肯定的．

圖1

(1)求橢圓C的方程．

(2)如圖1,直線l與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)A,B(都在x軸上方)，且∠OFA+∠OFB=180°．

①當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；

②是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論∠OFA如何變化，直線l總過(guò)該定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

下面用齊次化聯(lián)立處理第②問(wèn)．

利用F(-1,0)這個(gè)定點(diǎn)，l的方程可設(shè)為m(x+1)+ny=1(*).

將(*)式中的“1”代入(** )，得

由x+1≠0，則兩邊除以(x+1)2,得

1°若n=0，代入(*)式得m(x+1)=1，若要恒過(guò)定點(diǎn)，則x=-1，此時(shí)等式不成立，舍去；

2°若m=-1，代入(*)式得-(x+ 1) +ny= 1，恒過(guò)定點(diǎn)(-2,0)．

綜上得，直線l恒過(guò)定點(diǎn)(-2,0)．

著名的數(shù)學(xué)家和教育家波利亞有一句膾炙人口的名言：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要途徑之一是解題，而教師要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)就必須進(jìn)行解題教學(xué)研究．本文在解析幾何題海中分析出齊次化聯(lián)立模型，讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇簡(jiǎn)單高效的方法，間接地為學(xué)生爭(zhēng)取寶貴的時(shí)間，訓(xùn)練他們良好的思維習(xí)慣，繼而讓學(xué)生能仿而嫻熟、熟而有悟、悟而生巧、巧而創(chuàng)新，從而在達(dá)到解決一類(lèi)問(wèn)題的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的自我完善及綜合能力的提高.