從基本量出發(fā)：一線串通高考試題與競(jìng)賽試題

束文清 徐章韜 (華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 430079)

1 基本量及其作用

基本量就是若干個(gè)可以唯一確定一個(gè)數(shù)學(xué)問題的一組量，多一個(gè)沒用，少一個(gè)不行，其中每一個(gè)問題的量稱為該問題的一個(gè)基本量[1]．一個(gè)數(shù)學(xué)問題有一個(gè)或多個(gè)基本量，這些基本量彼此獨(dú)立，但通過描述數(shù)學(xué)規(guī)律的方程或定義新的數(shù)學(xué)量的方程，基本量之間可以互相聯(lián)系．

基本量是解決數(shù)學(xué)問題的出發(fā)點(diǎn)．從基本量出發(fā)，梳理數(shù)學(xué)問題中基本量之間的關(guān)系，有助于簡(jiǎn)化條件與問題之間的關(guān)系，使思考活動(dòng)更具有指向性，為解題帶來便捷性．因此，基本量思想廣泛地滲透于數(shù)學(xué)解題中．

基本量是解決數(shù)學(xué)問題的切入點(diǎn)．解題時(shí)，基于題目的背景分析，選取合適的基本量，而后，再應(yīng)用數(shù)學(xué)定義、定理、公式等對(duì)基本量之間的關(guān)系進(jìn)行分析和推導(dǎo)，得到若干個(gè)由基本量表示的非基本量(導(dǎo)出量)，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)基本量與非基本量及其相互關(guān)系的研究．這是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法．

當(dāng)選擇不同的基本量作為解題切入點(diǎn)時(shí)，解決問題的方法和效果也會(huì)有所差別．但是不論采取何種解法，只要在解題中抓住“基本”，即相信在復(fù)雜的情境中存在著基本的東西，發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用這個(gè)基本的東西，問題就會(huì)得以解決[2]．

2 從基本量出發(fā)，試解高考題與競(jìng)賽壓軸題

平面幾何的基本量是長(zhǎng)度和角度．在解平面幾何題中，常常結(jié)合題目背景選用長(zhǎng)度或角度作為基本量，應(yīng)用相關(guān)的定義、定理、公式來表示問題中的其他非基本量(導(dǎo)出量)，尋找相互關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)了平面幾何問題的代數(shù)化．

從基本量出發(fā)，不僅是高考數(shù)學(xué)題的基本解題思路，也是解答競(jìng)賽數(shù)學(xué)題行之有效的方法．以下，舉2018年全國高考理科數(shù)學(xué)卷第19題和2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試(A卷)壓軸題第11題為例，進(jìn)行分析探討．

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程．

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明∠OMA=∠OMB．

解(1)由題易知，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，故直線l的方程為x=1．

(2)解法1 從基本量“角度”出發(fā)

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°．

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的中垂線，故∠OMA=∠OMB.

故MA,MB的傾斜角互補(bǔ)，∠OMA=∠OMB．

解法2 從基本量“長(zhǎng)度”(距離)出發(fā)

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的中垂線，故∠OMA=∠OMB.

由直角三角形的全等證明知，△OMA≌△OMB，故∠OMA=∠OMB．

反思本題分為兩個(gè)小題．第一小題根據(jù)“直線與軸垂直”這一條件，求出點(diǎn)A可能的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線方程．第二小題要證∠OMA=∠OMB，從基本量“角度”出發(fā)，即證OM為∠AOB的平分線．由于直線OM與x軸重合的特殊性，題中存在直線l與x軸的多種位置情況，需要分類討論．對(duì)于一般情況，從角平分線的基本性質(zhì)出發(fā)，不難發(fā)現(xiàn)∠AOB的兩條外邊所在的直線傾斜角互補(bǔ)，進(jìn)而得到斜率和為0的推論，也就找到了幾何問題代數(shù)化的橋梁.通過聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，驗(yàn)證了推論．從基本量“長(zhǎng)度”(距離)出發(fā)，利用點(diǎn)F到直線MA,MB的距離相等，得到△OMA≌△OMB，進(jìn)而有全等三角形對(duì)應(yīng)角相等．

例2(2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試(A卷)壓軸題第11題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)AB是拋物線y2=4x的過點(diǎn)F(1,0)的弦，△AOB的外接圓交拋物線于點(diǎn)P(不同于點(diǎn)O,A,B)．若PF平分∠APB，求PF的所有可能值．

解法1 從基本量“角度”出發(fā)

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，△AOB的外接圓方程為C1:x2+y2+mx+ny=0．令A(yù)B的解析式為x=ky+1，由題意知A，B均在拋物線和圓上，聯(lián)立方程得y2-4ky-4=0，(k2+ 1)y2+(2k+mk+n)y+(1+m)=0．

進(jìn)一步得y4-(16k2+4)y2-16ky=y(y2-4ky-4)(y+4k)=0，從而P(4k2,-4k).

若k=0，則點(diǎn)P與原點(diǎn)重合，PF=1(舍)．

反思解法1從基本量“角度”出發(fā)，在無法直接選取具體基本量的情況下，提前構(gòu)建各幾何要素的關(guān)系，由條件“PF平分∠APB”，得到PA，PB，PF與y軸正向夾角α，θ，β的相互關(guān)系，列出等式β-θ=θ-α．進(jìn)而思考，用什么樣的基本量作為表征工具，采取什么方法刻畫α，θ，β？解析幾何中幾何要素及相互關(guān)系，往往具有多元的外部表征形式．雖已假設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，但如果采用兩點(diǎn)式表示AB函數(shù)則不夠典型，也無法體現(xiàn)AB過拋物線焦點(diǎn)這一重要特征．于是采用點(diǎn)斜式，設(shè)AB的解析式為x=ky+1，通過分析和甄別，確定具體的基本量，即為AB的斜率k,利用題中拋物線，圓與過焦點(diǎn)弦的位置關(guān)系，得到用斜率k表示的點(diǎn)P坐標(biāo)及α，θ，β的正切值,帶入等式求解得出答案．

解法2 從基本量“長(zhǎng)度”(距離)出發(fā)

圖1

反思解法2從距離出發(fā)，利用“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”構(gòu)建等式，易知點(diǎn)F到PA，PB的距離相等．若采用點(diǎn)斜式設(shè)出直線PA，PB的表達(dá)式，四個(gè)未知數(shù)會(huì)導(dǎo)致聯(lián)合直線方程與拋物線及圓的表達(dá)式得到的方程組較為復(fù)雜．因此，采用參數(shù)式的方法設(shè)立坐標(biāo)點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得yAB，yAP，再帶入點(diǎn)到直線的距離公式，問題也就迎刃而解．

解法3 從基本量“長(zhǎng)度”(距離)出發(fā)

反思解法3與解法2均抓住“長(zhǎng)度”(距離)這一基本量，但二者用基本量表示其他幾何要素和實(shí)現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的方式有所差別：前者從角平分線的定義出發(fā)，屬于高中數(shù)學(xué)知識(shí)范疇；后者以角平分線的性質(zhì)定理為切入點(diǎn)，構(gòu)造了不同的非基本量和關(guān)系式，所用知識(shí)屬競(jìng)賽范疇．

3 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重學(xué)生基本量思想的培養(yǎng)

從基本出發(fā)，是高考數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)的命題要求．全國高考題例1與競(jìng)賽試題例2，命題和解題都緊扣“基本”．兩題考查的內(nèi)容均是解析幾何背景下的過焦點(diǎn)弦與角平分線，屬于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》有關(guān)平面幾何部分要求掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，并未超綱．例1與例2的解題思路都以平面幾何的基本量“角度”和“長(zhǎng)度”作為切入點(diǎn)，應(yīng)用角平分線的相關(guān)性質(zhì)及方程根與系數(shù)的關(guān)系解決問題．

從基本量出發(fā)，是從基本出發(fā)思考問題的一種體現(xiàn).本文例1與例2雖然難度有別，但考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)基本量解決數(shù)學(xué)問題卻是一致的．高考試題題例1設(shè)兩小問，第一問對(duì)第二問給予特殊情況的暗示，且點(diǎn)M位置特殊，減少了推理和運(yùn)算要求，降低了解題難度．與競(jìng)賽數(shù)學(xué)相比，高考數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)通性通法，應(yīng)用基本量思想解決高考數(shù)學(xué)問題是“高考數(shù)學(xué)通性通法”應(yīng)有之意．競(jìng)賽試題例2的條件中各幾何要素關(guān)系復(fù)雜，比高考題難度大，所考查的基本量思想?yún)s與高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)一脈相承，都是“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本思想，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”．

從基本量出發(fā)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中不可或缺．無論高考數(shù)學(xué)還是競(jìng)賽數(shù)學(xué)，都要求高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生基本量思想的養(yǎng)成，注重學(xué)生應(yīng)用基本量提高解題技能．為了培養(yǎng)基本量思想，學(xué)生應(yīng)掌握牢固的基礎(chǔ)知識(shí)，具有敏銳的基本量意識(shí)，提高恰當(dāng)選取基本量的技巧，具備借助數(shù)學(xué)語言用基本量推導(dǎo)非基本量的能力．應(yīng)用基本量提高解題技能，要求學(xué)生提高分析數(shù)學(xué)問題中基本量及其關(guān)系的技能，提高選取合適的基本量作為解題切入點(diǎn)的技能，提高通過基本量構(gòu)建關(guān)系式的技能，提高基本應(yīng)算技能．