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    π的計(jì)算

    2020-09-03 05:29:08童廣鵬河南省民權(quán)縣高級中學(xué)476800
    中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2020年8期
    關(guān)鍵詞:劉徽算數(shù)邊形

    童廣鵬 (河南省民權(quán)縣高級中學(xué) 476800)

    縱觀滔滔歷史長河中的數(shù)學(xué)發(fā)展史,圓周率始終如一顆光彩奪目的璀璨之珠,散發(fā)著經(jīng)久不衰的魅力.π是一個(gè)馳名數(shù)學(xué)界的數(shù),眾多數(shù)學(xué)家包括阿基米德、祖沖之、魯?shù)婪虻榷紝θ绾斡?jì)算π值進(jìn)行過不斷的探索.正所謂“路漫漫其修遠(yuǎn)兮”,古典方法已引導(dǎo)數(shù)學(xué)家們走了很遠(yuǎn),但到今天我們?nèi)晕吹竭_(dá)終點(diǎn).本文根據(jù)高考對數(shù)學(xué)文化的要求,以π的精確值的計(jì)算方法為主線,按照數(shù)學(xué)家攻堅(jiān)的時(shí)間結(jié)合試題作一簡要呈現(xiàn).

    1 《算數(shù)書》算法

    背景分析古代數(shù)學(xué)名著《算數(shù)書》是中國現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)的最古老的一部算書,全書總共約有200多支竹簡(其中完整的有185支,10余根己殘破),約七千多字,有60多個(gè)小標(biāo)題,如方田、少廣、金價(jià)、合分、約分、經(jīng)分、分乘、相乘、增減分、賈鹽、息錢、程未等.當(dāng)今流行的傳本《九章算術(shù)》部分問題來自《算數(shù)書》,但時(shí)間上比《算數(shù)書》晚了一個(gè)半世紀(jì)以上.《算數(shù)書》是出土的竹簡算書,屬于更可珍貴的第一手資料.但由于當(dāng)時(shí)世界上對圓周率的計(jì)算停留在試驗(yàn)獲取階段,《算數(shù)書》中涉及到的π值為4,所以π=4完全是測量出來的,誤差較大.

    2 劉徽算法

    問題2我國古代數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年在《九章算術(shù)注》中提出“割圓術(shù)”:割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣.他用割圓術(shù)證明了圓面積的精確公式,并給出了計(jì)算圓周率的科學(xué)方法.所謂“割圓術(shù)”,即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓,并使正多邊形的周長無限接近圓的周長,進(jìn)而求得較為精確的圓周率(圓周率指圓周長與該圓直徑的比率).如果用圓的內(nèi)接正n邊形逼近圓,算得圓周率的近似值記為πn,那么用圓的內(nèi)接正2n邊形逼近圓,算得圓周率的近似值π2n可表示成( ).

    背景分析中國古代數(shù)學(xué)家劉徽(約225-295年)創(chuàng)造了求圓周率的“割圓術(shù)”,將人類對圓周率的計(jì)算引向了正確的軌跡.劉徽是第一個(gè)把推求圓周率π的近似值的方法提高到理論上來認(rèn)識的,他不僅計(jì)算出了更為精確的圓周率的值,創(chuàng)立了以幾何學(xué)求圓周率的方法,而且開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)史上關(guān)于圓周率的理論研究之先河,奠定了中國數(shù)學(xué)之新紀(jì)元.在公元263年前后,他就用此方法得出π≈3.14,后人稱之為“徽率”,他指出這是不足近似值.雖然他提出割圓術(shù)的時(shí)間比阿基米德晚一些,但其方法卻有著更美妙之處.割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界,比阿基米德同時(shí)用內(nèi)接和外切正多邊形的方法簡捷得多.同時(shí),割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工方法,借此他將割到192邊形的幾個(gè)粗糙的近似值通過簡單的加權(quán)平均,竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率π≈3.1416.而這一結(jié)果,正如劉徽本人指出的,如果通過割圓計(jì)算來得出,需要割到3 072邊形.割圓術(shù)不斷地利用勾股定理來計(jì)算正n邊形的邊長這種精加工方法的效果是奇妙的,也是割圓術(shù)中最為精彩的部分.

    3 何承天算法

    4 祖沖之算法

    5 蒲豐算法

    問題5關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)π的值:先請120名同學(xué)每人都隨機(jī)寫下一個(gè)小于1的正實(shí)數(shù)對(x,y),再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y)的個(gè)數(shù)m,最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m估計(jì)π的值.假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=34,那么可以估計(jì)π的值約為( ).

    圖1

    背景分析計(jì)算π的最為稀奇的方法之一,要數(shù)法國博物學(xué)家蒲豐的投針實(shí)驗(yàn)了.1777年的 一天,蒲豐忽發(fā)奇想,把許多賓朋邀請到家中,做了一個(gè)叫人感到奇怪的試驗(yàn).他把事先畫好一條條等距離的平行線的白紙鋪在桌面上,又拿出準(zhǔn)備好的質(zhì)量均勻而長度為平行線距離一半的小針,請客人把小針一根一根的隨便地仍在紙上,而蒲豐則在一旁專注地觀察并記著數(shù),投完后統(tǒng)一計(jì)數(shù),共投 2 212次,其中與任意平行線相交的有704次,蒲豐又做了一個(gè)簡單的除法,2 212÷704=3.142,然后宣布:“這就是圓周率的近似值!”所有的賓朋都驚呆了,這簡直是不可思議!這就是著名的蒲豐投針試驗(yàn).

    6 蒙特卡羅算法

    問題6rand( )是計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù),每調(diào)用一次rand( )函數(shù),就產(chǎn)生一個(gè)在區(qū)間[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù).我們產(chǎn)生n個(gè)樣本點(diǎn)P(a,b),其中a=2 rand( )-1,b=2 rand( )-1.在這n個(gè)樣本點(diǎn)中,滿足a2+b2<1的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m,當(dāng)n足夠大時(shí),可估算圓周率π的近似值為( ).

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