路面國(guó)際不平度指數(shù)的兩種描述及其應(yīng)用*

張振偉，陳 濤，王文竹，3，趙 旗，李 杰

（1.吉林大學(xué)，汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130025； 2.重慶長(zhǎng)安汽車股份有限公司，重慶 400023；3.沈陽(yáng)航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110136）

前言

無(wú)論是新建道路還是在用道路，都存在著不同程度的路面不平度。作為車輛的主要激勵(lì)源，路面不平度引起車輛振動(dòng)，直接影響車輛性能和零部件壽命［1］。反過(guò)來(lái)，車輛振動(dòng)以動(dòng)載荷的形式作用于路面，引起路面振動(dòng)，影響道路結(jié)構(gòu)和使用壽命［2］。因此，路面不平度的研究具有理論價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用意義。

為建立一種標(biāo)準(zhǔn)和客觀的路面不平度指標(biāo)，世界銀行組織和資助了一項(xiàng)國(guó)際合作研究課題。1982年，來(lái)自巴西、英國(guó)、法國(guó)、美國(guó)、比利時(shí)和澳大利亞的研究人員在巴西進(jìn)行了國(guó)際路面不平度試驗(yàn)［3］。通過(guò)大量試驗(yàn)對(duì)比和理論分析，確定了描述路面不平度的指標(biāo)，將其命名為路面國(guó)際不平度指數(shù)，簡(jiǎn)稱為國(guó)際不平度指數(shù)。

在交通領(lǐng)域，由于國(guó)際不平度指數(shù)具有時(shí)間穩(wěn)定、傳遞性好、相關(guān)強(qiáng)和效率高等特點(diǎn)，在美國(guó)［4］、加拿大［5］、大部分歐洲 國(guó) 家［6］和中國(guó)［7］得到廣泛應(yīng)用，用于道路的設(shè)計(jì)、驗(yàn)收、管理與維護(hù)。近年來(lái)，隨著交叉學(xué)科的發(fā)展，國(guó)際不平度指數(shù)開(kāi)始應(yīng)用于車輛工程領(lǐng)域［8］。

為更好理解和應(yīng)用國(guó)際不平度指數(shù)，針對(duì)國(guó)際不平度指數(shù)的時(shí)間域和時(shí)間頻率域描述比較薄弱等問(wèn)題，本文中開(kāi)展了相關(guān)的理論研究，應(yīng)用實(shí)測(cè)路面不平度數(shù)據(jù)，對(duì)比和分析國(guó)際不平度指數(shù)的時(shí)間域和時(shí)間頻率域兩種描述的正確性和有效性，為國(guó)際不平度指數(shù)在道路工程和車輛工程等領(lǐng)域的應(yīng)用奠定理論和方法基礎(chǔ)。

1 國(guó)際不平度指數(shù)的時(shí)間域描述

1.1 國(guó)際不平度指數(shù)

國(guó)際不平度指數(shù)采用如圖1所示的車輛模型。圖中ms和mu分別為簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量，ks和kt分別為懸架剛度和輪胎剛度，cs為懸架阻尼，zs和zu分別為簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量的垂直位移，q為路面激勵(lì)。

國(guó)際不平度指數(shù)，是指單位行駛里程內(nèi)簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量相對(duì)垂直位移的累計(jì)絕對(duì)值。在時(shí)間域，國(guó)際不平度指數(shù)為

圖1 車輛模型

式中：L和T分別為車速ua下車輛行駛的總距離和總時(shí)間s和分別為簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量的垂直速度，為時(shí)間t的函數(shù)。

為確定國(guó)際不平度指數(shù)，規(guī)定車輛參數(shù)和車速，具體數(shù)值如表1所示。

表1 用于確定國(guó)際不平度指數(shù)的參數(shù)［3］

1.2 運(yùn)動(dòng)微分方程

基于牛頓定律，描述國(guó)際不平度指數(shù)車輛模型的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式（7）和式（8）是對(duì)應(yīng)于車輛模型的最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)微分方程，在時(shí)間域t描述，即其中的所有變量，如zs、zu及其導(dǎo)數(shù)和q均為時(shí)間的函數(shù)。

2 路面統(tǒng)計(jì)特性的頻率域描述

2.1 空間頻率域表示

路面不平度q（x）是路面相對(duì)基準(zhǔn)平面的高度，沿著道路縱向位置x變化。大量的測(cè)量和研究表明，q（x）是滿足0均值高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程［9］。

上個(gè)世紀(jì)60年代，基于隨機(jī)數(shù)學(xué)理論，采用路面不平度空間功率譜密度描述路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性。后來(lái)隨著快速傅里葉變換的提出，路面不平度空間功率譜密度的應(yīng)用更為普遍。

路面不平度空間頻率功率譜密度Gq（n），對(duì)應(yīng)于路面不平度q（x），簡(jiǎn)稱為路面不平度功率譜密度［10］。

式中：n為空間頻率；Sq（n）為雙邊空間頻率功率譜密度；q（n）為q（x）的傅里葉變換。

2.2 時(shí)間頻率域表示

只有將路面不平度和車速相結(jié)合，才能形成輸入車輛的路面激勵(lì)。當(dāng)車輛以u(píng)勻速行駛，路面不平度q（x）轉(zhuǎn)化為路面激勵(lì)q（t），q（t）常簡(jiǎn)寫為q，也為滿足0均值高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程［11］。

路面激勵(lì)時(shí)間頻率功率譜密度Gq（f），對(duì)應(yīng)于路面激勵(lì)q（t），簡(jiǎn)稱為路面激勵(lì)功率譜密度，而f=un為時(shí)間頻率。

應(yīng)當(dāng)說(shuō)明的是，式（10）具有普適性，無(wú)論Gq（n）如何表示，其總是成立的。而且Gq（f）和Gq（n）是滿足式（10）的兩種功率譜密度，由一個(gè)可得到另一個(gè)。兩者的表示統(tǒng)稱為路面統(tǒng)計(jì)特性的頻率域描述。

3 國(guó)際不平度指數(shù)的時(shí)間頻率域描述

3.1 車輛模型的頻率響應(yīng)

對(duì)式（7）和式（8）兩邊進(jìn)行傅里葉變換，得

3.2 懸架動(dòng)撓度速度的頻率響應(yīng)

設(shè)z=zs-zu為懸架動(dòng)撓度，即簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量相對(duì)位移，z對(duì)q的頻率響應(yīng)為

3.3 懸架動(dòng)撓度速度的統(tǒng)計(jì)特性

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，當(dāng)車輛模型為線性系統(tǒng)時(shí)，在路面激勵(lì)q作用下產(chǎn)生的任何車輛響應(yīng)y的時(shí)間頻率功率譜密度Gy（f）與路面激勵(lì)功率譜密度Gq（f）的關(guān)系為［11］

式中：H（f）y-q為y對(duì)q的頻率響應(yīng)的時(shí)間頻率表示；H（ω）y-q為y對(duì)q的頻率響應(yīng)的時(shí)間圓頻率表示；y（ω）為y的傅里葉變換。

y的均方根值為［11］

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，當(dāng)車輛模型為線性系統(tǒng)、路面激勵(lì)為滿足0期望高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)，在路面激勵(lì)q作用下產(chǎn)生的任何車輛響應(yīng)y也是滿足0期望高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程［12］。因此，z· 是滿足0期望高斯分布的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

3.4 時(shí)間頻率域表示

在u=ua/3.6下，汽車行駛的總距離L和總時(shí)間T的關(guān)系為L(zhǎng)=uT，將其代入式（1），有

式（24）表示的國(guó)際不平度指數(shù)，是時(shí)間頻率域國(guó)際不平度指數(shù)的表示。

由于描述國(guó)際不平度指數(shù)的車輛模型參數(shù)都是固定的，當(dāng)f一定時(shí)，式（24）中的H（f）z·-q是一定的，國(guó)際不平度指數(shù)就取決于路面激勵(lì)功率譜密度Gq（f）。因此，通過(guò)車輛模型響應(yīng)的間接指標(biāo)得到的國(guó)際不平度指數(shù)，就與路面激勵(lì)功率譜密度等效，即兩者都可以用于描述路面激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特性。

應(yīng)當(dāng)說(shuō)明的是，國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域表示是一般描述，具有普適性。其中，路面激勵(lì)功率譜密度，既可采用標(biāo)準(zhǔn)路面模型表示，也可采用非標(biāo)準(zhǔn)路面模型表示，如冪函數(shù)表示［11］、有理函數(shù)表示［13］和指數(shù)函數(shù)表示［14］，更可采用實(shí)測(cè)的路面激勵(lì)功率譜密度表示。

4 基于實(shí)測(cè)路面不平度數(shù)據(jù)的應(yīng)用

4.1 LTPP項(xiàng)目實(shí)測(cè)路面不平度數(shù)據(jù)的選取

LTPP（long term pavement performance）項(xiàng)目稱為路面長(zhǎng)期性能項(xiàng)目，是美國(guó)戰(zhàn)略公路研究計(jì)劃（strategic highway research program，SHRP）的一部分。LTPP項(xiàng)目始于1984年，每年都對(duì)相同路段的路面不平度進(jìn)行實(shí)測(cè)，已經(jīng)取得豐碩的成果，路面不平度數(shù)據(jù)及其信息可以免費(fèi)下載使用［15］。

為說(shuō)明國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域描述的有效性，選取LTPP項(xiàng)目的馬薩諸塞州GPS（general pavement studies）左側(cè)車輪軌跡路面不平度數(shù)據(jù)（STATE_CODE=25）。這些數(shù)據(jù)來(lái)自于不同年度對(duì)同一個(gè)路面的測(cè)試，共計(jì)36次，路面長(zhǎng)度為152.4 m，數(shù)據(jù)間隔為0.152 4或0.150 m，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)分別為1 001或1 017個(gè)。部分年度的測(cè)試結(jié)果如圖2所示。

圖2 LTPP部分年度實(shí)測(cè)的路面不平度數(shù)據(jù)

4.2 分析方案設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)的分析方案流程如圖3所示。首先，基于選取的36次實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，引入規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)車速ua=80 km/h，將實(shí)測(cè)路面不平度數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為路面激勵(lì)；其次，采用Welch方法求取路面激勵(lì)功率譜密度，根據(jù)式（24）求取對(duì)應(yīng)于實(shí)測(cè)路面不平度數(shù)據(jù)的國(guó)際不平度指數(shù)；再次，基于國(guó)際不平度指數(shù)的時(shí)間域描述，通過(guò)運(yùn)動(dòng)微分方程的時(shí)間積分求取國(guó)際不平度指數(shù)的時(shí)間域結(jié)果。最后，對(duì)比分析國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域和時(shí)間域求取的數(shù)值，說(shuō)明國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域描述的正確性和有效性。

4.3 結(jié)果分析

圖3 國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域描述驗(yàn)證流程

將實(shí)測(cè)的路面不平度數(shù)據(jù)，引入車速后轉(zhuǎn)化成路面激勵(lì)。設(shè)置窗口長(zhǎng)度為512個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，加漢明窗，快速傅里葉變換長(zhǎng)度取1 024個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，不重疊的數(shù)據(jù)點(diǎn)有16個(gè)，將每個(gè)路面激勵(lì)分成31段，時(shí)間頻率分辨率fe=0.1424 Hz。針對(duì)路面激勵(lì)，應(yīng)用Matlab的pwelch函數(shù)計(jì)算路面激勵(lì)功率譜密度，如圖4所示。

圖4 LTPP部分年度的路面激勵(lì)功率譜密度

由圖4可以看出，路面激勵(lì)功率譜密度曲線在短波長(zhǎng)、中波長(zhǎng)和長(zhǎng)波長(zhǎng)的頻帶分布是不同的；在高頻帶，路面激勵(lì)功率譜密度出現(xiàn)豐富的頻率分量［16］。

基于上述獲取的路面激勵(lì)功率譜密度，分別設(shè)置fl=0.1 Hz和fu=50 Hz，計(jì)算時(shí)間頻率域國(guó)際不平度指數(shù)；基于國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間域描述，計(jì)算國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間域結(jié)果；再計(jì)算國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域和時(shí)間域的差值。36次測(cè)試的計(jì)算結(jié)果如圖5（a）所示。圖5（a）中3條曲線的特征如表2所示。

圖5 時(shí)間域和時(shí)間頻率域計(jì)算的國(guó)際不平度指數(shù)及其比較

表2 時(shí)間域和中值濾波前時(shí)間頻率域計(jì)算的國(guó)際不平度指數(shù)及其特征

由圖5（a）和表2可以看出，選取的同一個(gè)路面不同年度的實(shí)測(cè)路面不平度數(shù)據(jù)，國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間域最大值為2.720 0，最小值為0.806 5；國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域最大值為3.278 5，最小值為0.710 5；國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域結(jié)果普遍大于國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間域結(jié)果，兩者的差值普遍小于0，這主要是因?yàn)椴捎枚◣捰?jì)算功率譜密度，帶來(lái)高頻區(qū)豐富的頻率分量［16］。

為降低高頻區(qū)豐富頻率分量的影響，采用中值濾波方法對(duì)路面不平度數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，然后轉(zhuǎn)換成路面激勵(lì)，計(jì)算國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域結(jié)果。

中值濾波是一種非線性的平滑技術(shù)，相當(dāng)于低通濾波器，在不改變數(shù)據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)性的情況下，可以消除路面中大的凸起、凹坑和連接處凹槽等，還能保留道路和橋梁連接引起的階躍變化［17］。

中值濾波是以一定的窗口長(zhǎng)度（一般為奇數(shù)次）連續(xù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣，然后將采樣得到的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行排序，取中間值作為數(shù)據(jù)樣本的有效采樣值。為降低中值濾波對(duì)各個(gè)波長(zhǎng)帶范圍的影響，設(shè)置中值濾波的窗口長(zhǎng)度為5，當(dāng)路面距離間隔為0.152 4 m時(shí)，窗口覆蓋的距離為4×0.1524=0.609 6 m，可以濾除干擾的有效最大波長(zhǎng)為0.304 8 m，即最小空間頻率3.280 8 m-1，是空間采用頻率1/0.1524=6.5617的一半。

通過(guò)中值濾波確定的國(guó)際不平度指數(shù)及其差值如圖5（b）所示。圖5（b）中3條曲線的特征如表3所示。

表3 時(shí)間域和中值濾波后時(shí)間頻率域計(jì)算的國(guó)際不平度指數(shù)及其特征

由圖5（b）和表3可知，中值濾波后計(jì)算的國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域最大值為2.645 1，最小值為0.673 0；中值濾波后兩個(gè)域的國(guó)際不平度指數(shù)的結(jié)果基本重合，相差很小，說(shuō)明采用中值濾波應(yīng)用于確定國(guó)際不平度指數(shù)是正確的，同時(shí)也說(shuō)明采用中值濾波處理數(shù)據(jù)高頻區(qū)豐富的頻率分量是有效的。

5 結(jié)論

基于描述國(guó)際不平度指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)車輛模型，建立了國(guó)際不平度指數(shù)的時(shí)間域表示，推導(dǎo)了時(shí)間域運(yùn)動(dòng)微分方程。給出路面不平度功率譜密度和路面激勵(lì)功率譜密度的一般描述，采用傅里葉變換推導(dǎo)了國(guó)際不平度指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)車輛模型和懸架動(dòng)撓度速度的頻率響應(yīng)。

基于隨機(jī)振動(dòng)理論建立了具有普適性的時(shí)間頻率域國(guó)際不平度指數(shù)的表示，其是以車輛模型響應(yīng)描述的間接指標(biāo)，與直接描述的路面激勵(lì)功率密度是等效的，兩者都可以用于描述路面激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特性。

利用美國(guó)LTPP項(xiàng)目實(shí)測(cè)路面不平度數(shù)據(jù)，求取了國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間域和時(shí)間頻率域的結(jié)果，通過(guò)兩者對(duì)比說(shuō)明了國(guó)際不平度指數(shù)時(shí)間頻率域描述的正確性和有效性，也說(shuō)明中值濾波可以更好用于處理實(shí)測(cè)路面不平度數(shù)據(jù)。

在交通領(lǐng)域，國(guó)際不平度指數(shù)得到廣泛認(rèn)可和應(yīng)用。然而在車輛工程領(lǐng)域，針對(duì)國(guó)際不平度指數(shù)的研究和應(yīng)用有待加強(qiáng)，借鑒其在交通領(lǐng)域的研究成果，對(duì)于道路智能感知、車輛設(shè)計(jì)輸入及其零部件開(kāi)發(fā)和車輛性能分析具有重要的應(yīng)用價(jià)值。