例談幾何畫板在圓的軌跡問題中的應(yīng)用

蘭州市第五十一中學(xué)

圓的軌跡問題是高中數(shù)學(xué)中學(xué)生較難理解的一種問題類型.在以往的教學(xué)中，教師習(xí)慣于告訴學(xué)生“死”的結(jié)論，讓學(xué)生在記憶的基礎(chǔ)之上進(jìn)行運(yùn)用.學(xué)生由于缺乏“動(dòng)”的直觀感受，對此類問題往往一知半解，缺乏深入認(rèn)同和深刻理解.本文以圓的方程一章中的軌跡問題為例，采用幾何畫板演示的方法，加深學(xué)生的直觀印象，并通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生徹底掌握圓的軌跡問題的求解方法，并能靈活運(yùn)用.

1.直接法

例1平面中已知線段AB，且| |AB＝4，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

問題分析：直接法求解軌跡方程的基本步驟是：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、說明.其中建系、設(shè)點(diǎn)是描述軌跡問題的必然之路.此題若以AB為x軸、AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，可以化簡運(yùn)算，降低解題難度.

代數(shù)求解：以AB為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（圖略），則點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（2，0）.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）.由 條 件可知：，化簡得P點(diǎn)的軌跡方程為：

幾何優(yōu)化：代數(shù)法直接的求解過程很難讓學(xué)生完全建立起對此類問題軌跡為圓的認(rèn)知，而且圓心的偏移也讓學(xué)生想象起來有一定的難度.利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，則很形象地說明P點(diǎn)的軌跡為圓.

圖1

變式1：坐標(biāo)系中已知線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（-1，-1），B（2，2），若動(dòng)點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

問題分析：此問題已經(jīng)在具體的坐標(biāo)系中給定特定的點(diǎn)，難點(diǎn)在于這兩點(diǎn)都不在坐標(biāo)軸上，所以求得圓的方程會更具一般化.但仍然可以通過代數(shù)法進(jìn)行求解，利用幾何法進(jìn)行優(yōu)化［1］.

代數(shù)求解 ：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）.由條件可知 ：3，化簡，得P點(diǎn)的軌跡方程為：

圖2

2.定義法

例2已知直線l∶y＝k（x-4）與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程.

問題分析：定義法是利用圓的定義，即到定點(diǎn)的距離等于定長，判斷出軌跡為圓.然后利用幾何關(guān)系進(jìn)行代數(shù)求解.本題不難發(fā)現(xiàn)OP、CP、OC三邊長滿足勾股定理，易得圓的方程.

代數(shù)求解：直線l∶y＝k（x-4）恒過點(diǎn)C（4，0），設(shè)中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接OP，易知OP⊥AB，則有OP2+CP2＝OC2，即x2+y2+（x-4）2+y2＝16，化簡得：（x-2）2+y2＝4，再由中點(diǎn)P在圓O內(nèi)部，可知x2+y2＜4.

幾何優(yōu)化：一些學(xué)生對此類問題的幾何特征挖掘較為困難，原因是對于動(dòng)態(tài)的問題在腦海中把握不變的本質(zhì)［3］.本題若采用幾何畫板演示，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，PD的長度保持不變（直角三角形斜邊上的中線始終是斜邊的一半），所以P點(diǎn)的軌跡必然為圓.容易看到，P點(diǎn)在圓O外部時(shí)，沒有軌跡.

圖3

變式2：已知線段AB的長度為4，且端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.

問題分析：本題的難點(diǎn)仍然在于對P點(diǎn)的軌跡為圓的挖掘.在代數(shù)求解過程中，則可以利用兩點(diǎn)間的中點(diǎn)公式以及距離公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.

代數(shù)求解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，y0）.由|AB|=4得，化簡得：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：x＝2x0，y＝2y0.代入得P點(diǎn)軌跡為：x2+y2＝4.

幾何優(yōu)化：采用幾何畫板將更為直觀地看到：除線段AB同在x軸、y軸兩種特殊情況外，A、B點(diǎn)均能和坐標(biāo)圓點(diǎn)O構(gòu)成直角三角形.0P作為斜邊上的中線，始終保持長度為2，軌跡方程為x2+y2＝4.當(dāng)A、B同在x軸或y軸上時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)仍滿足上式.

圖4

3.相關(guān)點(diǎn)法

例3 已知線段AB的中點(diǎn)P（2，2），點(diǎn)A在圓O：x2+y2＝4上移動(dòng)，求線段AB的端點(diǎn)B的軌跡方程.

問題分析：此類問題是線段的中點(diǎn)確定，一個(gè)端點(diǎn)隨著圓上的另一個(gè)端點(diǎn)移動(dòng).采用代數(shù)法求解應(yīng)尋找相關(guān)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而建立方程.此題中主要用到的是中點(diǎn)公式.

求解過程：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x0＝4-x，y0＝4-y.代入圓的方程可得：（4-x）2+（4-y）2＝4.化簡可得：（x-4）2+（y-4）2＝4.

優(yōu)化策略：本題中相關(guān)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，可以形象地展示出B點(diǎn)的軌跡為圓.該圓的方程也可以用特殊位置求解.即連接OB兩點(diǎn)，根據(jù)圖象不難求得軌跡圓的圓心為（4，4），半徑為2.

圖5

變式3：已知線段AB的端點(diǎn)B（4，4），點(diǎn)A在圓O：x2+y2＝4上移動(dòng)，求線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程.

問題分析：本題改變條件，變?yōu)榫€段的一個(gè)端點(diǎn)確定，另一個(gè)端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求隨之引起的中點(diǎn)變化軌跡.仍然可以利用上述代數(shù)方法求解.

求解過程：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x0＝2x-4，y0＝2y-4.代入圓的方程可得：（2x-4）2+（2y-4）2＝4.化簡可得：（x-2）2+（y-2）2＝1.

優(yōu)化策略：本題中相關(guān)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，可以形象地展示出P點(diǎn)的軌跡為圓.該圓的方程也可以用特殊位置求解.即連接OB兩點(diǎn)，根據(jù)圖象不難求得軌跡圓的圓心為（2，2），半徑為1.

圖6

總之，圓的軌跡問題是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是綜合性較強(qiáng)的問題，主要考查學(xué)生動(dòng)態(tài)思維能力和圖象感知能力.在此類問題的教學(xué)中，教師應(yīng)避免灌輸式地講授，直接告訴學(xué)生“死”的規(guī)律和方法，而應(yīng)該用動(dòng)態(tài)演示的方法，讓學(xué)生直觀感知到知識內(nèi)在的原理.通過幾何畫板的演示，可以較為容易地實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)思維能力的目標(biāo)，從而讓學(xué)生提煉方法，把握運(yùn)動(dòng)本質(zhì)，真正做到舉一反三.