從摸球試驗(yàn)例談古典概型復(fù)習(xí)課中例題的選取

李萌

摘? 要：古典概型是高考中涉及的兩個(gè)最基本的概率模型之一，它是二項(xiàng)分布和超幾何分布概率計(jì)算的重要理論依據(jù)，經(jīng)常與排列組合及概率分布問題結(jié)合組成令考生眩暈的概率大題。本文以摸球試驗(yàn)為例，探索古典概型復(fù)習(xí)課中例題的選取問題。

關(guān)鍵詞：摸球;古典概型

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要活動(dòng)是學(xué)習(xí)模型、應(yīng)用模型、建立模型、忘記模型的過程，在復(fù)習(xí)古典概型這一特殊且重要的概率模型時(shí)，筆者認(rèn)為緊緊抓住摸球試驗(yàn)，設(shè)計(jì)合理的摸球方案，就能將古典概型及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的計(jì)算講透徹.其他教輔上的題目大多都可以轉(zhuǎn)化成摸球試驗(yàn).以下典例是筆者上課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)：

例：一袋中有質(zhì)地均勻大小相同的6個(gè)黑球，4個(gè)白球

（1）不放回的把球隨機(jī)的一個(gè)一個(gè)全摸出來(lái)，求第1（或者2，3，4，5，6，7，8，9，10）次摸出一個(gè)球?yàn)楹谇虻母怕?

解：此題是課本上例題的改編，出自北師大版必修三第三章概率的第二節(jié)古典概型中建立概率模型一節(jié)，教材當(dāng)中選取的就是摸球問題（可見摸球試驗(yàn)的重要），教材中給了四種建立模型的方法，據(jù)此可以得出本題結(jié)論，本題也可以用來(lái)解釋抽獎(jiǎng)與順序無(wú)關(guān).

（2）不放回的把球隨機(jī)的一個(gè)一個(gè)全摸出來(lái)，求第2次才摸出黑球的概率

解：由古典概型的計(jì)算公式得

（3）不放回地依次取出7個(gè)球，正好有5個(gè)黑球的概率.

解：由古典概型的計(jì)算公式得，這是超幾何分布求概率的模型.

（4）有放回的摸出7個(gè)球，正好有5個(gè)黑球，2個(gè)白球的概率.

解：由古典概型的計(jì)算公式得這是二項(xiàng)分布求概率的模型.

（5）不放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

解法一：利用古典概型公式：，條件概率計(jì)算的基礎(chǔ)也是古典概型的計(jì)算公式.

解法二：B為“不放回取球，第一次取出白球” C為“不放回取球，第三次取到黑球”由條件概率：

（6）有放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

解法一：設(shè)事件為“有放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”，因?yàn)槭怯蟹呕氐娜∏颍悦看稳∏虻慕Y(jié)果互不影響，屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，所以第三次取球時(shí)依然是6個(gè)黑球，4個(gè)白球，取得黑球的概率為

解法二：只考慮后兩次

（7）現(xiàn)逐一不放回地進(jìn)行摸球，直到4個(gè)白球都被摸出為止，求摸球次數(shù)為5的概率.

（8）每次從袋中摸出一個(gè)球，然后放回，若累計(jì)3次摸到黑球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直到第5次摸球后結(jié)束，求摸球四次就停止的事件發(fā)生的概率.

解：本題為有放回摸球，可理解為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如果摸球四次就停止，說(shuō)明在這四次中一共摸到3次黑球，且前三次有兩次摸到黑球，第四次又摸到黑球。設(shè)事件為“摸球四次即停止摸球”

（9）另一袋內(nèi)有大小相同的1個(gè)黑球和3個(gè)白球，現(xiàn)從兩個(gè)袋內(nèi)各任取2個(gè)球，求取出的4個(gè)球中黑球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.（略）

對(duì)于摸球問題我們需要關(guān)注摸幾個(gè)和怎么摸的問題，若一次性摸取，特點(diǎn)是一次摸夠，元素不重復(fù)，無(wú)順序;解決方法：用組合的思想去解決;若逐次不放回摸取：特點(diǎn)是每次只摸一個(gè)，若干次摸夠，元素不重復(fù)，但有順序，解決方法：用排列的思想或分步計(jì)數(shù)原理去解決;若是逐次放回摸?。禾攸c(diǎn)是每次只摸一個(gè)，若干次摸夠，元素重復(fù)，同一個(gè)球每次被摸到的概率都一樣，解決方法：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录『冒l(fā)生K次的概率.

若把黑球看成次品，白球看成正品，則摸球可以描述產(chǎn)品抽樣.可引出超幾何分布：

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X=k}發(fā)生的概率為P（X=k）=，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*.若將這個(gè)問題中的抽取方式變成有放回的，就是我們熟知的二項(xiàng)分布.這兩個(gè)概率公式計(jì)算基礎(chǔ)都是古典概型，前面已經(jīng)舉例說(shuō)明.假如產(chǎn)品分為若干等級(jí)一等品、二等品、三等品等，則可用有多種顏色的摸球模型來(lái)描述.由于摸球的方式、球色的搭配及最終考慮的問題不同，其內(nèi)容可以說(shuō)是形形色色、千差萬(wàn)別。歷史上曾有人把浩翰繁雜的古典概率問題歸納為摸球問題、占房問題及隨機(jī)取數(shù)問題，又有人把其歸納為摸球問題、投球問題及隨機(jī)取數(shù)問題?？梢?，摸球模型的確是古典概型中的一顆璀璨的明珠。

以上這組變式訓(xùn)練難度適宜，同時(shí)將二項(xiàng)分布、超幾何分布、條件概率的計(jì)算設(shè)計(jì)其中，用古典概型的計(jì)算公式道明其計(jì)算原理，從源頭上解決了這幾個(gè)問題的計(jì)算難點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，充分展示了知識(shí)之間的聯(lián)系，學(xué)生只要在對(duì)比中找差異，總結(jié)規(guī)律，就能掌握模型進(jìn)而達(dá)到應(yīng)用的要求..筆者能力有限，不足之處，歡迎指正，望相互交流與學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)士健，王尚志.數(shù)學(xué)（必修3）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.