各向異性的非線性拋物方程解的爆破

楊曉菊,詹華稅

(1.集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021；2.廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 廈門 361024)

0 引言

各向同性和各向異性都是宏觀尺度,是物質(zhì)材料的自身的屬性,跟材料的尺度大小、內(nèi)部原子排列結(jié)構(gòu)、分子相互作用等密切相關(guān)。通俗來(lái)講,各向異性就是在各個(gè)方向上所體現(xiàn)出來(lái)的性質(zhì)都不一樣。各向異性的拋物方程與p-Laplace方程具有本質(zhì)的區(qū)別，它可以用來(lái)描述一些特殊的電阻原件,它們正接是良導(dǎo)體,反接就是絕緣體或者電阻很大,各個(gè)方向上的電導(dǎo)的物理常數(shù)差異很大。近些年來(lái),越來(lái)越多的學(xué)者們對(duì)各向異性的內(nèi)容很感興趣,并做了相關(guān)的研究[1-3]。

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其中：Ω是Rn中一個(gè)有界區(qū)域,且有光滑邊界?Ω；2

文獻(xiàn)[4]給出了方程(1)各向同性解的爆破,文獻(xiàn)[5]將其結(jié)果推廣到p(x)的情形。本文主要是借用文獻(xiàn)[4]的方法,運(yùn)用一定的計(jì)算技巧,得到各向異性的非線性拋物方程解的爆破性。

性質(zhì)1W1,p(Ω)是可分的、自反的Banach空間。

1 主要結(jié)果

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令α1=B-r/(r-p+)n1/(r-p+)2(1-p+)(n-1)/(r-p+),E1=(1/p+-1/r)B-rp+/(r-p+)np+/(r-p+)2r(1-p+)(n-1)/(r-p+),且

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2 定理1的證明

為了證明定理1，首先引入如下引理。

引理1 設(shè)函數(shù)g:[0,∞)→R且定義：g(α)=2(1-p+)(n-1)αp+/p+-Brαr/(nr)， 0<α<1;g(α)=2(1-p+)(n-1)αp-/p+-Brαr/(nr)，α≥1，那么函數(shù)g(α)具有如下性質(zhì):1)當(dāng)0<α<α1時(shí),函數(shù)g是單調(diào)遞增的，當(dāng)α>α1時(shí),函數(shù)g是單調(diào)遞減的;2)當(dāng)α→ +∞時(shí),g(α)→-∞;3)g(α1)=E1，α1∈(0,1)。這里α1和E1由前文給出。

證明這里的證明類似于文獻(xiàn)[4]。

命題1 設(shè)p≥1,那么對(duì)于任意的非負(fù)數(shù)a和b,有(a+b)p≤2p-1(ap+bp)。

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引入如下函數(shù)H(t)=E1-E(t),?t≥0。

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證畢。

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那么,由式(4)和式(10)可以得到

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結(jié)合式(16)和式(17),有G′(t)≥ηGr/2(t)。

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其中,η=C*/(rC)。

對(duì)式(18)積分得Gr/2-1(t)≥1/[G1-r/2(0)-(r/2-1)ηt]。

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因此,G在t*≤Gr/2-1(0)/[(r/2-1)η]時(shí)爆破。定理1得證。