拓撲空間中的半弱連續(xù)映射及其性質(zhì)

陳舒婷，陳水利，蔡璐蔚，劉偉權(quán)

(1.集美大學(xué)誠毅學(xué)院，福建 廈門 361021；2.集美大學(xué)信息工程學(xué)院，福建 廈門 361021；3.廈門大學(xué)信息學(xué)院，福建 廈門 361005；4.福建省智慧城市感知與計算重點實驗室，福建 廈門 361005)

0 引言

眾所周知，連續(xù)映射理論是拓撲學(xué)中最重要的研究內(nèi)容之一。不少學(xué)者在拓撲空間中引入了各種各樣的連續(xù)性的概念，并系統(tǒng)研究了各種連續(xù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用[1-8]，豐富了拓撲空間理論。本文在前人的研究基礎(chǔ)上，對拓撲空間中的半連續(xù)映射和弱連續(xù)映射等概念進行推廣，給出了半弱連續(xù)映射等概念，研究了半弱連續(xù)映射的等價條件，并討論了拓撲空間中半弱連續(xù)映射的基本性質(zhì)，以及半弱連續(xù)映射與其他弱形式的連續(xù)映射之間的關(guān)系。本文進一步豐富和完善了連續(xù)映射理論，為深入研究拓撲空間理論提供了新的理論工具。

1 預(yù)備知識

為了便于引用，下面給出本文將用到的一些基本概念。

定義1[1]設(shè)(X，T1)與(Y，T2)是拓撲空間,f：X→Y為映射。1)如果?V∈T2，有f-1(V)∈T1，則稱f是X上的連續(xù)映射；2)設(shè)x∈X，如果U∈U(f(x))，存在G∈U(x)使f(G)?U，則稱f在點x處連續(xù)。

定義2[1]設(shè)(X，T)是拓撲空間,A?X。1)如果存在B∈T ，使得B?A?B-，則稱A為半開集；2)如果存在閉集C，使得Co?A?C，則稱A是半閉集。

定義3[1]設(shè)(X，T)與(Y，T1)都是拓撲空間，f：X→Y是映射。1)如果任意B∈T1，都有f-1(B)∈So(X)，則稱f是半連續(xù)映射；2)設(shè)x∈X，如果任意V∈Uo(f(x))，都有f-1(V)∈Us(x)，則稱f在點x處是半連續(xù)的。

定義4[1]設(shè)f是從拓撲空間X到拓撲空間Y的映射，x0∈X。如果任意V∈Uo(f(x))，都存在U∈Uo(x0)，使得f(U)?V-，則稱f在x0處弱連續(xù)。如果f在每一點x∈X處都是弱連續(xù)的，則稱f是弱連續(xù)映射。

定理2[1]設(shè)f：X→Y是從拓撲空間X到拓撲空間Y的映射，則下列條件等價：1)f是弱連續(xù)映射；2)對任意Y中的閉集A，(f-1(Ao))?f-1(A)；3)設(shè)B是Y中的基，則任意A∈B′，(f-1(Ao))?f-1(A)；4)設(shè)B是Y中的基，則任意B∈B，f-1(B)?(f-1(B-))o。

定義5[1]設(shè)A是拓撲空間X的子集，x∈X。如果?V∈U(x)，有V-∩A≠(V-o∩A≠)，則稱x是A的θ-附著點(δ-附著點)，A的所有θ-附著點(δ-附著點)的集合稱為A的θ-閉包(δ-閉包)，用表示。當(dāng)時，稱A是θ-閉集(δ-閉集)。

定義6[1]設(shè)D是定向集，則映射S：D→X稱為X中的網(wǎng)。?n∈D，用S(n)表示S在點n的值，網(wǎng)S又可以記作S=S(n)n∈D。

定義7[1]設(shè)X是拓撲空間,S=S(n)n∈D是X中的網(wǎng)，x∈X。如果?U∈U(x)，存在n0∈D，當(dāng)n≥n0時，有S(n)∈U，則稱網(wǎng)S收斂于x，或稱x是網(wǎng)S的極限點，記作S→x，S的所有極限點的集合，記作limS。

定義8[1]設(shè)A是拓撲空間X的子集，x∈X。如果?V∈U(x)，有V-∩A≠(V-o∩A≠)，則稱x是A的θ-附著點(δ-附著點)，A的所有θ-附著點(δ-附著點)的集合稱為A的θ-閉包(δ-閉包)，用表示。當(dāng)時，稱A是θ-閉集(δ-閉集)。

定義9[1]設(shè)(D，≤)是偏序集，如果滿足：?x,y∈D，存在z∈D使z≥x，且z≥y，則稱D為定向集。

注1 考慮拓撲空間X的點x的半鄰域族Us(x)，?A,B∈Us(x)，定義A≤B?B?A，則Us(x)也是定向集。

2 半弱連續(xù)映射及其基本性質(zhì)

本節(jié)把拓撲空間中的半連續(xù)映射和弱連續(xù)映射進行推廣，引入半弱連續(xù)映射概念，并系統(tǒng)研究半弱連續(xù)映射的基本性質(zhì)。

證明1)?2)。定理5的1)?2)已證。

定理10 對于映射f：X→Y，下列敘述是等價的：1)f是半弱連續(xù)映射；2)對于每個開集A?Y，f-1(A)?(f-1(A-))；3)對于每個閉集B?Y，(f-1(Bo))?f-1(B)。

2)?3)。令B?Y為閉集，則B′?Y為開集，由條件2)知f-1(B′)?(f-1(B′-))，又因為f-1(B′)=(f-1(B))′且(f-1(B′-))=(f-1(B))=(f-1(Bo))=(f-1(Bo))-′-=(f-1(B))，所以(f-1(Bo))?f-1(B)。

3)?1)。令B?Y為閉集，則(f-1(Bo))?f-1(B)，又f-1(Bo)?f-1(B)，由定理8，有所以由定理7得出f是半弱連續(xù)映射。

接下來，為討論半弱連續(xù)映射與連通的關(guān)系，引入半隔離集和半連通的概念。

定義12[2]A?X稱為半連通的，如果A不是兩個半隔離集的并集。

定理11 如果映射f：X→Y是半弱連續(xù)滿射且X是半連通的，則Y是連通的。

證明反證法。設(shè)Y是不連通的，則存在著在Y中的非空開集V1，V2，使得Y=V1∪V2且V1∩V2=。因此f-1(V1)∪f-1(V2)=X且f-1(V1)∩f-1(V2)=?。因為f是半弱連續(xù)的且是滿射的，由定理10得出≠f-1(Vi)?(f-1(Vi-))，i=1,2。但Vi是既開且閉的，所以f-1(Vi)?(f-1(Vi))，i=1,2。因此f-1(Vi)是半開集，i=1,2。這與X是半連通的假設(shè)矛盾，因此Y是連通的。

緊接著，為了研究半弱連續(xù)映射在網(wǎng)上的性質(zhì)，先將網(wǎng)的幾個基本定義進行推廣。

定義13 設(shè)X是拓撲空間,S={S(n)|n∈D}是X中的網(wǎng)，x∈X。如果?U∈Us(x)，存在n0∈D，當(dāng)n≥n0時，有S(n)∈U，則稱網(wǎng)S半收斂于x，或稱x是網(wǎng)S的半極限點。

定義14[1]設(shè)S={S(n)|n∈D}是拓撲空間X中的網(wǎng)，x∈X。如果?U∈U(x)，存在n0∈D，當(dāng)n≥n0時，有S(n)∈U-，則稱網(wǎng)S是θ-收斂于x。

定理13 設(shè)f：X→Y是從拓撲空間X到拓撲空間Y的映射，則f是半弱連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)?x∈X，對X中任意半收斂于x的網(wǎng)S={S(n)|n∈D}，f(S)θ-收斂于f(x)。

3 半弱連續(xù)映射與其他幾種弱形式連續(xù)映射的關(guān)系

定理14 設(shè)f：X→Y是連續(xù)映射，則f也是半弱連續(xù)映射。

定理15 設(shè)f：X→Y是半弱連續(xù)映射，Y是正則空間，則f是半連續(xù)映射。

定理16 設(shè)f：X→Y是從拓撲空間X到拓撲空間Y的映射，若對Y中任一開集V，f-1(?V)總是X中的閉集，則f是半弱連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)f是連續(xù)映射，這里?V表示V的邊界。

當(dāng)然，由于連續(xù)映射是半連續(xù)映射也是弱連續(xù)映射，所以有以下的推論1和推論2。

推論1 設(shè)f：X→Y是半弱連續(xù)映射，若對Y中任一開集V，f-1(?V)總是X中的閉集，則f是半連續(xù)映射，這里?V表示V的邊界。

推論2 設(shè)f：X→Y是半弱連續(xù)映射，若對Y中任一開集V，f-1(?V)總是X中的閉集，則f是弱連續(xù)映射，這里?V表示V的邊界。

定理17 設(shè)f：X→Y是半連續(xù)映射，則f也是半弱連續(xù)映射。

定理18 設(shè)f：X→Y是弱連續(xù)映射，則f也是半弱連續(xù)映射。

定理19 設(shè)f：X→Y是半弱連續(xù)映射，則f也是弱半連續(xù)映射。

最后，本文用一個圖表描述半弱連續(xù)映射與其他幾種連續(xù)映射的關(guān)系，如圖1所示。

圖1 半弱連續(xù)映射與其他幾種連續(xù)映射的關(guān)系