探討綜合法和分析法在初中幾何解題中的應(yīng)用

戴燕紅

(江蘇省天一中學(xué) 214101)

幾何解題需要清醒的頭腦與沉穩(wěn)的心情，不要一看到幾何證明題目憑著自己的直覺就開始著手解題，首先需要運用分析法細致、全面地分析幾何題目的解題思路，然后再運用綜合法對幾何題目整體把控，開始證明.分析法講的是以所要證明的幾何題目結(jié)論為出發(fā)點，向前一步步尋找使其成立的充分條件，直到找到一個符合題目的條件.

綜合法講的是在幾何題目證明當中，通過已知條件開始證明，解題過程環(huán)環(huán)相扣，最終得到幾何題目所要證明的結(jié)論成立，簡而言之就是通過已知去看可知，步步接近未知的證明方法.綜合法是初中幾何試題常用的解題方法.

一、綜合法和分析法在初中幾何解題中的應(yīng)用

例1 如圖1所示，三角形ABC是一個等腰直角三角形，CF是直角∠ACB的角平分線，BF是外角∠ABE的角平分線，CF與BF這兩條角平分線相交于點F，探求∠BFC與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系.

解根據(jù)已知條件，∠ACB=90°，CF是∠ACB的角平分線，所以∠CAB=∠BCF=1/2∠BCA=45°.因為BF是外角∠ABE的角平分線，所以∠ABF=1/2∠EBA=1/2(180°-∠CBA)=1/2(180°-45°)=67.5°.所以∠FBC=67.5°+45°=112.5°，所以∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF=180°-112.5°-45=22.5°.又因為∠CAB=45°，所以∠BFC=1/2∠BAC.

例2 如圖2所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E是△ABC之外的一點，并且∠AEC=45°，求證線段AE⊥BE.

首先運用分析法探索幾何題目的解題路線：若證明線段AE⊥BE，已知∠AEC=45°，需要證明∠BEC=45°.分析到這里，解題遇到第一個瓶頸，沒有更多的已知條件可用，我們需要考慮借助輔助線來增加已知條件，通常會首先考慮具有特殊性的45°角.繼續(xù)分析：作線段BM⊥EC并相交于點M，須證明線段BM=EM，線段BM處在△BMC當中，通過看圖直覺發(fā)現(xiàn)并沒有與其全等的三角形，因此還需要增加一條輔助線構(gòu)建一個與三角形BMC全等的三角形.已知AC=BC，作線段AN⊥EC相交于點N，得出AN=EN，進而可以運用角角邊的全等三角形定理證明△CBM全等于△ACN，進一步得到線段BM=CN.因為線段CM=AE=EN，所以線段CN=EM，所以線段BM=EM，所以∠BEC=45°.進而得出所需要求證的結(jié)論，線段AE⊥BE.

二、激發(fā)學(xué)生幾何學(xué)習(xí)興趣，促進綜合法和分析法在初中幾何解題中的應(yīng)用

興趣是最好的老師，學(xué)生自身對幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣直接促進綜合法和分析法在初中幾何解題中的應(yīng)用.

首先，教師可以舉出幾何學(xué)習(xí)中具有代表性、通俗易懂的背景材料.舉例來講，教師在傳授學(xué)生“平行線”這一概念的時候，教師可以先讓學(xué)生們觀察鐵軌的圖片、長方形黑板的左右邊緣、直尺的上下邊緣等，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)以上例子具有哪些共同點.學(xué)生在觀察、分辨之后，老師可以讓學(xué)生舉手發(fā)言，同時通過舉手數(shù)量來初步衡量學(xué)生們的觀察情況，然后教師順理成章地將本節(jié)課“平行線”的概念引出來，學(xué)生們就更容易理解“平行線”這一抽象的概念了.

其次，可以通過就具體的實驗來調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的積極性，恰到好處地使用幾何教學(xué)工具就顯得尤為重要，老師指導(dǎo)學(xué)生自己動手開展幾何實驗，引導(dǎo)學(xué)生主動探索幾何的奧秘，由此一來，不僅在幾何情景課堂創(chuàng)設(shè)方面收獲意想不到的良好效果，同時還有助于培養(yǎng)初中學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.比如，在學(xué)習(xí)證明三角形全等、角與角之間的關(guān)系時，教師可以向?qū)W生們發(fā)出疑問，兩個三角形三個角的度數(shù)都一樣就是全等三角形嗎？學(xué)生們幾乎都回答是，然后老師拿出兩個角度相同但邊長不等的兩個三角形卡片，讓學(xué)生們動手將兩個三角形重合，學(xué)生們在親自動手實踐之后發(fā)現(xiàn)，兩個三角形卡片大小不一致，根本不能說是全等三角形.學(xué)生們會繼續(xù)思考，具備怎樣的條件才能是全等三角形？進而對初中幾何的學(xué)習(xí)興趣愈加濃厚.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當中，幾何部分的學(xué)習(xí)對于初中生來講非常重要，也是很多學(xué)生認為較難的學(xué)習(xí)內(nèi)容，很多幾何圖形較為抽象，需要學(xué)生在腦海中建立立體模型，所以，在初中幾何學(xué)習(xí)中，教師要逐步降低幾何題目的解題難度，對學(xué)生看到幾何題目后的解題思路與尋找解題路徑能力方面進行強化，可以借助圖形、添加輔助線等來找到解題思路，幫助學(xué)生正確運用綜合法和分析法，幫助學(xué)生很快解決幾何試題的求證，提高學(xué)生幾何解題能力.加強師生之間的溝通與交流，重點監(jiān)督學(xué)生幾何試題解題思路能力的掌握程度以及幾何圖形繪圖能力.在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的同時，重點指導(dǎo)學(xué)生綜合法和解析法在初中幾何解題中的應(yīng)用情況.