搭建支架 “發(fā)現(xiàn)”本源
——“二次函數(shù)與線段最值”的教學(xué)實踐與思考

莊周燕

(江蘇省南通市通州區(qū)育才中學(xué) 226300)

核心素養(yǎng)時代，為了讓我們的課堂在有限時間內(nèi)產(chǎn)生較高的效應(yīng)量，需要我們對知識進行有意義的建構(gòu)，而例題教學(xué)作為課堂教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)，我們要重視挖掘它的價值，注重拓展和延伸，可設(shè)置一題多問，“問題”是數(shù)學(xué)的心臟，我們要讓它更具開放性、探究性和層次性，教學(xué)時不斷加強基本技能和數(shù)學(xué)思想的教學(xué)力度，讓學(xué)生理清一題多問中的相互關(guān)聯(lián)，感知知識發(fā)生、發(fā)展的過程，讓學(xué)生的的思維更加開闊和深刻，實現(xiàn)擴張效應(yīng).下面就“二次函數(shù)與線段最值”的思考和實踐進行回顧梳理，以呈現(xiàn)自己與課的成長歷程.

問題1 過點P作y軸的平行線交直線AC于Q點，試用含有m的式子表示線段PQ的長并求線段PQ的最大值.

=-2m2-4m=-2(m2+2m)=-2(m+1)2+2,

又∵-2

∴當(dāng)m=-1時，PQ有最大值為2.

評析本問要研究線段PQ的最大值，考慮到P,Q兩點橫坐標(biāo)一樣，線段長度計算可考慮用點P的縱坐標(biāo)減去點Q的縱坐標(biāo)，得到一個二次函數(shù)表達式，再考慮范圍，求出最大值.二次函數(shù)模型的建構(gòu)為后續(xù)學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).

問題2過點P作x軸平行線交直線AC于N點，求線段PN的最大值.

解過點P作PD⊥x軸于D點，交AC于點Q.

∵PN∥AB,

∴∠PNQ=∠CAO,

∴tan∠PNQ=tan∠CAO.

∴PN=2PQ.

當(dāng)PQ最大時，有PN最大.

由第1問可知，當(dāng)m=-1時，PQ有最大值為2,所以PN的最大值為4.

評析在問題1的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自主嘗試，互動交流，讓學(xué)生在自主活動中發(fā)揮主體性，積極性和發(fā)展性，在問題2探究時，有學(xué)生提出點P和點N的縱坐標(biāo)一樣，是不是也可以像問題1一樣，設(shè)縱坐標(biāo)為n，將兩點的橫坐標(biāo)表示出來，再考慮橫坐標(biāo)之差，但實踐發(fā)現(xiàn)點P的橫坐標(biāo)不易表示，當(dāng)學(xué)生朝著一個固定的思維方向受阻時，我們可以引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，合理靈活地尋找新的探索方向，轉(zhuǎn)為PN和PQ之間的關(guān)系研究，問題的解決讓他們感受到轉(zhuǎn)化在解題中的作用和價值.

問題3求P點到直線AC距離的最大值.

解∵∠HPQ+∠PQH=90°，∠AQD+∠QAD=90°,

又∵∠AQD=∠PQH,

∴∠HPQ=∠QAD.

評析問題1至3漸進的設(shè)置，自然、合理、必然，有效地促進了學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗.前兩問的探析，讓學(xué)生找到一條清晰的解決問題的方法路徑，學(xué)生在探索中獲得了有益的感悟，有助于鍛煉思維的靈活性，在不知不覺中習(xí)得技能，問題3自然而然得以解決.這表明學(xué)生的解題能力進一步走向深入.

問題4作PD⊥x軸于D點，交AC于Q點，作PH⊥AC于H點，求△PQH周長的最大值.

同理∵QH=PQsin∠QPH,

C△PQH=PQ+PH+QH

問題5連接PA，PC.求△PAC面積的最大值.

解S△PAQ+S△POQ

由第1問可知，當(dāng)m=-1時，PQ有最大值為2,所以△PAC的面積為2.

評析問題4和5，作為前3問的延續(xù)和拓展，進一步喚醒、激活了學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，完成了對數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)，讓學(xué)生總結(jié)得出不同的題型最后都可化歸為線段PQ的研究.通過對教學(xué)資源的設(shè)計，可跳出“就題講題”的窠臼，有效地促進學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗，讓學(xué)生獲得真正意義的成長.

磨課感悟本題是一道以二次函數(shù)為背景的動態(tài)探究綜合題，有效融合了二次函數(shù)轉(zhuǎn)化思想，三角函數(shù)，三角形的周長、面積計算等基礎(chǔ)知識.首先研究線段長度和坐標(biāo)之間的關(guān)系，用二次函數(shù)表達式表示線段的長度，讓學(xué)生從知識的“根部”開始，逐漸加深，理解知識的發(fā)生，發(fā)展過程，體驗題型設(shè)計的合理性與層次性，引導(dǎo)學(xué)生從事物的本源去深思，把握知識的本質(zhì).

1.厘清問題根源，發(fā)現(xiàn)入門鑰匙

本節(jié)課我采用了“情境——建?！蠼狻獞?yīng)用”的教學(xué)流程，首先創(chuàng)設(shè)一個讓學(xué)生易于理解的學(xué)習(xí)資源問題1，完成二次函數(shù)模型的建構(gòu)，在本源性的數(shù)學(xué)問題研究后，再派生出問題系列，層層遞進.問題2的探究為問題3-5的研究提供了很好的研究范式.當(dāng)我們找準(zhǔn)知識的生長點后，引導(dǎo)學(xué)生在這里下功夫，幫助學(xué)生找到入門的鑰匙.

2.著眼模型建構(gòu)，發(fā)現(xiàn)解題技巧

為了使教學(xué)更具生成性，開放性和發(fā)展性，我們將教學(xué)素材進一步整合，讓不同的數(shù)學(xué)問題以及數(shù)學(xué)實質(zhì)的不同側(cè)面進行對話，引導(dǎo)學(xué)生用有效的策略和方法去探索，思考和理解，從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，力求在有限的時間里，通過發(fā)現(xiàn)問題、思考問題.學(xué)生能夠透過表象，發(fā)現(xiàn)本源，從而走向最遠(yuǎn)的終點，同時能在比較中感受知識的發(fā)展脈絡(luò)，找到幾個問題的共同要素，從中汲取對自己有用的解題經(jīng)驗，從而將新知和已有經(jīng)驗進行融會貫通，最終完成新知的建構(gòu).

3.拓寬探究渠道，發(fā)現(xiàn)蘊藏之質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)就是教師引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)活動，在師生之間、生生之間的積極交流和互動中完成學(xué)習(xí)任務(wù)，實現(xiàn)共同發(fā)展.本課為了讓結(jié)構(gòu)更合理，互動更有序，合作更有效，設(shè)置時主要讓學(xué)生在第1問的基礎(chǔ)上進行聯(lián)想，將問題串聯(lián)在分類與整合的這根線上.學(xué)生通過思維參與，行為參與，在體驗中思考、交流，在思維碰撞的過程中逐步悟化，探究出事物的本質(zhì)，思維品質(zhì)得到了進一步提升，形成更佳的智能結(jié)構(gòu).

總體來說，本節(jié)課以探究為基點，讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的觀察、合作探究，歸納總結(jié)的過程，先“融會”再貫通.學(xué)生透過老師搭建的層層階梯，逐步找到核心問題，即線段最值問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題來探究，在細(xì)致揣摩中對題目的本質(zhì)有了清晰的認(rèn)識，形成了解決問題的基本策略，學(xué)生在探尋中實現(xiàn)了整體建構(gòu)的價值提升.