測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)圖像與結(jié)果分析

魏 明

(貴州師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550018)

1 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c思路

測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻作為物理實(shí)驗(yàn)中最重要的電學(xué)實(shí)驗(yàn)之一，是實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。該實(shí)驗(yàn)蘊(yùn)含了閉合電路歐姆定律的應(yīng)用以及電流表、電壓表內(nèi)阻對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響的分析，學(xué)生在學(xué)習(xí)中面對(duì)實(shí)際的實(shí)驗(yàn)問題與情景時(shí)，往往表現(xiàn)出不懂得如何進(jìn)行實(shí)驗(yàn)誤差分析、實(shí)驗(yàn)儀器選擇與實(shí)驗(yàn)思路方法設(shè)計(jì)，尤其是不理解幾種常見的實(shí)驗(yàn)思路方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，不理解在具體的實(shí)驗(yàn)中該如何選擇。目前，一些物理教師為了提高實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果做了許多探討[1-2]，提出了“解析法”“圖解法”“等效電源法”[3]“函數(shù)法”[4]“待定系數(shù)法”[5]等誤差分析方法，有助于學(xué)生對(duì)該實(shí)驗(yàn)的理解。本文將在此基礎(chǔ)上，全面系統(tǒng)深入地分析實(shí)驗(yàn)圖像及其產(chǎn)生誤差的原因，并從相對(duì)誤差的角度深入分析幾種常見實(shí)驗(yàn)思路方法的科學(xué)性、可行性以及彼此之間的聯(lián)系和區(qū)別，以期學(xué)生能真正理解并根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn)情景正確選擇實(shí)驗(yàn)儀器、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)思路，分析實(shí)驗(yàn)圖像與結(jié)果。

從實(shí)驗(yàn)思路來看，該實(shí)驗(yàn)根據(jù)閉合電路的歐姆定律，通過改變電路中的電路元件及其連接方式，采用實(shí)驗(yàn)圖像的形式分析和測(cè)量電池的電動(dòng)勢(shì)及內(nèi)阻[6]，常見的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D1至圖4所示。

圖1 外接法電路圖

圖4 安阻法電路圖

在圖1、圖2、圖3、圖4所示實(shí)驗(yàn)電路中，通過改變滑動(dòng)變阻器或電阻箱的阻值從而獲得多組電流表與電壓表的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用閉合電路的歐姆定律，即

圖2 內(nèi)接法電路圖

圖3 伏阻法電路圖

U=-rI+E

(1)

其中U、I為電路的路端電壓與干路電流，E、r為電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。根據(jù)圖1、圖2中的電壓與電流關(guān)系，圖3中的電壓與電阻關(guān)系，圖4中的電流與電阻關(guān)系建立二維坐標(biāo)系，通過相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)圖像獲得電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較與分析

2.1 電壓表分流的實(shí)驗(yàn)圖像與相對(duì)誤差分析

2.1.1 外接法實(shí)驗(yàn)圖像分析

在圖1所示的外接法實(shí)驗(yàn)電路中，電流表相對(duì)電源處于電壓表的外接之中。假設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)的真實(shí)值和測(cè)量值分別為E真和E測(cè)，內(nèi)阻的真實(shí)值和測(cè)量值分別為r真和r測(cè)，電壓表和電流表的內(nèi)阻分別為RV和RA。根據(jù)閉合電路的歐姆定律，可得電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量值與真實(shí)值分別滿足

U測(cè)=-r測(cè)I測(cè)+E測(cè)

(2)

U真=-r真I真+E真

(3)

根據(jù)(2)式函數(shù)關(guān)系，以電流為橫軸、電壓為縱軸建立二維坐標(biāo)系，把電路測(cè)得的多組電流與電壓數(shù)值進(jìn)行描點(diǎn)作圖，可得圖5所示的實(shí)線圖像。在圖5中，當(dāng)電流I測(cè)為零，即圖1中安培表的示數(shù)為零時(shí)，電壓表測(cè)得的電壓為U測(cè)，根據(jù)(2)式可知U測(cè)等于E測(cè)。

圖5 外接法U-I圖

很明顯，在圖1電路圖中，電壓表的測(cè)量值始終為電路的路端電壓真實(shí)值，即

U測(cè)=U真

(4)

由于電壓表內(nèi)阻的分流作用，電流表的測(cè)量值I測(cè)要小于電路的干路電流I真，即

(5)

因此，在同一電壓下，I真要大于I測(cè)，并且隨著電壓U測(cè)逐漸減小，ΔI逐漸減小。當(dāng)U測(cè)=0，即外電路短路，包括滑動(dòng)變阻器、電壓表與電流表的內(nèi)阻都被短路時(shí)，ΔI=0，即

I測(cè)短=I真短

(6)

因此，可根據(jù)(3)(5)(6)式，結(jié)合圖5中的U測(cè)-I測(cè)實(shí)線圖像作出U真-I真虛線圖像。

由(2)和(3)式的函數(shù)關(guān)系可知，圖5中的實(shí)線圖像與虛線圖像在縱坐標(biāo)軸上的截距分別為E測(cè)與E真，在橫坐標(biāo)軸上的截距分別為大小相等的I測(cè)短與I真短故可通過坐標(biāo)軸上的截距計(jì)算出E測(cè)、E真、r測(cè)和r真，且大小關(guān)系為

E測(cè)

(7)

(8)

其中，E測(cè)與E真為縱軸上截距，I測(cè)短與I真短為橫軸上的截距，r測(cè)和r真為圖像斜率的絕對(duì)值。

2.1.2 伏阻法實(shí)驗(yàn)圖像分析

同樣，在圖3所示的伏阻實(shí)驗(yàn)電路中，假設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)的真實(shí)值和測(cè)量值分別為E真和E測(cè)，內(nèi)阻的真實(shí)值和測(cè)量值分別為r真和r測(cè)，電壓表的內(nèi)阻為RV，電阻箱的實(shí)測(cè)電阻為R測(cè)，電路中的總外電阻為R真，根據(jù)閉合電路歐姆定律可得

(9)

(10)

分別對(duì)(9)式和(10)式進(jìn)行數(shù)學(xué)變換可得

(11)

(12)

圖圖

同理，在圖3電路圖中，電壓表的測(cè)量值U測(cè)始終等于電路的路端電壓真實(shí)值U真，即

U測(cè)=U真

(13)

由于電壓表內(nèi)阻的分流作用，流過電阻箱電阻中的電流要小于電路中的干路電流，即

(14)

(15)

E測(cè)

(16)

r測(cè)

(17)

2.1.3 電壓表分流產(chǎn)生的相對(duì)誤差分析

從上述分析可知，通過圖1、圖3電路圖測(cè)得的電流電壓值作出的圖5、圖6所示圖像可以得到電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，充分說明了這種思路方法是可行的。但是這種思路方法是否科學(xué)、可靠，顯然還需加以論證。倘若(7)(8)(16)和(17)式的測(cè)量值要比真實(shí)值小得太多，縱然這種思路方法可行也是不可取的。因此，可以通過推證E測(cè)和r測(cè)的相對(duì)誤差來加以論證和分析。

把(4)和(5)式帶入(3)式，(13)和(15)式代入(12)式分別可得

(18)

(19)

比較(18)式和(2)式，(19)式和(11)式可得到相同的結(jié)果，即

(20)

(21)

由(20)和(21)式可以看出，由于外接法和伏阻法都受電壓表分流作用的影響，兩種方法分別測(cè)得的電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的測(cè)量值不僅相同，而且都比真實(shí)值要小，同時(shí)與通過實(shí)驗(yàn)圖像得出的(7)式、(8)式、(16)式和(17)式的大小關(guān)系一致。如果用δE與δr分別表示電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻測(cè)量值的相對(duì)誤差，則

(22)

顯然，要使相對(duì)誤差很小，就必選滿足電池內(nèi)阻遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電壓表內(nèi)阻條件。即

r真?RV

(23)

一般情況下，由于電池的內(nèi)阻較電壓表的內(nèi)阻小很多，滿足(23)式的關(guān)系，故電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻測(cè)量值的相對(duì)誤差很小，測(cè)量值比較可靠，而且電池內(nèi)阻相對(duì)電壓表內(nèi)阻越小，相對(duì)誤差就越小，若取相對(duì)誤差小于等于0.1%，則可得

(24)

很明顯，實(shí)驗(yàn)室常用電池的內(nèi)阻與電壓表的內(nèi)阻大小關(guān)系完全可以滿足(24)式，故而用外接法與伏阻測(cè)電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的思路方法不僅可行而且科學(xué)可靠。假設(shè)在電壓表內(nèi)阻RV已知情況下，還可以根據(jù)(20)和(21)式，得出通過圖5、圖6中真實(shí)值的虛線圖像計(jì)算出的r真和E真，即

(25)

(26)

因此，在電壓表外阻RV已知情況下，采用外接法和伏阻法測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，既可根據(jù)圖5、圖6測(cè)量值的實(shí)線圖像，通過(25)式和(26)式求出E真和r真，又可直接根據(jù)圖5、圖6真實(shí)值的虛線圖像求出E真和r真。

2.2 電流表分壓的實(shí)驗(yàn)圖像與相對(duì)誤差分析

2.2.1 內(nèi)接法實(shí)驗(yàn)圖像分析

在圖2所示的內(nèi)接法實(shí)驗(yàn)電路中，電流表相對(duì)滑動(dòng)變阻器處于電壓表的內(nèi)接之中。同樣假設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)的真實(shí)值和測(cè)量值分別為E真和E測(cè)，內(nèi)阻的真實(shí)值和測(cè)量值分別為r真和r測(cè)，電壓表和電流表的內(nèi)阻分別為RV和RA。同樣根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得與(2)式和(3)式一樣結(jié)果，即

U測(cè)=-r測(cè)I測(cè)+E測(cè)

(27)

U真=-r真I真+E真

(28)

根據(jù)(27)式函數(shù)關(guān)系，同樣以電流為橫軸、電壓為縱軸建立二維坐標(biāo)系，把電路測(cè)得的多組電流電壓數(shù)值進(jìn)行描點(diǎn)作圖，可得圖7所示的實(shí)線圖像。在圖7中，當(dāng)電流I測(cè)為零，即圖2中安培表的示數(shù)為零時(shí)，電壓表測(cè)得的電壓為U測(cè)，根據(jù)(27)式可知U測(cè)等于E測(cè)。

圖7 內(nèi)接法U-I圖

很明顯，在圖2電路圖中，電流表的測(cè)量值始終為電路的干路電流真實(shí)值，即

I測(cè)=I真

(29)

由于電流表內(nèi)阻的分壓作用，電壓表的測(cè)量值U測(cè)要小于電路的路端電壓U真，即

ΔU=U真-U測(cè)=UA=I測(cè)RA

(30)

因此，在同一電流下，U真要大于U測(cè)，并且隨著電流I測(cè)逐漸減小時(shí)，ΔU逐漸減小。當(dāng)I測(cè)=0時(shí)，ΔU=0，即外電路斷路時(shí)，電流表內(nèi)阻和電池內(nèi)阻上都沒有分壓，再結(jié)合(27)和(28)式得

E測(cè)=E真

(31)

因此，可根據(jù)(28)(30)(31)式，結(jié)合圖7中的U測(cè)-I測(cè)實(shí)線圖像作出U真-I真虛線圖像。

由(27)和(28)式的函數(shù)關(guān)系可知，圖7中的實(shí)線圖像與虛線圖像在縱坐標(biāo)軸上的截距為大小相等的E測(cè)與E真，在橫坐標(biāo)軸上的截距分別為I測(cè)與I真，故可通過坐標(biāo)軸上的截距計(jì)算出E測(cè)、E真、r測(cè)和r真，且大小關(guān)系為

E測(cè)=E真

(32)

(33)

其中，E測(cè)與E真為縱軸上截距，I測(cè)與I真為橫軸上的截距，r測(cè)和r真為圖像斜率的絕對(duì)值。

2.2.2 安阻法實(shí)驗(yàn)圖像分析

同樣，在圖4所示的安阻實(shí)驗(yàn)電路中，同樣假設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)的真實(shí)值和測(cè)量值分別為E真和E測(cè)，內(nèi)阻的真實(shí)值和測(cè)量值分別為r真和r測(cè)，電流表的內(nèi)阻為RA，電阻箱的實(shí)測(cè)電阻為R測(cè)，電路中的外電路總電阻為R真，根據(jù)閉合電路歐姆定律可得

U測(cè)=I測(cè)R測(cè)=-I測(cè)r測(cè)+E測(cè)

(34)

U真=I真R真=-I真r真+E真

(35)

分別對(duì)(34)式和(35)式進(jìn)行數(shù)學(xué)變換可得

(36)

(37)

圖圖

同理，在圖4電路圖中，電流表的測(cè)量值I測(cè)始終等于電路的干路電流真實(shí)值I真，即

I測(cè)=I真

(38)

由于電流表內(nèi)阻的分壓作用，電阻箱電阻兩端的電壓U測(cè)要小于電路中的路端電壓U真，即

ΔU=U真-U測(cè)=I測(cè)(R真-R測(cè))

(39)

因此，在同一電流I下，U真要大于U測(cè)，R真要大于R測(cè)，且

R真-R測(cè)=(RA+R測(cè))-RA=RA

(40)

E測(cè)=E真

(41)

r測(cè)>r真

(42)

2.2.3 電流表分壓產(chǎn)生的相對(duì)誤差分析

同樣，要分析與論證通過圖2、圖4電路圖作出的圖7、圖8所示得到電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的思路方法不僅可行而且科學(xué)可靠，還需按上述思路進(jìn)行相對(duì)誤差推正與分析。

把(29)和(30)式帶入(28)式，(38)和(40)式代入(37)式分別可得

U測(cè)=-(r真+RA)I測(cè)+E真

(43)

(44)

比較(43)式和(27)式，(44)式和(36)式可得到相同的結(jié)果，即

r測(cè)=RA+r真

(45)

E測(cè)=E真

(46)

由(45)和(46)式可以看出，由于內(nèi)接法和安阻法都受電流表分壓作用的影響，其電池內(nèi)阻的測(cè)量值分別相同，都比真實(shí)值要大，電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量值分別相同且與真實(shí)值相等，同時(shí)與通過實(shí)驗(yàn)圖像得出的(32)(33)(41)和(42)式的大小關(guān)系一致。如果同樣用δE與δr分別表示電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻測(cè)量值的相對(duì)誤差，則

(47)

(48)

顯然，電池電動(dòng)勢(shì)的相對(duì)誤差為零，要使內(nèi)阻的相對(duì)誤差也很小，就必須滿足電池內(nèi)阻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電流表內(nèi)阻的條件。即

r真?RA

(49)

很明顯，實(shí)驗(yàn)室常用的電池內(nèi)阻與電流表的大小關(guān)系很難滿足(49)式，故采用內(nèi)接法與安阻法測(cè)得的內(nèi)阻誤差比用外接法與伏阻法測(cè)得的誤差要大很多。如果在誤差要求不高的情況下，用內(nèi)接法與安阻法測(cè)量電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻也是可行的。假設(shè)在電流表內(nèi)阻RA已知情況下，通過圖7、圖8真實(shí)值的虛線圖像得出的r真與通過(45)式得出的r真大小相同，即

r真=r測(cè)-RA

(50)

因此，在電流表內(nèi)阻RA已知情況下，采用內(nèi)接法和安阻法測(cè)定電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻，既可根據(jù)圖7、圖8測(cè)量值的實(shí)線圖求出E真，再結(jié)合(50)式求出r真，也可直接根據(jù)圖7、圖8真實(shí)值的虛線圖像求出E真、r真。

3 結(jié)論

為了促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)與理解，根據(jù)幾種常見的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c思路，全面深入地分析了實(shí)驗(yàn)圖像的內(nèi)涵與誤差本質(zhì)，并從相對(duì)誤差的角度比較和分析了這幾種常見實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c思路方法的本質(zhì)、區(qū)別及其相互間的聯(lián)系，為學(xué)生選擇實(shí)驗(yàn)儀器、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)思路提供了依據(jù)。

(1)如果實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差要求很小，就必須采用圖1外接法和圖3伏阻法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；如果實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差要求不是很小，要優(yōu)先選擇圖1外接法和圖3伏阻法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，但也可以選擇圖2內(nèi)接法和圖4安阻法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

(2)采用圖1外接法與圖3伏阻法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，雖然實(shí)驗(yàn)儀器、實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)圖像不盡相同，但實(shí)驗(yàn)本質(zhì)卻完全一樣，都是由于受到電壓表分流的影響，使得通過實(shí)驗(yàn)圖像測(cè)得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全相同，即測(cè)得的電池內(nèi)阻大小、電動(dòng)勢(shì)大小及其相應(yīng)的相對(duì)誤差大小分別相同，且測(cè)量值比真實(shí)值都要小。因此，在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)情景中，可根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)儀器、條件與要求選擇和設(shè)計(jì)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)思路與方案。

(3)采用圖2內(nèi)接法與圖4安阻法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，雖然實(shí)驗(yàn)儀器、實(shí)驗(yàn)思路和實(shí)驗(yàn)圖像不盡相同，但實(shí)驗(yàn)本質(zhì)卻完全一樣，都是由于受到電流表分壓的影響，使得通過實(shí)驗(yàn)圖像測(cè)得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也完全相同，即測(cè)得的電池內(nèi)阻大小、電動(dòng)勢(shì)大小及其相應(yīng)的相對(duì)誤差大小分別相同，且電動(dòng)勢(shì)的測(cè)量值與真實(shí)值相等，電池內(nèi)阻的測(cè)量值比真實(shí)值要大。因此，在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)情景中，可根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)儀器、條件與要求選擇和設(shè)計(jì)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)思路與方案。

(4)如果在RV或RA已知的情況下，采用圖1外接法、圖2內(nèi)接法、圖3伏阻法和圖4安阻法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可通過相應(yīng)的測(cè)量值實(shí)線圖像作出真實(shí)值的虛線圖像，從而獲得電池的E真和r真；如果在RV或RA未知的情況下，可通過內(nèi)接法或安阻法對(duì)應(yīng)的圖7、圖8測(cè)量值實(shí)線圖像求出E測(cè)，即可得出E真，因E測(cè)等于E真。然后再通過外接法的圖5測(cè)量值圖像求出I測(cè)短，因I測(cè)短等于I真短，故可利用圖5真實(shí)值的虛線圖像斜率絕對(duì)值求出r真。因此，在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)情景中，可根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)儀器、條件與要求選擇和設(shè)計(jì)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)思路與方案。