冪函數(shù)問題變式探究

◇ 湖北 馮 赟

在高中數(shù)學中，對冪函數(shù)的學習要求并不高，我們只需掌握它解析式的求法、圖象與性質的基本應用即可.本文從一個例題進行推廣與探究.

1 引例探究

引例已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，求m 的取值，使得

(1)f(x)是冪函數(shù)；

(2)f(x)是冪函數(shù)，且是(0，＋∞)上的增函數(shù).

分析(1)抓住冪函數(shù)的定義：形如y＝xα(α 是常數(shù))的函數(shù)是冪函數(shù).

(2)抓住冪函數(shù)的性質：當指數(shù)α＞0時，冪函數(shù)y＝xα(α 是常數(shù))是(0，＋∞)上的增函數(shù).

解(1)因為f(x)是冪函數(shù)，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或－1.

(2)若f(x)是冪函數(shù)，且又是(0，＋∞)上的增函數(shù)，則所以m＝－1.

研究冪函數(shù)應從解析式入手，再考查它的圖象特征，即抓住冪函數(shù)的基本性質.

2 變式訓練

變式1冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4，2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是( ).

設冪函數(shù)的解析式為f(x)＝xα，則4α＝2，解得所以故選C.

變式2當0＜x＜1 時，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小關系是.

圖1為函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)的圖象，由此可知0＜x＜1時，h(x)＞g(x)＞f(x).

圖1

當冪函數(shù)的底數(shù)相同時，冪函數(shù)的大小比較問題，往往可采用圖象法求解.

變式3已知冪函數(shù)f(x)＝xα的部分對應值如表1，則不等式f(|x|)≤2的解集是( ).

表1

變式4已知冪函數(shù)經(jīng)過點試確定m 的值，并求滿足條件f(2－a)＞f(a－1)的實數(shù)a 的取值范圍.

本題通過解不等式f(2－a)＞f(a－1)求參數(shù)a，依然利用了冪函數(shù)的單調性，但有個易錯點容易被忽視，即忽視函數(shù)的定義域，遺漏2－a≥0和a－1≥0這兩個條件.

總之，解冪函數(shù)問題必須關注冪函數(shù)的定義、圖象與性質.由于冪函數(shù)y＝xα中常數(shù)α 的變化，函數(shù)圖象也有變化，一般只關注第一象限的圖象，由α 的正負確定它的單調性和圖象，由常數(shù)α 的特征來確定函數(shù)的定義域和奇偶性.因此研究冪函數(shù)歸根結底是研究指數(shù)α 的變化與函數(shù)圖象之間的變化.既要抓住圖象的共同特征，即都過點(1，1)，又要關注常數(shù)α 的特性.我們需特別關注以下幾點：

1)形如y＝xα(α 為常數(shù))才是冪函數(shù)，而函數(shù)f(x)＝3x5不是冪函數(shù)；

2)畫冪函數(shù)圖象必須先關注定義域，冪函數(shù)的定義域不都是實數(shù)集R，它還可能是正數(shù)集，如f(x)＝還可能是正數(shù)集與負數(shù)集的并集，如f(x)＝x－2，冪函數(shù)不一定都具有奇偶性；

3)冪函數(shù)的單調性主要用于比較數(shù)值大小與解相關不等式，解題時需注意數(shù)形結合；

4)冪函數(shù)的圖象在第一象限一定出現(xiàn)，而第四象限一定沒有.

圖2

鏈接練習

1.圖2 是函數(shù)y＝xm/n(m，n∈N*，m，n 互質)的圖象，則( ).

2.y＝(x－1)α＋1(α＞0)的圖象恒過定點.

3.若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝3f(2)，則)的值等于.

4.若函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實數(shù)m＝.

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