沉沒(méi)輥濕模態(tài)分析與試驗(yàn)研究

王興東 ，涂琪瑞 ，李友榮 ，魯光濤

（1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430081；2.武漢科技大學(xué)機(jī)械國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，湖北 武漢 430081）

1 引言

冷軋帶鋼熱鍍鋅線(xiàn)的沉沒(méi)輥浸沒(méi)于鋅液中，影響其動(dòng)態(tài)特性的因素較復(fù)雜[1-2]，且具有沉沒(méi)輥類(lèi)似結(jié)構(gòu)特征的物體，浸沒(méi)在流體介質(zhì)中其動(dòng)態(tài)特性與真空中相比，存在顯著差異[3-4]。沉沒(méi)輥?zhàn)鳛闊徨冧\線(xiàn)的重要部件，其振動(dòng)特性直接影響帶鋼的鍍鋅涂層質(zhì)量。而在分析其振動(dòng)特性的過(guò)程中必須考慮鋅液流場(chǎng)的耦合作用，即對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行濕模態(tài)分析。

關(guān)于濕模態(tài)許多學(xué)者對(duì)此做了豐富的研究，文獻(xiàn)[5]對(duì)渦輪機(jī)進(jìn)行了自由懸掛狀態(tài)下空氣中與水中的模態(tài)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明，同一振型中渦輪機(jī)在空氣中與水中的固有頻率差異依賴(lài)于水的附加質(zhì)量效應(yīng)。文獻(xiàn)[6-7]分別對(duì)油底殼和輸油管進(jìn)行流固耦合的模態(tài)分析，并與試驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證了該計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[8]通過(guò)結(jié)構(gòu)-聲學(xué)耦合模型計(jì)算水下懸臂梁的頻率變化，并與模態(tài)試驗(yàn)對(duì)比，研究了懸臂梁厚度在水下振動(dòng)頻率的變化關(guān)系。文獻(xiàn)[9]通過(guò)模態(tài)試驗(yàn)研究薄膜在不同密度空氣中的固有頻率的變化，結(jié)果表明氣體的密度越大，其自振頻率的變化越明顯。文獻(xiàn)[10]對(duì)帶有任意邊緣裂紋的自由圓板進(jìn)行流固耦合動(dòng)力特性研究，研究表明：水體引起固有頻率降低，且隨著模態(tài)階數(shù)的增加而減小。上述研究中，以沉沒(méi)輥為研究對(duì)象，且通過(guò)試驗(yàn)研究沉沒(méi)輥濕模態(tài)變化的較少。

針對(duì)上述問(wèn)題，對(duì)沉沒(méi)輥采用有限元仿真方法對(duì)其在水中的固有頻率進(jìn)行了研究，計(jì)算了自由與約束狀態(tài)下前7 階固有頻率，并對(duì)沉沒(méi)輥分別進(jìn)行了自由和約束狀態(tài)下濕模態(tài)試驗(yàn)，對(duì)比分析了仿真與試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證仿真模型的準(zhǔn)確性。最后分析了沉沒(méi)輥壁厚、輥長(zhǎng)和外徑對(duì)水下固有頻率的影響。

2 濕模態(tài)數(shù)學(xué)模型

對(duì)于具有n 個(gè)自由度的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：M—系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；C—系統(tǒng)的阻尼矩陣；K—系統(tǒng)的剛度矩陣¨—對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的位移向量、速度向量以及加速度向量。

由式（1）可計(jì)算出系統(tǒng)在真空中得固有頻率為：

式中：M（i）—第 i 階廣義質(zhì)量；

K（i）—第 i 階廣義剛度；

fa（i）—真空中第 i 階固有頻率。

當(dāng)結(jié)構(gòu)處于靜止的流體中，載荷向量是流體作用在結(jié)構(gòu)表面（流體-結(jié)構(gòu)相互作用面）的壓力載荷[11]。結(jié)構(gòu)表面必須考慮流體力Fu，則其動(dòng)力方程修正為：

采用結(jié)構(gòu)-聲學(xué)模型計(jì)算沉沒(méi)輥在液體中的動(dòng)力特性，假設(shè)流體是均勻、無(wú)黏、無(wú)漩的理想流體，沉沒(méi)輥表面的流體壓力分布由聲波方程確定[12]：

式中：｛L｝—拉普拉斯矢量；P—流體的壓力矢量；c—液體中的聲波速度；t—時(shí)間。

將式（4）進(jìn)行離散化，進(jìn)一步與結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程式（3）合并可得到：

式中：帶下標(biāo)u 的矩陣是由流體元素生成的矩陣；帶下標(biāo)s 的矩陣是由結(jié)構(gòu)元素生成的矩陣；下標(biāo)us 的矩陣是流體與固體相互作用的耦合矩陣。

3 濕模態(tài)分析方法驗(yàn)證

3.1 濕模態(tài)有限元計(jì)算

采用某鋼廠(chǎng)熱鍍鋅線(xiàn)沉沒(méi)輥1：8 縮比實(shí)體模型進(jìn)行模態(tài)分析和試驗(yàn)。沉沒(méi)輥模型基本尺寸參數(shù)，以及水介質(zhì)試驗(yàn)的沉沒(méi)輥在液體中的空間位置，如圖1 所示。用ANSYS 有限元分析軟件求解模型，該模型分為流體部分與結(jié)構(gòu)部分。這里流體為水（密度ρ=1000kg/m3、粘度 μ=10-3Pa·s、聲音在水中的傳播速度 c=1480m/s）介質(zhì)，結(jié)構(gòu)的物性參數(shù)，如表1 所示。

圖1 沉沒(méi)輥1：8 縮比模型Fig.1 Sink Roll 1：8 Reduction Ratio Model

表1 沉沒(méi)輥材料的物性參數(shù)Tab.1 Sink Roll Model Material Properties of the Parameters

有限元模型，如圖2 所示。網(wǎng)格使用六面體單元，流體單元采用FLUID30 和結(jié)構(gòu)單元采用SOLID185，共337255 個(gè)節(jié)點(diǎn)，43956 個(gè)單元。結(jié)構(gòu)與流體接觸的實(shí)體節(jié)點(diǎn)定義為FSI（Fluid Solid Interaction）接口。在FSI 處對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行加密處理，以保證兩相交界面節(jié)點(diǎn)重合。流體的自由表面狀態(tài)定義為零壓力，忽略晃動(dòng)效應(yīng)。

自由狀態(tài)下軸頭兩端無(wú)約束，約束狀態(tài)下軸頭兩側(cè)約束三個(gè)方向的位移為0。流固耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為非對(duì)稱(chēng)矩陣，所以求解時(shí)必須使用非對(duì)稱(chēng)(Unsymmetric)方法。

圖2 沉沒(méi)輥有限元模型Fig.2 Finite Element Model of Sink Roll

3.2 模態(tài)試驗(yàn)

試驗(yàn)系統(tǒng)主要由沉沒(méi)輥、彈性繩、懸臂、水箱、試驗(yàn)臺(tái)架、水密型加速度傳感器（壓電式IEPE 加速度傳感器，靈敏度：99.8mV/g）、模態(tài)力錘（PCB 086C03，靈敏度：2.25mV/N）、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)（WaveBook/512）和筆記本電腦組成。系統(tǒng)布置及部分實(shí)物，如圖3 所示。對(duì)于自由模態(tài)測(cè)試，通過(guò)彈性繩將輥模型懸掛于試驗(yàn)臺(tái)架上；對(duì)于約束模態(tài)測(cè)試，懸臂通過(guò)螺栓固定于試驗(yàn)臺(tái)架上，懸臂另一端與沉沒(méi)輥模型的軸端固定。為保證沉沒(méi)輥固有頻率測(cè)量的準(zhǔn)確性，試驗(yàn)臺(tái)架固定在地面上且剛度足夠大。將加速度傳感器粘在沉沒(méi)輥模型上（用A/B 膠），位于輥軸線(xiàn)中心截面外圓上。對(duì)于空氣中模態(tài)測(cè)試，采用力錘直接激勵(lì)沉沒(méi)輥模型；對(duì)于水中模態(tài)測(cè)試，將用塑料薄膜密封的力錘放入水中，再敲擊沉沒(méi)輥模型。為了減小兩種介質(zhì)模態(tài)測(cè)試中力錘激勵(lì)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的誤差，由同一實(shí)驗(yàn)員盡可能保證使用同樣大小作用力敲擊，且本次試驗(yàn)采用峰值法進(jìn)行模態(tài)提取[13]。進(jìn)行了自由和約束狀態(tài)下，沉沒(méi)輥處于空氣與水介質(zhì)中若干組試驗(yàn)。

圖3 沉沒(méi)輥模型模態(tài)試驗(yàn)Fig.3 Sink Roll Model Modal Test

給出了自由狀態(tài)和約束狀態(tài)下，沉沒(méi)輥在空氣和水介質(zhì)中的功率譜密度曲線(xiàn)，如圖4、圖5 所示。圖4 與圖5 中對(duì)比可看出，曲線(xiàn)各峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為沉沒(méi)輥的自振頻率，對(duì)比水中與空氣中的功率譜圖可發(fā)現(xiàn)，水中沉沒(méi)輥的自振頻率和振幅相比于空氣中明顯降低，而且約束狀態(tài)下，各峰值頻率兩側(cè)的頻率特征更豐富，如圖5 所示。

圖4 自由狀態(tài)下空氣與水中功率譜密度曲線(xiàn)Fig.4 Power Spectral Density Curve in Free State of Air and Water

圖5 約束狀態(tài)下空氣與水中響應(yīng)時(shí)域與功率譜密度曲線(xiàn)Fig.5 Power Spectral Density Curve in Constraint State of Air and Water

3.3 試驗(yàn)與仿真結(jié)果對(duì)比

與試驗(yàn)相對(duì)應(yīng)，建立了兩種約束狀態(tài)和兩種介質(zhì)中的仿真模型，自由狀態(tài)下兩種介質(zhì)中均忽略前六階固有頻率為0 的剛體模態(tài)。試驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果，如表2 所示。

表2 沉沒(méi)輥不同約束下的固有頻率Tab.2 Sink Roll Natural Frequency Under Different Constraints

由于峰值法的局限性，對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的重根模態(tài)無(wú)法識(shí)別[14]，因此本次試驗(yàn)與仿真不考慮其重根模態(tài)。對(duì)比兩種狀態(tài)的相應(yīng)各階模態(tài)，水介質(zhì)中試驗(yàn)與仿真的固有頻率均低于空氣中，且不同階次的固有頻率的降幅相差較大。在自由狀態(tài)下，仿真與試驗(yàn)的相對(duì)誤差小于15%，最大相對(duì)誤差出現(xiàn)在空氣介質(zhì)中第1階模態(tài)，頻率誤差為14.85%，最小相對(duì)誤差在水介質(zhì)中第5 階模態(tài)，頻率誤差為0.47%。在約束狀態(tài)下，最大相對(duì)誤差出現(xiàn)在空氣介質(zhì)中第2 階模態(tài)達(dá)到26.41%。最小相對(duì)誤差在空氣介質(zhì)中第7 階模態(tài)，頻率誤差為1.99%。仿真計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果整體吻合度較高，驗(yàn)證了有限元模型的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)果與討論

4.1 約束方式對(duì)沉沒(méi)輥濕模態(tài)的影響

表2 水介質(zhì)中兩組約束仿真與對(duì)應(yīng)試驗(yàn)的各階頻率值，如圖6 所示。由圖6 和表2 可看出，根據(jù)仿真計(jì)算結(jié)果可知，自由狀態(tài)下的第1、3、5 階模態(tài)頻率值與軸端約束下的第3、6、7 階頻率值幾無(wú)差異；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果可知，自由狀態(tài)下的第1、3、5 階模態(tài)頻率實(shí)測(cè)值與軸端約束下的第3、6、7 階頻率值的差異率分別為1.1%、8.3%和3.1%。進(jìn)一步根據(jù)水介質(zhì)中兩組仿真結(jié)果可知，自由狀態(tài)下的第1、3、5 階與軸端約束下的第 3、6、7 階振型也相同。這3 種模態(tài)振型可用軸向半波數(shù)m 與周向波數(shù)n 來(lái)表示，如圖6 所示。對(duì)于沉沒(méi)輥模型在水介質(zhì)中的兩種約束條件下，其振型分別為（1，2）、（2，2）和（1，3），相應(yīng)振動(dòng)方式為輥身徑向振動(dòng)不同、兩軸端無(wú)相對(duì)位移。故這3種模態(tài)的固有頻率和振型與軸端約束無(wú)關(guān)；而其他振型包括輥的彎曲、扭轉(zhuǎn)等均受軸端約束的影響。為進(jìn)一步深入討論與沉沒(méi)輥軸端約束無(wú)關(guān)的濕模態(tài)固有頻率影響因素，因此僅從振型（1，2）、（2，2）和（1，3）進(jìn)行結(jié)構(gòu)外形尺寸對(duì)其固有頻率的影響研究。

圖6 水中兩種狀態(tài)下的各階頻率對(duì)比Fig.6 Two States Under Each Order of Frequency Comparison in Water

4.2 沉沒(méi)輥濕模態(tài)影響因素分析

4.2.1 壁厚對(duì)濕模態(tài)的影響

建立外徑100mm，輥身長(zhǎng)287.5mm，壁厚分別為2.5mm、5mm、7.5mm、10 和12.5mm 的5 種沉沒(méi)輥模型，對(duì)其進(jìn)行有限元濕模態(tài)計(jì)算，所得結(jié)果，如圖7 所示。

圖7 不同壁厚對(duì)固有頻率的影響Fig.7 Different Wall Thickness of the Natural Frequency

由圖7 可看出，同一振型下，隨著沉沒(méi)輥的壁厚增加，固有頻率值會(huì)增大，且呈線(xiàn)性變化。不同振型的變化率有所不同，振型（1，3）的斜率最大。

4.2.2 輥身長(zhǎng)對(duì)濕模態(tài)的影響

建立外徑100mm，壁厚5mm，輥身長(zhǎng)分別為275mm、325mm、375mm、425mm 和475mm 的5 種沉沒(méi)輥模型，對(duì)其進(jìn)行有限元濕模態(tài)計(jì)算，所得結(jié)果，如圖8 所示。

圖8 不同輥身長(zhǎng)對(duì)固有頻率的影響Fig.8 Different Roll Body Length of the Natural Frequency

由圖8 可看出，同一振型下，隨著沉沒(méi)輥的輥身長(zhǎng)度增加，固有頻率值會(huì)降低。不同振型的變化率有所不同，振型（2，2）的降幅最大，說(shuō)明輥身長(zhǎng)對(duì)該振型的影響最大。

4.2.3 外徑對(duì)濕模態(tài)的影響

建立壁厚為5mm，輥身長(zhǎng)為287.5mm，外徑分別為100mm、105mm、110mm、115mm、120mm 的 5 種沉沒(méi)輥模型，對(duì)其進(jìn)行有限元濕模態(tài)計(jì)算，所得結(jié)果，如圖9 所示。

圖9 不同外徑對(duì)固有頻率的影響Fig.9 Different Outer Diameter of the Natural Frequency

由圖9 可看出，同一振型下，隨著沉沒(méi)輥的外徑增加，固有頻率值會(huì)降低。不同振型的變化率有所不同，振型（1，3）的降幅最大，說(shuō)明外徑對(duì)該振型的影響最大；外徑對(duì)振型（2，2）幾乎無(wú)影響。

5 結(jié)論

以試驗(yàn)與仿真結(jié)合的方法研究沉沒(méi)輥在不同介質(zhì)和不同約束下的固有頻率變化，研究結(jié)果如下。

（1）相比于空氣中，沉沒(méi)輥模型浸沒(méi)水中各階模態(tài)頻率會(huì)降低，但不同階次的固有頻率的降幅相差較大。

（2）在水介質(zhì)中，隨著壁厚增加，固有頻率值呈線(xiàn)性增長(zhǎng)；隨著輥身長(zhǎng)度和外徑的增加，各階固有頻率值均會(huì)降低，輥身長(zhǎng)變化對(duì)振型（2，2）的影響最大，外徑變化對(duì)振型（1，3）影響最大、對(duì)振型（2，2）基本無(wú)影響。

對(duì)于兩種約束條件和兩種介質(zhì)的沉沒(méi)輥，前7 階共振頻率仿真計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果整體吻合度較高，仿真計(jì)算的模型合理，分析結(jié)果準(zhǔn)確。研究結(jié)果對(duì)沉沒(méi)輥類(lèi)似結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和振動(dòng)控制具有指導(dǎo)意義和參考價(jià)值。