一種含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)研究

張燦果 ，耿明超 ，路 懿

（1.河北建筑工程學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，河北 張家口 075024；2.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

1 引言

隨著并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用領(lǐng)域的不斷拓展，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)在大型設(shè)備調(diào)姿、醫(yī)療器械、機(jī)械裝備制造等領(lǐng)域得到了日益廣泛的應(yīng)用[1-2]。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有驅(qū)動(dòng)分支少、沒(méi)有多余自由度、控制相對(duì)容易等優(yōu)點(diǎn)[3-4]。因此綜合出工作空間大、比剛度高、運(yùn)動(dòng)性能好的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)對(duì)于研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性、拓寬并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用領(lǐng)域具有重要戰(zhàn)略意義[5]。復(fù)合球副同普通球副相比，具有結(jié)構(gòu)緊湊、裝配間隙小、運(yùn)動(dòng)范圍大等特點(diǎn)，將復(fù)合球副應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合，可綜合出性能良好的含復(fù)合球副少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)?；诖嗽O(shè)計(jì)出一種新型復(fù)合球副，利用該復(fù)合球副綜合出一種含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和剛度分析的基礎(chǔ)。目前，并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析方法主要采用螺旋理論法。Gallardo-Alvarado 等[6]應(yīng)用螺旋理論對(duì)一種4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和奇異性進(jìn)行了解析，但是當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)用該方法很難求解機(jī)構(gòu)的加速度表達(dá)式。文獻(xiàn)[7-8]采用矢量法分析了建立了幾種少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，但是當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)耦合程度較高時(shí)，該方法不再適用。以上方法各有特點(diǎn)，對(duì)于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于機(jī)構(gòu)自身的結(jié)構(gòu)約束，部分并聯(lián)驅(qū)動(dòng)分支中存在約束力/矩，動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)各個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)相互耦合，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的解析過(guò)程更加復(fù)雜。由于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)主動(dòng)驅(qū)動(dòng)小于6，一般情況下，采用上述一般方法建立的機(jī)構(gòu)雅可比矩陣并非（6×6）的方陣[9]。這給機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)解析和剛度分析帶來(lái)了不便?；诓糠烛?qū)動(dòng)分支中存在的約束力/矩推導(dǎo)了含復(fù)合球副 4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的（6×6）的 Jacobian 矩陣和 Hessian 矩陣，建立了動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)和各個(gè)驅(qū)動(dòng)桿運(yùn)動(dòng)之間的映射關(guān)系。

2 含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)

含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型，如圖1 所示。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、基座，連接基座和動(dòng)平臺(tái)的1 個(gè)復(fù)合球副分支和兩個(gè)SPR 分支組成。復(fù)合球副分支由一個(gè)橫梁、兩個(gè)活塞桿、兩個(gè)油缸和兩個(gè)支座組成。兩個(gè)活塞桿和上橫梁兩端使用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，兩個(gè)油缸和兩個(gè)支座同樣使用轉(zhuǎn)動(dòng)副聯(lián)接，支座固定在立環(huán)上，同基座固聯(lián)。復(fù)合球副中兩個(gè)驅(qū)動(dòng)桿兩端的四個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副相互平行，形成一個(gè)平面機(jī)構(gòu)，可以避免驅(qū)動(dòng)桿承受彎矩，增大了機(jī)構(gòu)的承載能力。復(fù)合球副分支中的橫梁通過(guò)動(dòng)柱和動(dòng)平臺(tái)聯(lián)接，動(dòng)柱與動(dòng)平臺(tái)、橫梁分別使用軸線相互垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)副聯(lián)接。這樣從復(fù)合球副中的活塞桿到動(dòng)平臺(tái)形成了一個(gè)復(fù)合球副（三個(gè)軸線相互垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)副）。SPR 分支以球副和基座聯(lián)結(jié)，以轉(zhuǎn)動(dòng)副和動(dòng)平機(jī)臺(tái)聯(lián)結(jié)，轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線和動(dòng)平臺(tái)上平面平行。SPR 分支使用球副與基座聯(lián)接，有效地增大了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。該機(jī)構(gòu)具有以下特點(diǎn)：（1）機(jī)構(gòu)中只含有移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副，制造方便，裝配間隙小，運(yùn)動(dòng)范圍大。（2）使用橫梁將兩個(gè)活塞桿連接起來(lái)，形成一個(gè)平面復(fù)合球副分支，可以避免驅(qū)動(dòng)桿承受彎矩。

圖1 含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型Fig.1 3D Model of the 4-dof PM with Compound Spherical Joint

含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有18 個(gè)構(gòu)件，16 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，4個(gè)移動(dòng)副，每個(gè)復(fù)合球副分支含有2 個(gè)過(guò)約束，根據(jù)自由度計(jì)算公式得：

運(yùn)用觀察法[9]，SPR 分支中存在著過(guò)球副中心并且與SPR 分支中的P 副垂直、R 副軸線平行的約束力，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)在各個(gè)驅(qū)動(dòng)分支的驅(qū)動(dòng)下運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)平臺(tái)在SPR 分支中約束力/矩的方向上必然沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)SPR 分支中的約束力方向和動(dòng)平臺(tái)的上平面平行。所以含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)被約束的自由度為x，y方向的平移。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)為三轉(zhuǎn)一移的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

3 4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)解析是進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和剛度分析的基礎(chǔ)，也是并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的基本問(wèn)題。含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，存在一個(gè)復(fù)合球副分支，兩個(gè)SPR 分支，首先分析SPR 分支中驅(qū)動(dòng)桿的速度。

3.1 SPR 分支運(yùn)動(dòng)分析

含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)速度分析示意圖，如圖2 所示。等邊三角形b1b2b3固定于動(dòng)平臺(tái)；其中心點(diǎn)為o。四邊形B11B12B2B3固定于基座，B11B12的中點(diǎn)為B1，三角形B1B2B3為等邊三角形，其中心點(diǎn)為O。連接基座端點(diǎn)Bi和動(dòng)平臺(tái)端點(diǎn)bi生成虛擬桿向量ri，設(shè)vri為虛擬桿速度大小，δi為虛擬桿的單位方向向量，v、ω 分別為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)o 的線速度和角速度，V 為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的廣義速度，ei為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)o 到端點(diǎn)bi的矢量。則：

式中：Jvi—第i 個(gè)虛擬分支的雅克比矩陣；當(dāng)i=1 時(shí)vri為復(fù)合球副分支中虛擬桿的線速度表達(dá)式，當(dāng)i=2，3 時(shí)，vri為兩個(gè)SPR分支線速度表達(dá)式。

圖2 含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析框圖Fig.2 Kinetostatics Model of the 4-dof PM with Compound Spherical Joint

設(shè)復(fù)合球副分支中支座的角速度大小和方向?yàn)棣豬z和Riz，虛擬桿和支座之間角速度大小和方向?yàn)棣豬x和Rix，則復(fù)合球副分支中虛擬桿的角速度ωri表達(dá)式為：

式中：ri—第i 個(gè)虛擬桿的方向向量；Jωri—第i 個(gè)虛擬桿角速度雅可比矩陣。當(dāng)i=1 時(shí)ωri為復(fù)合球副分支中虛擬桿的角速度表達(dá)式，當(dāng) i=2，3 時(shí)，ωri為兩個(gè) SPR 分支角速度表達(dá)式。

由于農(nóng)村統(tǒng)計(jì)經(jīng)費(fèi)的短缺，導(dǎo)致很多農(nóng)村統(tǒng)計(jì)人員只能在條件比較簡(jiǎn)陋的辦公場(chǎng)所進(jìn)行工作，有些統(tǒng)計(jì)人員根本就沒(méi)有辦公場(chǎng)所，所有的工作都只能在家中完成，同時(shí)也沒(méi)有相關(guān)技術(shù)和設(shè)備的支持。有些農(nóng)村基層統(tǒng)計(jì)人員只是靠簡(jiǎn)單的計(jì)算器進(jìn)行工作，嚴(yán)重缺乏統(tǒng)計(jì)效率和質(zhì)量。

式（2）對(duì)時(shí)間微分可得第i 個(gè)虛擬桿線加速度ari表達(dá)式為：

式中：A—?jiǎng)悠脚_(tái)中心點(diǎn)廣義加速度；Hvi—第i 個(gè)虛擬桿的Hessian矩陣。式（3）對(duì)時(shí)間微分可得虛擬桿角加速度表達(dá)式：

3.2 復(fù)合球副分支運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

設(shè)vbij為復(fù)合球副分支中橫梁端點(diǎn)bij的線速度矢量，δij為復(fù)合球副中驅(qū)動(dòng)桿的單位向量，Jωbi為橫梁中心bi的角速度雅可比矩陣，eij為橫梁中心點(diǎn)bi至橫梁端點(diǎn)bij的矢量。JVij為復(fù)合球副分支中驅(qū)動(dòng)桿速度雅可比矩陣，則第i 個(gè)復(fù)合球副分支中第j 個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的線速度大小vrij的表達(dá)式為：

設(shè)第i 個(gè)復(fù)合球副分支中第j 個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的角速度為ωrij，上橫梁和驅(qū)動(dòng)桿之間的相對(duì)角速度的大小和矢量分別為：ωsj、Rsi，上橫梁bi的角速度為ωbi，根據(jù)驅(qū)動(dòng)桿和橫梁之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，則：

推導(dǎo)可得復(fù)合球副分支中驅(qū)動(dòng)桿的角速度ωrij表達(dá)式為：

式（6）對(duì)時(shí)間微分可得到復(fù)合球副分支中驅(qū)動(dòng)桿的線加速度arij表達(dá)式：

式（9）中，Hij即為復(fù)合球副分支驅(qū)動(dòng)桿的Hessian 矩陣。式（8）對(duì)時(shí)間微分可得到復(fù)合球副分支中驅(qū)動(dòng)桿的角加速度表達(dá)式：

3.3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的建立

式中：Fi、fi—第 i 個(gè) SPR 分支中約束力的大小和單位矢量；di—?jiǎng)悠脚_(tái)原點(diǎn)o 到第i 個(gè)SPR 分支中約束力的矢距。

將式（2）、式（6）、式（11）合并，得到含復(fù)合球副 4--dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)雅可比矩陣。

其中，vr=［vr11vr12vr2vr30 0］T，J=［Jv11Jv12Jr2Jr2Jy2］T。

4 算例驗(yàn)證

4.1 算例驗(yàn)證

含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真驗(yàn)證采用虛擬樣機(jī)技術(shù)。首先在Solidworksmotion 環(huán)境下建立含復(fù)合球副4-dof并聯(lián)機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)模型，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1 所示。設(shè)定機(jī)構(gòu)中四個(gè)驅(qū)動(dòng)桿相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，如表1 所示。含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)四個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的初始速度均為0mm/s2。虛擬仿真環(huán)境下測(cè)定含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)四個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的角速度、角加速度作為此并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模擬仿真解，如圖3、圖4 所示。然后，測(cè)定并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真過(guò)程中動(dòng)平臺(tái)的位姿、速度和加速度作為已知參數(shù)。根據(jù)建立的含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，在Matlab 環(huán)境下編寫(xiě)程序，給定含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的相關(guān)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，通過(guò)理論計(jì)算，求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)四個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的角速度和角加速度，作為此并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論解析解，求解結(jié)果，如圖5（b）、圖5（d）所示。將理論解析解和模擬仿真解對(duì)比，即可完成含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證。

表1 含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)參數(shù)Tab.1 Structural and Kinematic Parameters of the 4-dof PM

圖3 含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)桿角速度模擬解Fig.3 Simulation Angular Velocity Solutions of the 4-dof PM

圖4 含復(fù)合球副4--dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)桿角加速度模擬解Fig.4 Simulation Angular Acceleration Solutions of the 4-dof PM

圖5 含復(fù)合球副4--dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)解析解Fig.5 Analytic Kinematics Solutions of the 4-dof PM

通過(guò)圖3、圖4 與圖5 的對(duì)比，含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)中驅(qū)動(dòng)桿角速度、角加速度的理論解析解與模擬仿真解曲線高度一致。因此可以證明所建立的含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是正確的。

5 結(jié)論

（1）提出一種新型含復(fù)合球副4-dof 并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、制造容易、安裝間隙小、工作空間大、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)。（2）建立了該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。首先，根據(jù)矢量法分析了復(fù)合球副分支和SPR 分支的運(yùn)動(dòng)?；谔摴υ硗茖?dǎo)了關(guān)于約束力/矩的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。對(duì)速度雅可比矩陣方程式求導(dǎo)，求得該并聯(lián)機(jī)構(gòu)加速度的運(yùn)動(dòng)表達(dá)式，從而建立了動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)分支件運(yùn)動(dòng)之間的映射關(guān)系。（3）在Solid works motion 環(huán)境下，對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，仿真結(jié)果作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模擬仿真解。測(cè)定仿真過(guò)程中動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的位姿參數(shù)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)。將上述數(shù)據(jù)作為輸入數(shù)據(jù)，輸入到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中，通過(guò)Mat lab 程序運(yùn)算。得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論解析解。用模擬仿真解和理論解析解對(duì)比驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。