3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究與應(yīng)用

郭京波 ，張海東 ，，紀(jì)志飛 ，李 杰

（1.石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021）

1 引言

盾構(gòu)管片是隧道的最終受力體，管片拼裝質(zhì)量是施工安全的重要影響因素[1]。管片拼裝機(jī)是盾構(gòu)施工實(shí)現(xiàn)襯砌安裝的關(guān)鍵裝備，其拼裝質(zhì)量、精度及效率直接影響隧道施工安全和進(jìn)程。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是在動(dòng)平臺(tái)與基座之間包含2 個(gè)及以上串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈的閉環(huán)機(jī)構(gòu)。學(xué)者們將其應(yīng)用于盾構(gòu)管片拼裝機(jī)微調(diào)機(jī)構(gòu)，具有承載能力強(qiáng)、精度高、剛度大等特點(diǎn)[2]，可獲得更優(yōu)性能。文獻(xiàn)[3]構(gòu)造3-SPS/S 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，將其用于管片拼裝機(jī)的姿態(tài)微調(diào)機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)3 個(gè)自由度的空間旋轉(zhuǎn)；文獻(xiàn)[4]對(duì)3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，并應(yīng)用于管片拼裝機(jī)設(shè)計(jì)方案；文獻(xiàn)[5]基于3-PRPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了管片拼裝系統(tǒng)，可同時(shí)拼裝兩個(gè)管片，提高施工效率；文獻(xiàn)[6]將3UPS-S 并聯(lián)機(jī)構(gòu)引入管片姿態(tài)微調(diào)機(jī)構(gòu)，并進(jìn)行了工作空間規(guī)劃，空間內(nèi)無(wú)奇異點(diǎn)；此外，文獻(xiàn)[7]對(duì)用于管片拼裝機(jī)的4-SPS-S 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置反解分析，推導(dǎo)出了雅克比矩陣，并給出了機(jī)構(gòu)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。張拉整體結(jié)構(gòu)是一種在連續(xù)受拉的構(gòu)件中包含離散受壓構(gòu)件，從形成的穩(wěn)定自平衡結(jié)構(gòu)[8]。張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)是近年來(lái)提出的新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，與傳動(dòng)剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的區(qū)別主要是含有彈簧構(gòu)件，具有更高的運(yùn)動(dòng)精度和靈活性。將3-SPS/1-S[9]張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)引入管片拼裝機(jī)微調(diào)機(jī)構(gòu)，分析位置反解、正解及工作空間問(wèn)題，并進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

2 方案設(shè)計(jì)與構(gòu)型分析

管片拼裝機(jī)微調(diào)機(jī)構(gòu)要求實(shí)現(xiàn)3 個(gè)自由度的旋轉(zhuǎn)，完成管片的橫搖、俯仰及偏轉(zhuǎn)動(dòng)作，使前后兩環(huán)及單環(huán)不同管片之間的螺栓孔準(zhǔn)確對(duì)齊[6]，如圖1 所示。要求機(jī)構(gòu)具有很高的控制精度、承載能力及剛度。引入3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)為管片拼裝機(jī)姿態(tài)微調(diào)機(jī)構(gòu)，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖2 所示。該機(jī)構(gòu)由上平臺(tái)（運(yùn)動(dòng)平臺(tái)）和下平臺(tái)（固定基座）組成，上下平臺(tái)均為等邊三角形。下平臺(tái)與管片拼裝機(jī)主體相連，上平臺(tái)為微調(diào)機(jī)構(gòu)。機(jī)構(gòu)有3 條SPS 結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)支鏈，S 為球鉸，P 為驅(qū)動(dòng)副；K 為彈簧，3 個(gè)彈簧分別將基座與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的鉸點(diǎn)連接；此外，機(jī)構(gòu)有一條S 結(jié)構(gòu)的從動(dòng)支鏈。3 條驅(qū)動(dòng)支鏈、3 個(gè)彈簧及1 條從動(dòng)支鏈將上下平臺(tái)連接起來(lái)。

圖1 管片拼裝機(jī)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Segment Erector Structure Diagram

圖2 3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.2 Topology Structure of 3-SPS/1-S Tensegrity Parallel Mechanism

3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度為：

式中：M—機(jī)構(gòu)自由度數(shù)；d—機(jī)構(gòu)階數(shù)；n—構(gòu)件總數(shù)；g—運(yùn)動(dòng)副總數(shù)；fi—第i 個(gè)運(yùn)動(dòng)副自由度數(shù)；v—冗余約束量；ζ—局部自由度數(shù)。

因此，機(jī)構(gòu)自由度為3。由于驅(qū)動(dòng)支鏈的存在，動(dòng)平臺(tái)沒(méi)有沿X、Y、Z 軸的移動(dòng)自由度，僅存在3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。引入該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)管片拼裝機(jī)的橫搖、俯仰、偏轉(zhuǎn)動(dòng)作。

3 位置反解

在固定基座上建立一個(gè)定坐標(biāo)系｛O｝-OXYZ ，在動(dòng)平臺(tái)上建立一個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系｛O1｝-O1X1Y1Z1，O、O1分別為基座和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的幾何中心，如圖2 所示。（1）運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置變量：X=［x，y，z］T，式中：x、y、z—運(yùn)動(dòng)平臺(tái)幾何中心在｛O｝-OXYZ 下的坐標(biāo)；（2）運(yùn)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)變量：φ=［α，β，γ］T，式中：α、β、γ—運(yùn)動(dòng)平臺(tái)繞 X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)角。令基座邊長(zhǎng)a，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)邊長(zhǎng)b?；縻q點(diǎn)在｛O｝-OXYZ 下的位置為[9]：

采用RPY 角[10]描述動(dòng)坐標(biāo)系的方位，則旋轉(zhuǎn)矩陣為：

其中，sα=sinα，cβ=cosβ，其余類(lèi)似。

由于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)僅具有α、β、γ 方向的3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因此X、Y、Z 方向的位置變量可人為給定。則位置反解問(wèn)題為給定X=［x，y，z］T情況下，依據(jù)輸入變量 α、β、γ 求解驅(qū)動(dòng)支鏈 Li的問(wèn)題。

4 位置正解

基于變步長(zhǎng)搜索法[9]的位置正解求解流程，如圖3 所示。當(dāng)已知驅(qū)動(dòng)鏈長(zhǎng)度，則輸出變量在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)3 個(gè)轉(zhuǎn)角α、β、γ 的變化范圍內(nèi)依據(jù)給定步長(zhǎng)逐一搜索。若遍歷整個(gè)范圍后仍無(wú)法找到解值，則步長(zhǎng)減半，重新搜索，如此往復(fù)。該方法無(wú)需給定初值，且不依賴(lài)于固定步長(zhǎng)。

圖3 位置正解變步長(zhǎng)搜索法求解流程圖Fig.3 Flow Chart of Inverse Position Solution Based on Variable-Step Search Solution Method

5 工作空間

運(yùn)用數(shù)值方法求解機(jī)構(gòu)工作空間。3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有 3 個(gè)輸出變量 α、β、γ。Φ=［α，β，γ］T即為機(jī)構(gòu)工作空間。工作空間約束方程為：

式中：r—驅(qū)動(dòng)支鏈半徑；Di—相鄰兩支鏈軸線(xiàn)段之間的最小距離；θmax—球鉸的最大允許轉(zhuǎn)角；θAi—固定平臺(tái)球鉸的轉(zhuǎn)角；θBi—運(yùn)動(dòng)平臺(tái)球鉸的轉(zhuǎn)角。

上述約束條件中，任何一個(gè)變量等于其邊界值，所得解值便為工作空間的邊界點(diǎn)。αmin、βmin、γmin是循環(huán)變量初值，αmax、βmax、γmax是循環(huán)變量終值。

假定工作空間由若干微元組成。每個(gè)微元對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)上平臺(tái)的一個(gè)可能位姿。當(dāng)給出一個(gè)位姿時(shí)，判斷其是否滿(mǎn)足所有約束方程，若都滿(mǎn)足，則說(shuō)明該位姿存在，系統(tǒng)記錄，然后給出下一個(gè)位姿，繼續(xù)判斷，如此循環(huán)往復(fù)。最后，系統(tǒng)搜索出所有存在的位姿，得到上平臺(tái)工作空間范圍。

由此，工作空間體積V[9]：

式中：length（X）—工作空間微元數(shù)量；Δα、Δβ、Δγ—3 個(gè)變量的搜索步長(zhǎng)。

6 數(shù)值計(jì)算

6.1 位置反解數(shù)值算例

給定基本參數(shù)：上平臺(tái)邊長(zhǎng)a=1m；下平臺(tái)邊長(zhǎng)b=0.5m；彈簧原長(zhǎng)Lk1=Lk2=Lk3=0.1m；彈簧彈性常數(shù)k1=k2=k3=0.5N/m。依據(jù)管片拼裝機(jī)微調(diào)機(jī)構(gòu)尺寸，令x=y=0，z=0.5m。

給定輸入變量 X=［0，0，0.5］T，有：

同理可得L2和L3。

6.2 位置正解數(shù)值算例

給定驅(qū)動(dòng)支鏈 L1、L2、L3，求 α、β、γ。精度 ε＝10-13，初始步長(zhǎng)Δα＝Δβ＝Δγ＝0.15rad。計(jì)算得到 29 組解值，位置正解不唯一。前 10組位置正解，如表1 所示。

表1 前10 組位置正解Tab.1 Position Direct Solution of First 10 Sets

6.3 工作空間數(shù)值算例

運(yùn)用Matlab 求解機(jī)構(gòu)工作空間，如圖4 所示。

圖4 3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間Fig.4 Workspace of 3-SPS/1-S Tensegrity Parallel Mechanism

圖中各點(diǎn)都是工作空間的微元，全部微元構(gòu)成機(jī)構(gòu)上平臺(tái)的工作空間范圍。運(yùn)用式（7）可得：

改變?chǔ)萴ax值，工作空間體積，如表2 所示。

表2 工作空間體積Tab.2 Workspace Volume

隨著θmax變大，工作空間體積不斷變大，θmax為45°時(shí)的工作空間體積是15°的196 倍。在管片拼裝機(jī)的微調(diào)工作中，僅需完成3 個(gè)方向的小幅轉(zhuǎn)動(dòng)，因此較小的工作空間即可滿(mǎn)足要求。

7 結(jié)論

（1）3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有3 個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，將其引入管片拼裝機(jī)，實(shí)現(xiàn)了橫搖、俯仰及偏轉(zhuǎn)3 個(gè)微調(diào)動(dòng)作，且具有承載能力大的特點(diǎn)；與傳統(tǒng)剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，該機(jī)構(gòu)存在3個(gè)彈簧，消除了運(yùn)動(dòng)副對(duì)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的振動(dòng)，提高了運(yùn)動(dòng)精度。

（2）針對(duì)3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)，推導(dǎo)了位置反解的求解方程，得到了驅(qū)動(dòng)支鏈表達(dá)式；給出了位置正解的變步長(zhǎng)搜索法求解流程。結(jié)合管片拼裝機(jī)安裝尺寸，進(jìn)行數(shù)值算例驗(yàn)證，結(jié)果表明位置反解具有唯一性，但位置正解共有29 組解值。給出工作空間約束方程及體積求解方程，選定θmax為35°，得到工作空間可達(dá)范圍是0.768rad3。