剃齒過(guò)程中重合度對(duì)嚙合接觸特性的影響

蔡安江，耿 晨，李文博，劉立博

（西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 引言

一般認(rèn)為，重合度是引起剃齒齒形中凹誤差的重要因素。在剃齒過(guò)程中，剃齒刀和工件齒輪的嚙合瞬時(shí)為點(diǎn)接觸，而實(shí)際重合度往往不是整數(shù)，工件齒輪在節(jié)圓附近嚙合時(shí)，其接觸點(diǎn)數(shù)會(huì)發(fā)生突變，左右嚙合線上接觸不平衡，使得作用在齒輪齒面的切削力增大，齒面材料去除過(guò)多，最終會(huì)形成較為明顯的齒形中凹誤差[1]。

文獻(xiàn)[2-4]將LTCA 技術(shù)應(yīng)用于修形斜齒輪，推導(dǎo)了弧齒錐齒輪承載齒面接觸分析，給出了包含誤差的修形斜齒輪在不同受力條件下的齒面載荷分布和傳動(dòng)誤差。文獻(xiàn)[5]將機(jī)床運(yùn)動(dòng)幾何誤差及安裝誤差考慮到模型中，提出ETCA 方法，得到機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差和安裝誤差對(duì)齒面加工質(zhì)量影響的定量關(guān)系。針對(duì)剃齒嚙合的接觸問(wèn)題，文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)出了剃齒過(guò)程中的不同嚙合狀態(tài)分區(qū)，并計(jì)算出接觸點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)變。但是其并未考慮剃齒刀齒面上容屑槽和切削刃的存在。

以Hertz 理論和齒輪加工原理為基礎(chǔ)，提出了剃齒過(guò)程中的齒面接觸分析方法，分析了不同重合度下的剃齒嚙合接觸特性曲線，研究了重合度對(duì)剃齒齒形中凹誤差的定量影響。

2 剃齒嚙合模型

2.1 剃齒嚙合

剃齒加工是應(yīng)用最廣泛的齒面精加工方法之一，可以提高齒面成形質(zhì)量。剃齒嚙合中，當(dāng)嚙合落到容屑槽兩端的切削刃上時(shí)，剃齒刀和工件齒輪上接觸點(diǎn)的法向速度v1n、v2n不相等，切削刃切入工件齒輪齒面；同時(shí)，剃齒刀和工件齒輪的切向速度v1t、v2t也不相等，齒面間存在相對(duì)滑移，形成剃削行為，相對(duì)速度-v2t即為剃削速度。工件齒輪軸向往復(fù)運(yùn)動(dòng)，最終將被剃齒面完整剃削。在建立剃齒刀和工件齒輪的剃齒嚙合接觸模型時(shí)，首先建立二者的空間嚙合關(guān)系，如圖1 所示。

圖1 剃齒嚙合幾何模型Fig.1 Geometric Model of Gear Shaving

2.2 數(shù)學(xué)模型

2.2.1 剃齒刀齒面方程

不同于螺旋斜齒輪，剃齒刀齒面上按規(guī)律排列著多條容屑槽和切削刃，對(duì)工件齒輪齒面作切削加工。在計(jì)算出剃齒刀的基本參數(shù)的基礎(chǔ)上，容屑槽的參數(shù)依照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（GB/T14333-2008）選擇，可以將其視為已知。

在剃齒刀齒面上，容屑槽是等距分布的。在O1X1Y1Z1坐標(biāo)系中，剃齒刀的右齒面方程可以表示為：

式中：rb1—剃齒刀基圓半徑；

u1—參變數(shù)，表示漸開(kāi)線上該點(diǎn)處壓力角和展角的和；

p1—剃齒刀齒面的螺旋參數(shù)，p1=rb1cotβb1；

βb1—剃齒刀基圓螺旋角；

β—剃齒刀分度圓螺旋角；

λ1—參變數(shù)，表示漸開(kāi)線齒廓從起始處沿著螺旋線，繞Z 軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度；

b1、L、k—剃齒刀容屑槽參數(shù)。

2.2.2 剃齒嚙合方程

剃齒嚙合過(guò)程符合經(jīng)典嚙合原理，在嚙合點(diǎn)處滿足嚙合方程：

式中：v（12）—兩齒面在嚙合點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度；n—兩齒面在嚙合點(diǎn)處的法線矢量。

根據(jù)微分幾何分別求得 v（12）、n，代入式（2）可得：

剃齒過(guò)程為雙自由度嚙合，所以得到的嚙合面方程式為：

由于剃齒嚙合為交錯(cuò)軸斜齒輪嚙合，嚙合過(guò)程為點(diǎn)接觸，這是為了增大剃齒嚙合過(guò)程中的表面接觸應(yīng)力，增強(qiáng)剃齒切削效果?？傻闷鋰Ш暇€方程為：

其中，c0=cos（u1-λ1-φ1），可證其為常數(shù)。

2.2.3 工件齒輪齒面方程

剃齒嚙合過(guò)程是一個(gè)連續(xù)的切削過(guò)程，但是為了方便建立時(shí)變的工件齒輪齒面方程，我們將剃齒刀的徑向進(jìn)給離散化，這樣可以計(jì)算得到剃齒嚙合過(guò)程中的時(shí)變中心距，并給出剃齒刀每轉(zhuǎn)過(guò)一圈，切削得到的工件齒輪齒面方程。剃齒嚙合中心距為：

式中：fr—剃齒刀的徑向進(jìn)給速度；n—剃齒刀的轉(zhuǎn)速；N=0，1，2，3……。

剃削得到的工件齒輪齒面和剃齒刀齒面，滿足無(wú)側(cè)隙嚙合條件。建立工件齒輪時(shí)變齒面模型，工件齒輪齒廓，如圖2 所示。

圖2 工件齒輪齒廓Fig.2 Tooth Profile of Workpiece

在坐標(biāo)系S2中，工件齒輪齒面的參數(shù)方程可以表示為：

式中：l2—工件齒輪軸向進(jìn)給的距離；Σ—剃齒刀和工件齒輪的軸交角。

在式（7）中，λ0為常數(shù)。

3 剃齒嚙合接觸特性分析

3.1 剃齒嚙合接觸特性

剃齒嚙合接觸特性主要研究剃齒刀和工件齒輪齒面間的接觸應(yīng)力和變形，包括法向接觸力fn、接觸應(yīng)力σH、接觸變形δE。剃齒嚙合過(guò)程中，工件齒輪同時(shí)受到齒面接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的作用，而輪齒彎曲變形對(duì)齒面影響較小，故不予考慮。

3.2 重合度

重合度表示在齒輪嚙合過(guò)程中同時(shí)參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)的多少[6]，漸開(kāi)螺旋面的交錯(cuò)軸嚙合為點(diǎn)接觸，嚙合齒輪對(duì)的端面重合度、縱向重合度以及總重合度是同一個(gè)值，故剃齒嚙合的重合度為[7]：

式中：l—端面有效嚙合線長(zhǎng)度；

Δl—剃齒時(shí)齒輪端面有效嚙合線超越量。

當(dāng)重合度不同時(shí)，剃齒刀的齒頂圓、齒廓的曲率半徑等都會(huì)發(fā)生變化，剃齒嚙合狀態(tài)也會(huì)發(fā)生改變，剃齒嚙合的最大法向接觸力將隨之發(fā)生改變。

3.3 剃齒嚙合接觸分析算法

剃齒刀齒面的嚙合跡線是不連續(xù)的，容屑槽處的嚙合點(diǎn)實(shí)際落在其兩端的切削刃上，接觸點(diǎn)的曲率半徑發(fā)生變化，法向力也會(huì)改變，進(jìn)而影響金屬切削，并對(duì)中凹誤差產(chǎn)生影響。

3.3.1 齒廓嚙合點(diǎn)

在圖1 坐標(biāo)系Sp中，選擇工件齒輪端面所在平面，即二維坐標(biāo)系OP-xpyp，剃齒刀的基圓在此坐標(biāo)系中的投影為橢圓，且方程可以給出：

工件齒輪基圓方程已知，可以給出當(dāng)前中心距下工件齒輪端面上的嚙合線方程。由于剃齒嚙合對(duì)重合度的變化量很小，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，取中心距為設(shè)計(jì)中心距。

通過(guò)坐標(biāo)變換將式（7）轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)系Sp中的工件齒輪齒面方程，再投影到平面oPxPyP上，得到工件齒輪的端面齒廓。在剃齒過(guò)程中，工件齒輪隨著剃齒刀不斷轉(zhuǎn)動(dòng)，所以齒面方程也應(yīng)該不斷更新，工件齒輪齒面方程可以通過(guò)坐標(biāo)變換得到：

式中：Mp2—坐標(biāo)系 S2到坐標(biāo)系 Sp的變換矩陣；tp=t2=［0 0 0 1］。

將工件齒輪的齒面方程投影到oPxPyP面上，得到工件齒輪的齒廓方程，將其與嚙合線方程聯(lián)立解得嚙合點(diǎn)。

3.3.2 求解法向作用力、應(yīng)力和應(yīng)變

根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型，建立軸向剃齒嚙合過(guò)程中的力學(xué)模型，并對(duì)所建的力學(xué)模型進(jìn)行齒面載荷接觸分析。

在兩點(diǎn)和三點(diǎn)嚙合時(shí)，運(yùn)用靜力學(xué)方程可以解得各接觸點(diǎn)的法向力，不再贅述。

在四點(diǎn)接觸區(qū)域，系統(tǒng)保持平衡狀態(tài) F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4未知，通過(guò)力和力矩的平衡方程不足以解出法向作用力的大小，需建立四個(gè)方程來(lái)求解，此時(shí)引入?yún)f(xié)調(diào)方程：

式中：F—各接觸點(diǎn)的法向作用力；

b—各接觸點(diǎn)接觸橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)。

協(xié)調(diào)方程的含義為兩條嚙合線上的接觸變形之和相等。

在獲得接觸力后，根據(jù)斜齒輪齒面接觸應(yīng)力求解方法，求解各嚙合接觸點(diǎn)的應(yīng)力[8]：

式中：u—剃齒嚙合的傳動(dòng)比；Fn—嚙合點(diǎn)的法向作用力；ZH、Ze、ZE、Zβ—嚙合對(duì)的相關(guān)系數(shù)，可查表得到；實(shí)際載荷系數(shù)KH=KAKVKHαKHβ。

嚙合點(diǎn)接觸變形的求解，適用彈性圓柱體接觸變形的計(jì)算公式：

式中：E—工件齒輪的彈性模量；

v—工件齒輪的泊松比；

L—工件齒輪齒寬；

b—接觸橢圓半長(zhǎng)軸。

3.4 剃齒嚙合接觸特性計(jì)算

由于剃齒齒形中凹誤差大都發(fā)生在重合度小于2 的剃齒嚙合加工中，基于文獻(xiàn)[7]中剃齒刀設(shè)計(jì)的原理與方法，根據(jù)工件齒輪的參數(shù)設(shè)計(jì)4 把剃齒刀，材料屬性，如表1 所示。設(shè)計(jì)參數(shù)，如表2 所示。

將四把剃齒刀分別與工件齒輪嚙合，建立四組不同的剃齒嚙合模型，剃齒過(guò)程的剃削力主要由徑向進(jìn)給量確定[9]，不同的徑向力會(huì)對(duì)剃齒造成不同的剃削變形。經(jīng)剃齒嚙合接觸分析可得，法向接觸力、接觸應(yīng)力以及齒廓的變形量的變化曲線，如圖3 所示。四組剃齒嚙合模型接觸點(diǎn)數(shù)的周期性變化規(guī)律均為3-4-3-2-3-4。

表1 工件齒輪材料的基本參數(shù)Tab.1 Basic Material Parameters of Workpiece

表2 剃齒刀的基本設(shè)計(jì)參數(shù)Tab.2 Basic Design Parameters of Shaving Cutter

圖3 表明：齒面上法向接觸力、接觸應(yīng)力和變形量均表現(xiàn)出明顯的階躍特性，是因?yàn)閲Ш蠣顟B(tài)發(fā)生改變，接觸點(diǎn)數(shù)的突變導(dǎo)致徑向力的階躍。DE 段為兩點(diǎn)接觸，在徑向力不變的情況下，齒面接觸點(diǎn)所承受的法向接觸力和齒面變形量都會(huì)增大。CD 段為三點(diǎn)接觸，這一段齒廓的受力和變形，與DE 段基本相同，是因?yàn)殡m然接觸點(diǎn)多，但是單點(diǎn)接觸受力不平衡，所以更容易出現(xiàn)塑性形變。圖3（a）～圖（b）中接觸應(yīng)力與應(yīng)變變化趨勢(shì)大致相同，且值也相差不大，表明當(dāng)重合度足夠大時(shí)，再繼續(xù)增大對(duì)齒面接觸應(yīng)力影響不大，反而會(huì)使得剃齒中心距減小，容易造成沉割、根切等不良影響。比較四個(gè)不同重合度的分析結(jié)果，可以看出，重合度越小的剃齒嚙合模型，其在節(jié)圓附近齒面的法向接觸力、接觸應(yīng)力以及變形量都越大，相對(duì)也更容易產(chǎn)生塑性形變，隨著誤差不斷復(fù)映，最終會(huì)在齒面節(jié)圓附近呈現(xiàn)出明顯的齒形“中凹”誤差。

4 仿真驗(yàn)證

4.1 有限元仿真前處理

由于刀齒過(guò)渡曲線等復(fù)雜曲面的存在，在ABAQUS 中進(jìn)行前處理有可能會(huì)存在很小的尖角，而Hypermesh 可以對(duì)單元節(jié)點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)修改，故應(yīng)用Hypermesh 進(jìn)行剃齒嚙合分析模型的網(wǎng)格劃分。減縮積分對(duì)網(wǎng)格的扭曲變形不敏感，對(duì)位移的求解精度及速度也較為優(yōu)越[10]。Celik 驗(yàn)證比較了局部模型代替整體模型可以滿足工程應(yīng)用[11]。為更合理地獲取齒廓任意曲率半徑的應(yīng)力值，需對(duì)分析步、相互作用和載荷進(jìn)行設(shè)置：（1）分析步設(shè)置為[Dynamic，Explicit]，剃齒嚙合為典型的多體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，應(yīng)設(shè)置Nigeom 為On。為了避免出現(xiàn)模型單元變形速度和膨脹波速比超過(guò)1 等錯(cuò)誤，設(shè)置時(shí)間縮放系數(shù)為0.5；（2）在剃齒刀部件上施加剛體約束；（3）載荷模塊設(shè)置刀齒嚙合邊界條件，且在剃齒刀上施加200r/min 的角速度。

4.2 數(shù)據(jù)對(duì)比

根據(jù)表2 所示的四組剃齒嚙合模型，分別建立有限元模型，剃齒嚙合接觸仿真結(jié)果，如圖4 所示。結(jié)果表明：不同嚙合狀態(tài)下接觸應(yīng)力存在明顯的變化，同時(shí)，在開(kāi)始嚙入時(shí)，接觸應(yīng)力的初始值明顯小于剃齒嚙合接觸特性理論計(jì)算結(jié)果，原因是在嚙入和嚙合狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，接觸應(yīng)力的變化需要一個(gè)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的過(guò)程。比較圖4 四組剃齒嚙合模型的應(yīng)力曲線可知，輪齒中部節(jié)圓附近區(qū)域應(yīng)力趨于穩(wěn)定，該區(qū)域主要是三點(diǎn)嚙合區(qū)，取應(yīng)力的平均值為此處應(yīng)力值，分別為 618.076N，622.400N，665.865N，681.963N。可見(jiàn)，隨著剃齒嚙合重合度的減小，加工嚙合過(guò)程中的最大應(yīng)力值隨之非線性增大。使用有限元法計(jì)算所得最大應(yīng)力均大于剃齒嚙合接觸特性分析的計(jì)算結(jié)果，其偏差分別為9.539%，8.775%，7.308%，0.268%，滿足工程實(shí)踐需求。

圖3 不同重合度的剃齒嚙合接觸特性曲線Fig.3 Shaving Contact Characteristic Curves with Different Contact Ratios

圖4 不同重合度的剃齒嚙合接觸特性仿真曲線Fig.4 Simulation Curves of Shaving Contact Characteristic with Different Contact Ratios

5 結(jié)論

針對(duì)剃齒嚙合過(guò)程中的接觸特性，考慮剃齒刀齒輪容屑槽和切削刃的存在，提出剃齒嚙合接觸特性分析方法，并通過(guò)有限元仿真驗(yàn)證理論研究，主要結(jié)論如下：

（1）剃齒嚙合接觸分析表明剃齒嚙合重合度越低，出現(xiàn)在節(jié)圓附近的三點(diǎn)嚙合區(qū)域的法向接觸力的最大值越大，此處的剃削量和形變也越大，更易產(chǎn)生剃齒齒形“中凹”誤差。

（2）在剃齒嚙合中，并不是重合度越大越好。當(dāng)重合度足夠大時(shí)，繼續(xù)增大重合度影響剃齒嚙合接觸性能很小。反而會(huì)因?yàn)橹睾隙冗^(guò)大，發(fā)生沉割、根切現(xiàn)象。

（3）通過(guò)有限元計(jì)算得出，節(jié)圓附近區(qū)域嚙合接觸應(yīng)力趨于平穩(wěn)。節(jié)圓附近三點(diǎn)嚙合區(qū)域出現(xiàn)剃齒嚙合接觸應(yīng)力的最大值。有限元法計(jì)算得出的應(yīng)力最大值比剃齒嚙合接觸分析方法所得結(jié)果偏大，處于誤差范圍內(nèi)。