高中數(shù)學(xué)排列組合解題技巧探析

甘肅省臨夏回族自治州永靖縣永靖中學(xué) 王 龍

排列組合不僅是一種題目類型，同時(shí)也是重要的解題工具，學(xué)習(xí)排列組合首先要具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力。但因?yàn)楦咧须A段學(xué)生的知識(shí)體系不夠健全，考慮問題缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，因此在對(duì)排列組合問題進(jìn)行解答的過程中很容易出現(xiàn)各種各樣的問題，影響數(shù)學(xué)成績。在數(shù)學(xué)試卷中，排列組合問題占據(jù)著極大的比重，因此要想提高數(shù)學(xué)整體成績，必須將基礎(chǔ)打好，牢牢掌握排列組合問題的解題技巧，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

一、巧用插空法

插空法主要是對(duì)固定為主不相鄰的排列組合問題進(jìn)行解答，其使用條件限制不多，但在解題的過程中要注意先排列好特殊位置，之后在限制元素之間的兩端或空位插入自由元素，以使某些元素不相鄰的條件得到滿足。例如這樣一道例題：將3 位學(xué)生插入相鄰而站的八位學(xué)生之間，要求每2個(gè)學(xué)生之間只可以插進(jìn)1 個(gè)新同學(xué)，不能將之前8 位學(xué)生的排列順序改變，請(qǐng)問有多少種排列方式？第一，先對(duì)固定元素進(jìn)行考慮，不能改變?cè)瓉? 位學(xué)生的順序和位置，只需要對(duì)其他3 位學(xué)生的插空位置和順序的排列組合方式進(jìn)行考慮，注意不要將8 位學(xué)生兩端的位置遺漏，如此便有9 個(gè)位置可以插孔。先用公式將從9 個(gè)孔位中選出3 個(gè)孔位的組合方式有幾種計(jì)算出來，再把3 位新同學(xué)一共有幾種排列方式算出，最后將兩個(gè)結(jié)果相乘便將最終答案得出。這是一個(gè)十分具有代表性的插孔問題，只要學(xué)生掌握解題技巧，只需三個(gè)步驟便能準(zhǔn)確計(jì)算出答案。

二、相鄰捆綁

排列組合中有這樣一類十分常見的問題：兩個(gè)數(shù)字、兩個(gè)人等必須緊挨在一起，或一個(gè)問題中借助分析發(fā)現(xiàn)大條件中必須有兩種物品要相鄰的問題。在對(duì)此類問題解答的過程中，若是把全部元素均看成獨(dú)立的個(gè)體，之后再對(duì)相鄰問題進(jìn)行考慮，如此也可以得出結(jié)果，但效率不高，準(zhǔn)確率也不是百分之百。運(yùn)用相鄰捆綁就很容易解決了，即把兩個(gè)相鄰元素看作一個(gè)整體后再重新排列，如此可以將很多步驟省掉，同時(shí)更有秩序性。例如：年終大會(huì)開始了，要將10 把椅子排成一排，經(jīng)理和副經(jīng)理要坐在一起，其他可以任意擺放，請(qǐng)問一共有多少種擺法？這是極具代表性的相鄰問題，在解答的過程中借助大條件，我們可以發(fā)現(xiàn)最關(guān)鍵的一點(diǎn)是經(jīng)理和副經(jīng)理要坐在一起。在解答問題的過程中，可以把他們兩個(gè)看作一把椅子，也就是排列組合九把椅子，如此不僅不會(huì)在解答的過程中每次都要對(duì)坐在一起的問題進(jìn)行考慮，同時(shí)還能迅速把解答方向找到，借助簡單的公式更迅速地得到答案。例如：7 個(gè)人站成一排，并且A 與B 之間需要相鄰，C 與D 同樣如此，那么總共包含多少種狀況？這屬于較為普通的捆綁類題目，采取捆綁法，學(xué)生能夠?qū) 與B、C 與D 作為整體，進(jìn)而簡化成5 人排數(shù)問題，通過排列公式A55 能夠計(jì)算出約有120 種狀況。同時(shí)，捆綁元素能夠?qū)崿F(xiàn)自由排列，A 與B 排列存在著兩種狀況，即A22 種狀況，C 與D 也是如此。如此一來便能夠得到最終答案，即120×2×2=480（種）。對(duì)于上述題目，需要重視對(duì)捆綁元素予以正確的排序。同時(shí)可以運(yùn)用“插空法”予以解答，對(duì)不相鄰的元素實(shí)施插空處理。需要注意的是，在對(duì)捆綁法和插空法予以運(yùn)用的過程中，應(yīng)結(jié)合題目特點(diǎn)和運(yùn)用難度，本題所運(yùn)用的捆綁法屬于簡單類型。

三、優(yōu)先處理特殊位置上的元素

數(shù)學(xué)問題中元素所在位置可能具有限制條件，在對(duì)排列組合問題進(jìn)行解答的過程中，要先將特殊位置的元素找出來，列出它們的限制條件優(yōu)先計(jì)算，防止因?yàn)橛?jì)算順序不正確或條件遺漏造成結(jié)果不正確。如這一類常見的排列組合問題：一個(gè)電話號(hào)碼的最后三位模糊不清，已知它們是1、4、5、7、9 五個(gè)數(shù)中的三個(gè)不同數(shù)字，同時(shí)可以確定其中一個(gè)數(shù)字為9，請(qǐng)問，共有多少種排列組合方式？在這個(gè)題目中，9 為特殊元素，排列組合是要在不同的位置上放上9，基于此展開解答，不僅能節(jié)省答題時(shí)間，同時(shí)還可以防止遺漏計(jì)算結(jié)果。

四、運(yùn)用排除法

排除法是最有效、最顯著且使用頻率最高的一種方法。一些問題從正面進(jìn)行考慮，通常較為復(fù)雜，難以找到切入點(diǎn)，若是立足于另一個(gè)角度進(jìn)行考慮，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)難度并不大，看到它的反面，之后再從整個(gè)問題中進(jìn)行排除，就能輕松解決各個(gè)難點(diǎn)。例如這樣一道問題：有20 個(gè)編號(hào)從1—20的球，其顏色和大小均相同，從中摸4 個(gè)球，但要求至少有一個(gè)球是1—4 號(hào)，請(qǐng)問一共有多少種抽法？若是正面考慮這道題，可能會(huì)受到一定的誤導(dǎo)，我們會(huì)把問題分成幾種情況，但立足于另一個(gè)角度看，所有問題就會(huì)變得非常簡單，如此既能降低理解難度，同時(shí)還能節(jié)省時(shí)間。

五、打包寄送法

打包寄送法是對(duì)元素不同分組問題予以解決的主要方式，具體應(yīng)用時(shí)涉及打包與寄送兩個(gè)方面。對(duì)不同元素進(jìn)行分組的過程中，需要通過正整數(shù)的方式對(duì)元素個(gè)數(shù)予以分析，并通過排列組合對(duì)全部的分組狀況進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)其予以匯總相加，此種分組方式就是打包法，就打包法之中的各個(gè)組別而言，均需要分到最少一個(gè)元素。寄送法則指的是把不同元素分到不同位置，確保每個(gè)位置均有一個(gè)元素。打包和寄送結(jié)合在一起就形成了打包寄送法，其特點(diǎn)在于分發(fā)元素并不同質(zhì)，需要通過以下兩個(gè)步驟進(jìn)行計(jì)算：其一，打包，把N 個(gè)不同元素劃分成n 組，秉承“打包計(jì)數(shù)先分解，對(duì)照分解寫組合，組合相乘做分子，同數(shù)全排做分母”的原則；其二，寄送，將N 個(gè)不同元素寄送到N 個(gè)不相同的部分，確保每個(gè)部分均有一個(gè)，原則為“寄送問題想簡單，進(jìn)行全排就可以”。比如，把6 位同學(xué)送到3 個(gè)地方，每個(gè)地方最少去一名同學(xué)，那么總共有多少種安排方式？在解答的過程中，打包分組總共有90 種方式，寄送則有6 種方式，結(jié)合分步原理能夠得出，安排方式總共有90×6=540 種。

六、畫圖法

部分排列組合問題存在著諸多的細(xì)節(jié)，學(xué)生對(duì)這些細(xì)節(jié)進(jìn)行處理的過程中，極易忽略題目中存在的相關(guān)條件，進(jìn)而出現(xiàn)做題錯(cuò)誤的情況。畫圖法是一種解決問題的良好方式，其能夠?qū)︻}目中存在的細(xì)節(jié)進(jìn)行有效的還原。例如，35 個(gè)人圍成一圈，那么總共有多少種方式？部分學(xué)生面對(duì)此問題時(shí)，會(huì)認(rèn)為其屬于例題2 的簡化，但運(yùn)用圖畫（如下圖），就會(huì)發(fā)現(xiàn)并非如此。

將圍成一個(gè)圈的狀況畫成排列為一條的狀況，可發(fā)現(xiàn)此題目不存在首位分別。所以，答案不是A55，而是A44，即總共有24 種狀況。

七、擋板法

就擋板法而言，其主要是用來解決同質(zhì)元素分組問題。對(duì)相同元素進(jìn)行分組的過程中，需要把元素依次攤開，并在空隔中將需要的個(gè)數(shù)選出來，插入擋板，進(jìn)而把元素分成若干個(gè)部分，擋板法獲取到的每個(gè)組最少存在一個(gè)元素。對(duì)擋板法予以靈活運(yùn)用，可以對(duì)部分較為復(fù)雜的排列組合問題進(jìn)行處理。在具體運(yùn)用的過程中，需重視分組元素的一致性，每組均“非空”，因此每組之中最少要存在一個(gè)元素，避免出現(xiàn)剩余元素。例如，把10 張電影票分給3 個(gè)人，每人最少需要得到1 張，總共存在多少種方式？把10 張電影票攤開，形成9 個(gè)空隙，需要分成3 段，并在9 個(gè)空隙中插入兩個(gè)擋板，那么不同的方式有C29=36 種。

八、分類法

解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。例如，三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11 的三角形有多少個(gè)？

解：設(shè)三角形的另外兩個(gè)邊分別為x 和y，要構(gòu)成三角形，則分類討論如下：

當(dāng)y為11時(shí)，x可以為1、2、3、……11，可有11個(gè)三角形；

當(dāng)y 為10 時(shí)，x 可以為2、3、4、……10，可有9 個(gè)三角形；

當(dāng)y 為9 時(shí)，x 可以為3、4、5、……9，可有7 個(gè)三角形；

當(dāng)y 為8 時(shí)，x 可以為4、5、6、7、8，可有5 個(gè)三角形；

當(dāng)y 為7 時(shí)，x 可以為5、6、7，可有3 個(gè)三角形；

當(dāng)y 為6 時(shí)，x 可以為6，只有1 個(gè)三角形。

所以，所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36 個(gè)。

總而言之，高中數(shù)學(xué)排列組合問題很有特點(diǎn)，在解答問題的過程中應(yīng)注意靈活運(yùn)用解題技巧，正確分析題目，運(yùn)用適宜的解題方法，可以將解題難度有效降低，使考試時(shí)間得到節(jié)省，同時(shí)使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。所以，必須重視總結(jié)和運(yùn)用排列組合問題解題技巧。