數(shù)學建模在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用

福建省漳州市龍海蓮花中學 何繼芳

由于初中階段的學生在邏輯思維方面還存在一定的不足，所以在教學中教師要及時更新教育思想與方法，提升學生學習能力，幫助學生掌握數(shù)學知識點，發(fā)揮數(shù)學建模作用，在簡化數(shù)學問題的同時促進學生掌握解題技巧，從而提高學習效果。

一、初中生數(shù)學建模中存在的問題

研究發(fā)現(xiàn)，目前一些初中生表現(xiàn)出了數(shù)學建模素養(yǎng)不高的現(xiàn)象，尤其是在分析問題、解決問題能力等方面存在一定的不足。所以在教育教學中，教師要找出學生出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因，做好轉(zhuǎn)變工作。首先，一些學生心理方面存在一定的障礙。由于數(shù)學知識有著抽象性與邏輯性較強的特點，很容易讓學生對數(shù)學知識產(chǎn)生戒備心，甚至表現(xiàn)出自信心不足等現(xiàn)象，在面對數(shù)學知識時也就會產(chǎn)生厭煩的心理。其次，一些學生存在思維局限性現(xiàn)象。初中數(shù)學問題復雜程度增加，需要學生找出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，以抽象思維來解決問題。但是由于一些學生的直接思維能力與抽象思維能力不足，影響了他們對數(shù)學知識的理解，影響了學生建模能力的提升。最后，學生在數(shù)量分析方面存在一定的不足。受基礎(chǔ)知識的限制，數(shù)量關(guān)系、數(shù)形結(jié)合等很容易對建模產(chǎn)生直接的影響，最終也會影響到學生的學習效果。

二、在初中數(shù)學教學中應(yīng)用數(shù)學建模的措施

（一）啟發(fā)學生建模思想

由于數(shù)學知識有著抽象性與邏輯性較強的特點，所以一些學生在學習中表現(xiàn)出了許多的問題。因此，教師就要利用數(shù)學問題來培養(yǎng)學生的自主學習能力，鼓勵學生進行實踐探索，在幫助學生掌握數(shù)學現(xiàn)象的同時提出自己的問題，通過準確分析與研究來解決問題，形成建模思想。所以，培養(yǎng)學生問題意識已經(jīng)成了建模思想形成的關(guān)鍵所在。教師也要及時為學生構(gòu)建適宜的教學情境，讓學生主動探索數(shù)學知識。首先，營造學習環(huán)境。由于這一階段學生思維比較活躍，能夠?qū)π迈r事物產(chǎn)生濃郁的好奇心，所以教師要利用學生這一特點，向?qū)W生提出實際問題，鍛煉學生問題意識。在傳統(tǒng)教育模式中，許多學生處于被動學習狀態(tài)，加之課堂互動性不足，影響到了學生的學習效果。但是在現(xiàn)代數(shù)學教學中，教師則要從營造學習環(huán)境出發(fā)，清楚認識到學生才是課堂中的主體，自身則要以引導者的身份來幫助學生學習，激發(fā)學生探索欲望。其次，營造問題環(huán)境。當學生置身于良好的學習環(huán)境時，往往能夠產(chǎn)生問題意識，從而也就可以積極參與學習，在問題情境中找出數(shù)學知識點。因此，在創(chuàng)建問題情境時就要結(jié)合學生的生活實際，引入趣味性數(shù)學故事，鼓勵學生提出具體問題，在引導學生探索中找出解題方法。

（二）數(shù)學建模在教學中的運用

我們的日常生活中隨處可見數(shù)學，數(shù)學在實際生活中運用廣泛，教師應(yīng)培養(yǎng)學生具有數(shù)學建模的思想。學生通過一些具體實例實踐、分析、歸納，將所學知識滲透到實際問題中，才能初步形成數(shù)學建模能力，建立數(shù)學模型，解決實際問題。

1.在幾何上的運用

在幾何中測量一些高大物體的高度，如東方明珠塔、金字塔的高度以及河岸的跨度等我們不能直接測量，可引導學生進行數(shù)學建模，運用三角形相似解決實際問題。

例如，據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學家、天文學家泰勒斯曾經(jīng)利用三角形相似的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度。如圖一，木桿EF 長2 米，它的影長FD 為3 米，測OA 長為201 米，求金字塔的高度BO。

圖一

圖二

又如圖二，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標P，在河的這一邊取點Q 和S，使P、Q、S 三點共線且直線PS 與河岸垂直，接著再過點S 且與PS 垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cT，確定PT 與過點Q 且垂直PS 的直線b 的交點為R。如果測得QS 為45 米，ST 為90 米，QR 為60 米，求河的寬度PQ。

解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P

∴△PQR ～△PST

∴PQ×90=（PQ+45）×60，解得PQ=90（米）

2.在函數(shù)中的運用

日常生活中有關(guān)商品利潤的最大化、旅游消費費用的最小值、建筑物的設(shè)計等問題，我們就可引導學生進行數(shù)學建模，運用一次函數(shù)和二次函數(shù)解決實際問題。

（1）一次函數(shù)模型

例如：學校有一批復印任務(wù)，原來由甲復印社承接，按每100 頁40 元計費?，F(xiàn)乙復印社表示，若學校先按每月付給200 元承包費，則可以按每100 頁15 元收費。①設(shè)學校復印的頁數(shù)為x，試寫出甲、乙兩家復印社的收費y甲、y乙與x 之間的函數(shù)關(guān)系式；②若該學校估計每月的復印頁數(shù)不超過1000 頁，那么學校應(yīng)該選擇哪個復印社復??？

解：①y甲=0.40x，y乙=200+0.15x（學生基本都能寫出來）

②設(shè)問你是怎么想的？應(yīng)該怎么分情況討論呢？

（解決問題：什么時候甲、乙兩復印社收費相同？什么時候甲復印社收費大于乙復印社收費？什么時候乙復印社收費大于甲復印社收費？收費相同在圖像上怎樣反映出來？結(jié)合函數(shù)圖像探究）

解析：當0.40x=200+0.15x，即x=800（頁），學校選擇甲復印社或乙復印社復印都可以；當0.40x ＜200+0.15x 即x ＜800（頁），學校選擇甲復印社復印支付費用比較少；當0.40x ＞200+0.15x，即x ＞800（頁），學校選擇乙復印社復印支付費用比較少。因此，結(jié)合實際，學校復印任務(wù)數(shù)在不多于800 頁時選擇甲復印社復印，復印任務(wù)數(shù)多于800 頁時選擇乙復印社復印。

（2）二次函數(shù)模型

例如：如圖，一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋的跨度是4.9 米，當水面寬度是4 米時，拱頂離水面2 米。現(xiàn)在想了解水面寬度變化時，拱頂離水面的高度怎樣變化。你能想出辦法來嗎？

引導學生建立函數(shù)模型。設(shè)問：這是什么樣的函數(shù)呢？（拱橋的縱截面是拋物線，所以應(yīng)當是個二次函數(shù)）再問：如何建立直角坐標系呢？（學生通過探究，得到如下幾種坐標系建立法）

通過比較可知，以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為y 軸建立直角坐標系（如第2 個圖）得到的函數(shù)表達式最簡單、最合適（即y=ax2型）。

總之，針對上面幾個日常生活中的實例，我們引導學生通過所學知識分析問題、建立數(shù)學模型，最后得以解決問題。

（三）培養(yǎng)學生符號意識

由于數(shù)學知識中存在豐富的符號內(nèi)容，所以可以借助符號來表示相關(guān)數(shù)學知識，讓學生在推理與分析中掌握計算技巧。在新課改背景下，要從培養(yǎng)學生符號意識入手，鼓勵學生學習數(shù)學知識，利用數(shù)學建模將抽象的數(shù)學知識直觀展現(xiàn)出來，發(fā)揮數(shù)學符號的作用。所以在教學中就要從建模思想入手，鍛煉學生用字母表示數(shù)的能力。由于這一階段學生受到前階段學習的影響，對數(shù)字有著較強的依賴感，教師就要有意識地引導學生，讓學生習慣運用字母來替代數(shù)量和數(shù)量的關(guān)系。

例如：A 與B 兩地間隔18 公里，甲方需要在AB 之間鋪設(shè)燃氣管道線，乙方在AB 間鋪設(shè)輸油管道線。已知甲方每周比乙方少鋪設(shè)1 公里，但是甲方提前3 周進行施工，最終甲方與乙方同時完成施工任務(wù)，那么甲方與乙方每周各鋪設(shè)了多少公里管道線？

解：甲方每周鋪設(shè)x 公里，乙方每周鋪設(shè)（x+1）公里，

解得x1=2，x2=-3

經(jīng)檢驗，x1=2，x2=-3 都是原方程的根，但x2=-3 不符合題意，舍去。

∴x+1=3，即甲方每周鋪設(shè)2 公里，乙方每周鋪設(shè)3 公里。

再比如，超市購物中涉及總價、數(shù)量與單價之間的關(guān)系，所以就可以借助字母表示出來，幫助學生逐漸形成字母意識。教師還可以開展符號運算訓練，引入數(shù)學思想。開展符號運算訓練已經(jīng)成了提升學生符號意識的渠道之一，所以教師就要借助具體問題，讓學生得到充分的鍛煉。如在學習有理數(shù)這一內(nèi)容時，一些學生很容易出現(xiàn)符號使用錯誤的現(xiàn)象，所以教師就可以開展強化訓練，讓學生真正認識符號，從而提升學生的運算能力。

（四）堅持循序漸進原則

由于長期受到傳統(tǒng)教育思想的影響，一些教師在教學中并沒有認識到建模的重要性，加之學生自身經(jīng)驗與能力不足，所以在學習中表現(xiàn)出了難以快速解決問題的現(xiàn)象。因此，教師在教學中要堅持循序漸進的原則，培養(yǎng)學生建模素養(yǎng)，鍛煉學生學習能力。但是在教學中還要引入相關(guān)的鋪墊語，讓學生自行建立模型，從數(shù)量關(guān)系的角度來分析數(shù)學問題。學生只有掌握建模思想與方法，才能逐漸在學習數(shù)學知識中進行數(shù)學建模，解決相應(yīng)的問題。

綜上所述，初中數(shù)學教學作為學生學習中的重點與難點，將直接影響學生的后續(xù)發(fā)展。因此，教師在教育教學中就要從重視數(shù)學教學入手，以培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)為基礎(chǔ)，做好教學研究工作，利用建模思想來幫助學生學習，提高學生學習效果。