幾何直觀與空間想象雙宿直觀想象與核心素養(yǎng)雙飛

林冰芬

[摘要]直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，用于圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。直觀想象是幾何直觀與空間想象觀念的發(fā)展和融合的產(chǎn)物。在課堂教學(xué)中，教師要活用教材，創(chuàng)設(shè)情境;精心設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生動手操作;借助幾何直觀，把問題圖像化;借助空間想象，讓問題直觀化。

[關(guān)鍵詞]直觀想象;幾何直觀;空間想象

[中圖分類號]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0081-02

“我決定將來送孩子去學(xué)畫畫，因?yàn)槲矣X得會畫畫的孩子空間想象能力比較好，對以后學(xué)數(shù)學(xué)有很大的幫助。”一位名校畢業(yè)的母親說。

“我覺得現(xiàn)在的孩子沒我們上學(xué)那會兒會畫線段圖，畫出線段圖后理解起問題來真的容易很多。”一位資深教師感嘆。

“老師，我還是想象不出來。”總有學(xué)生感到困惑。來自家長、教師、學(xué)生的心聲都在告訴我們，直觀想象能力是學(xué)生必不可少的能力。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。直觀想象是幾何直觀與空間想象觀念的發(fā)展和融合的產(chǎn)物，是發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段。那么，如何在課堂中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力呢？筆者以一線教師的視角，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的心得和經(jīng)一、借幾何直觀，，把問題圖像化

幾何直觀是新課標(biāo)新增加的重要概念之一，主要是利用圖形描述和分析問題。可見，幾何直觀是利用圖形洞察問題本質(zhì)的一種方式，既有形象思維的特點(diǎn)，又有抽象思維的特點(diǎn)。幾何直觀能力可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題直觀化，抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，從而實(shí)現(xiàn)問題與圖形之間的轉(zhuǎn)化，有助于探索解題的策略，那么，如何提高學(xué)生的幾何直觀能力呢？

1.動手操作，直觀感知

新課標(biāo)解讀告訴我們：實(shí)踐是學(xué)生發(fā)展的新動力，只有讓學(xué)生動腦又動手，學(xué)生的各項(xiàng)能力才能得到發(fā)展。六年級學(xué)生的思維仍處在由形象思維向抽象思維過渡的階段，動手操作的目的就是要在腦海中形成圖像。因此，動手操作對學(xué)生建立概念有著極為重要的作用。

比如，圓錐體積計算公式的推導(dǎo)是重難點(diǎn)，教材要求學(xué)生用等底等高的圓柱、圓錐容器做實(shí)驗(yàn)，學(xué)生也能順利探究出兩者之間的關(guān)系。但在實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生對“等底等高”的理解不夠透徹，若重新設(shè)計實(shí)驗(yàn)（給各小組不一樣的圓柱和圓錐容器，有的等底等高，有的等底不等高，有的等高不等底），這樣在匯報時各小組得出的結(jié)論也不一樣。教師順勢引導(dǎo)學(xué)生做實(shí)驗(yàn)，把一個圓錐容器里的水倒人與之等底等高的圓柱容器里（此處重點(diǎn)對比，強(qiáng)調(diào)等底等高），看看這些水大概占圓柱容器的幾分之幾，倒幾次能倒?jié)M。再把圓柱容器里的水倒回與之等底等高的圓錐容器里，看看倒幾次能倒完，最后得出結(jié)論。這樣一來，學(xué)生親手做過，直觀感受，就能更好地理解圓柱和圓錐的關(guān)系，計算圓錐體積時也不會忘了乘三分之一。

一次簡單的操作，一次由淺人深的直觀演示和講解，把抽象的知識慢慢內(nèi)化成語言，最后歸納總結(jié)形成公式，學(xué)生在動手操作中直觀感知圓柱和圓錐的體積關(guān)系，也對轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想有了體會。

2.新舊鏈接，直觀理解

新課程理念強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。就學(xué)生的學(xué)習(xí)過程而言，某些舊知識是新知識的基礎(chǔ)，新知識就是舊知識的延伸和發(fā)展。

在“圓的面積”一課中，教師先讓學(xué)生回顧平行四邊形的面積公式是怎么推導(dǎo)出來的，再讓學(xué)生猜想：圓可以轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的哪種平面圖形？接著讓學(xué)生進(jìn)行小組合作，通過剪、拼把圓轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的某種平面圖形，然后通過比較，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化成長方形研究起來較為方便，最后借助課件，一起完成圓的面積公式的推導(dǎo)。這樣的教學(xué)安排既充分尊重學(xué)生的起：點(diǎn)，又實(shí)現(xiàn)新舊知識的自然鏈接，充分利用了已有的知識搭橋鋪路，在獲取新知識的過程中發(fā)展直觀。3.數(shù)形結(jié)合，直觀洞察

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難人微。”這說明數(shù)與形的辯證關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的重要性。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。多年的畢業(yè)班教學(xué)經(jīng)歷讓筆者發(fā)現(xiàn)，總有一部分學(xué)生直到六年級仍然對乘法分配律不甚理解，導(dǎo)致計算出錯。有什么辦法可以幫助學(xué)生真正理解乘法分配律呢？

對于這個問題，人教版教數(shù)學(xué)材六年級上冊的“數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形”就是很好的學(xué)習(xí)資源，教材利用圖形幫助學(xué)生理解乘法分配律（如圖1）。從圖中可以看出：大長方形的面積等于（a+6）xc，大長方形還可以分成兩個部分，一個長是a、寬是c的長方形和一個長是6、寬是c的長方形，而大長方形的面積還等于ac+bc。直觀推理不愧是數(shù)學(xué)直觀的精髓，借助“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”，學(xué)生從直觀的圖形洞察到乘法分配律的內(nèi)涵，在做乘法分配律的題目時錯誤率明顯降低了。

二、憑空間想象，助問題直觀化

德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特曾這樣說起他的一位改行的學(xué)生：“他去當(dāng)詩人了，關(guān)于數(shù)學(xué)，他太缺乏想象力了?！弊阋哉f明想象力在數(shù)學(xué)中的地位可見一斑了。而在學(xué)生想象力的培養(yǎng)中，空間想象力的培養(yǎng)是重難點(diǎn)。什么是空間想象力？空間想象力是人們對客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象的思維能力。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力呢？

1.直觀演示，形成空間意識

對圓面積公式的推導(dǎo)，大多都是借助教具展示，把一個圓剪拼成一個近似的長方形，然后告訴學(xué)生，等分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形，結(jié)果有大膽的學(xué)生提出疑問：“明明是拼成了一個平行四邊形，為什么分的份數(shù)多，就會拼成長方形？”可見學(xué)生難以展開正確、合理的想象，更別提空間觀念的形成了。幸好后來有了多媒體教學(xué)手段，利用課件多層次地把圓依次等分成若干偶數(shù)等份，隨著等分份數(shù)的增加，近似長方形的長由曲線變成直線，平行四邊形也逐漸變成長方形，到此，學(xué)生此前存在的困惑也解開了。

直觀的演示為學(xué)生積累了豐富的感知經(jīng)驗(yàn)，為大膽合理的想象提供了基礎(chǔ)，為學(xué)生逐步形成空間意識助力。

2.聯(lián)系生活，增強(qiáng)空間體驗(yàn)

學(xué)生的空間觀念比較差，必須借助生活獲取的大量感性材料，增強(qiáng)空間體驗(yàn)。課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們：教師應(yīng)注重學(xué)生所學(xué)知識與日常生活的密切聯(lián)系，注重學(xué)生在觀察、操作等活動中，獲得的對簡單立體圖形和平面圖形的直觀經(jīng)驗(yàn)，從而建立初步的空間觀念。

在教學(xué)中，要將空間知識和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來，增強(qiáng)學(xué)生直觀體驗(yàn)，以便更好地解決生活中的各種實(shí)際問題。如“確定起跑線”一課，教師可以把學(xué)生帶到操場上，讓學(xué)生去實(shí)地考察，在“跑一圈”中更好地理解跑道全長，在“量一量”中更好地理解跑道的寬。

3.畫圖訓(xùn)練，完善空間想象

在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，在解決一些實(shí)際問題時，往往是要求畫圖的，對部分學(xué)生而言，畫圖不僅不是解決問題的有效途徑，反而是累贅和負(fù)擔(dān)。也有一些學(xué)生明白畫圖能幫助他們更直觀地理解題意，卻不知從何畫起，也無法從圖中提取出有用的信息。

解決行程問題時經(jīng)常要畫線段圖，線段圖能把復(fù)雜的問題直觀化，更容易突破難點(diǎn)。比如，兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時行駛48km，乙車每小時行駛54km，兩車在離中點(diǎn)36km處相遇，求A、B兩地的距離。這是一道較復(fù)雜的行程問題，學(xué)生光看文字，一下子理不清數(shù)量關(guān)系，于是就有了畫圖的動機(jī)，可大部分學(xué)生是把圖畫出來了（如圖2），卻還是找不出路程差。這時教師提示：“假設(shè)兩車是同向行駛的，可以怎樣調(diào)整線段圖？”然后利用課件把乙車輪走的路程移到甲車已走路程的下面，這下學(xué)生就能直觀看出乙車比甲車多走2個36km了（如圖3）。通過分析線段圖，將題目中的相關(guān)數(shù)量與直觀圖形對應(yīng)起來，才能找到正確的解題思路。列式解答后，教師再讓學(xué)生看圖解釋每一步算式的含義，再一次借助圖形解釋數(shù)量關(guān)系，理解列式依據(jù)。最后，引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思解決問題的過程，借助線段圖幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理解決問題的過程，感受畫線段圖的好處。

這樣的教學(xué)從解決實(shí)際問題的需要出發(fā)，緊緊圍繞畫圖和用圖展開，使學(xué)生在解題的過程中進(jìn)一步學(xué)習(xí)畫線段圖的方法，積累一些借助線段圖直觀分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，并完善空間想象能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)歷來以直觀認(rèn)識、理解為主，而直觀經(jīng)驗(yàn)不是教出來的，是學(xué)生悟出來的，這就需要經(jīng)驗(yàn)積累，需要教師在課堂教學(xué)中活用教材，創(chuàng)設(shè)情境;精心設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考。讓學(xué)生在豐富的數(shù)學(xué)活動中積累直觀想象經(jīng)驗(yàn)，悟出門道，憑借幾何直觀與空間想象的雙宿，讓直觀想象與核心素養(yǎng)雙飛。

（責(zé)編 黃露）