談圖形與幾何中一線三等角的典例*

福建省龍巖蓮東中學(xué)(364000) 林晨暉

在初中數(shù)學(xué)中,圖形與幾何是學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容,比如三角形全等就有著重要的地位.“一線三等角”的數(shù)學(xué)模型經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的考題中.所謂“一線三等角”是指在一條直線上出現(xiàn)了三個(gè)角相等.這種模型有類似的解題思路:只要有一條直線上出現(xiàn)了三個(gè)等角,往往也會(huì)存在一對(duì)全等(相似)三角形.因此,本文的重點(diǎn)是對(duì)這一模型進(jìn)行探討.加深學(xué)生對(duì)于題目條件的使用,提高問題解決的能力.在這個(gè)師生共同探討的過程中鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解題,并加強(qiáng)題后反思,培養(yǎng)他們解題的能力,讓學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)體系,拓展知識(shí)面.下面我們來看“一線三等角”的一些典例.

圖1

圖2

例1如圖1,AC=BC,∠5=∠4=∠ACB=90°,求證EF、BE、AF數(shù)量關(guān)系?

分析這是一線三等角的典例,直線MN上有三個(gè)直角,即∠4,∠5,∠ACB.DE、AD、BE是不在一條直線上的三個(gè)線段,因此要考慮線段的轉(zhuǎn)化.根據(jù)圖形看得出圖中有一對(duì)全等三角形,再?gòu)拇颂幭率?找出三角形全等的條件.

解:∵∠1+∠2=90°,∵∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3(同角的余角相等),∠4=∠5,∠2=∠3,AC=BC.

∴ΔFAC≌ΔECB(AAS),∴AF=CE,CF=BE,∴EF=CE+CF=AF+BE(證畢).

上述例題難度屬于中等.“一線三等角”模型變化萬千,如果我們將這題改一下,改變模型中“三等角”的度數(shù),那么這題的難度就加大了一些:

例2如圖2,AC=BC,∠5=∠4=∠ACB.求證EF、BE、AF數(shù)量關(guān)系?

分析例1 中的“三等角”度數(shù)都是90°,例2 中也有三個(gè)角相等,但是度數(shù)不再限定.此題仍是在CD直線上有三個(gè)等角,分別是∠4,∠5,∠ACB.根據(jù)模型,這里必有一對(duì)全等三角形.因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°,所以∠4+∠1+∠3=180°,又因?yàn)椤螰CE為平角,所以有:∠ACB+∠1+∠2=180°且∠4=∠ACB,所以得到了∠2=∠3,再由∠4=∠5、AC=AB,可以推斷出ΔBCE≌ΔCAF(AAS).所以問題中三個(gè)線段的長(zhǎng)度關(guān)系為:EF=CE+CF=AF+BE.同例1 的結(jié)論是一樣的.

這樣我們就將模型中“三等角”的度數(shù)從特殊推廣到了一般.接下來,我們對(duì)直線的位置進(jìn)行變化以下.上述兩題都是直線CD在∠ACB的外部.現(xiàn)在,我們將直線CD畫在∠ACB的內(nèi)部,構(gòu)造出“一線三等角”模型.

圖3

圖4

例3如圖3,CA=CB,且∠ACB=∠4=∠5=90°,求證EF、BE、AF數(shù)量關(guān)系?

分析剛才的直線CD在∠ACB外部,現(xiàn)在直線CD在∠ACB內(nèi)部.在直線CD上有三個(gè)直角,分別是∠4、∠5、∠ACB.根據(jù)模型,其中必有一對(duì)全等三角形.根據(jù)同角的余角相等,所以可以得到∠2=∠3,再由∠4=∠5=90°、AC=AB,可以推出ΔBCE≌ΔCAF.所以問題中三個(gè)線段的長(zhǎng)度關(guān)系為:EF=CF-CE=BE-AF.這樣例3的結(jié)論就與例1、例2 的結(jié)論不一樣了.

現(xiàn)在,我們保持直線CD在∠ACB內(nèi)部不變,把“三等角”的度數(shù)由90°推廣到一般度數(shù),實(shí)現(xiàn)由特殊到一般的思想,看看結(jié)論是否發(fā)生變化.

例4如圖4,CA=CB,∠4=∠5,∠4+∠ACB=180°,求EF、BE、AF數(shù)量關(guān)系?

分析在這例題里面,直線CD依然在∠ACB內(nèi)部,但是相等的三個(gè)角不再是90°,它們的度數(shù)不被限定.此題中,直線CD上相等的三個(gè)等角分別是∠4 的補(bǔ)角、∠5 的補(bǔ)角、∠ACB.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,所以∠4+∠1+∠3=180°,又因?yàn)轭}目已知:∠4+∠1+∠2=180°,所以有∠2=∠3,再由∠4=∠5、AC=AB,可以推斷出ΔBCE≌ΔCAF(AAS).所以問題中三個(gè)線段的長(zhǎng)度關(guān)系為:EF=CF-CE=BE-AF.我們發(fā)現(xiàn),改變了“三等角”的度數(shù),但是只要直線CD在∠ACB內(nèi)部,那么結(jié)論還是保持不變.

對(duì)“一線三等角”的基本模型探討后,我們?cè)诳纯此钠渌问?

圖5

例5如圖5,∠B=∠C=∠DEF,DE=DF,請(qǐng)找出一對(duì)全等三角形,并證明.

分析在這題中,直線BC上三個(gè) 相等的 角是:∠B、∠C、∠DEF.此處必有全等三角形.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,所以∠1+∠B+∠3=180°,又因?yàn)椤螧EC是平角,所以有∠1+∠DEF+∠2=180°,且因?yàn)椤螧=∠DEF,所以有∠2=∠3.再由∠B=∠C、DE=DF,可以推斷出ΔBED≌ΔCFE(AAS).在這題中,如果把DE=DF這個(gè)條件去掉,那么能得出的結(jié)論就是ΔBED∽ΔCFE.

因此,“一線三等角”的模型中隱含了三角形全等或者相似的條件.在考題中,有時(shí)候置換條件與結(jié)論,又是一種新題目.因此,我們?cè)诮虒W(xué)中要挖掘出這種類型題目可能會(huì)考的模式,參透此類型題,構(gòu)造出解題的模式.