深入概念本質(zhì) 深化學(xué)生理解

何葉飄

[摘要]一次磨課，就是一次“歷劫”，是一次學(xué)習(xí)、實踐和思考的過程，也是一次合作、反思與教學(xué)創(chuàng)新的過程，更是教師自身教學(xué)能力與專業(yè)素養(yǎng)提升的過程。在“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”的磨課中，逐步深入概念本質(zhì)，讓課堂從膚淺走向深刻，從自我走向?qū)嶋H，促進學(xué)生深入理解知識。

[關(guān)鍵詞]概念本質(zhì);深化理解;分?jǐn)?shù);認(rèn)識

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 26-0013-04

分?jǐn)?shù)的意義這一內(nèi)容并不好教，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點：一是知識點較多，諸如單位“l(fā)”、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)單位等;二是內(nèi)容較為抽象，教學(xué)時需要逐步剝離具體素材的依附，實現(xiàn)分?jǐn)?shù)從“面積模型”到“集合模型”的過渡，并在此過程中進行“數(shù)學(xué)化”提煉，形成純理論的表達;三是時間相隔較長，從“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”到“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”的學(xué)習(xí)，長達一年半之久。如何考量和取舍才能有效教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義，既能把握分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵實質(zhì)，又能遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律？我們數(shù)學(xué)組對“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”一課進行了專題研討。

【課前思考】

1.對多版本教材的對比和梳理

三個版本的教材盡管編排方式有所不同，但都是在“平均分”的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生進一步理解“部分與整體的關(guān)系”。北師大版教材沒有用固定的語言表述分?jǐn)?shù)的意義，而是讓學(xué)生不斷體會，自我感悟，內(nèi)化對分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識。

2.通過前測縝密分析學(xué)情

學(xué)生的思維是否能跟上分?jǐn)?shù)意義發(fā)展的步伐？就此問題，我們對學(xué)生（共45人）進行前測——用自己的方式表示出3/4這個分?jǐn)?shù)，得出結(jié)論：全班學(xué)生基本都能用自己的方式表示出3/4，可見他們對分?jǐn)?shù)意義的理解沒有太大困難。由于在日常生活中，學(xué)生也經(jīng)常會用“一堆”“一群”“一些”等詞語來描述許多物體的集合，因此，學(xué)生立足于已有的生活經(jīng)驗和認(rèn)知基礎(chǔ)，由把一個物體看成一個整體過渡到把多個物體，乃至多組物體看成一個整體，都是比較容易的。

找到知識的生長點，我們決定課始就直接從建構(gòu)單位“1”的意義人手，于是就有了第一次教學(xué)。

【第一次教學(xué)】

活動一：用不同的數(shù)表示兩個正方形

下面的正方形可以用什么數(shù)來表示？

生1：把2個正方形看成一堆就是1。

師：可以把半個正方形看作“1”嗎？用什么數(shù)來表示這些正方形呢？

生2：可以。4。

師：反應(yīng)真快！還可以用數(shù)字幾來表示這些正方形呢？

師：剛才大家把不同的部分看作“1”，用了2、1、4等整數(shù)來表示正方形。想一想，除了整數(shù)，可以用分?jǐn)?shù)嗎？能用什么分?jǐn)?shù)表示？

（學(xué)生說出了很多分子和分母相同的分?jǐn)?shù)）

師：還有其他分?jǐn)?shù)嗎？（很多學(xué)生說不出來）

生3：可以用2/3表示，它的整體是3個正方形。

師：像這樣，把幾個正方形看成一個整體，這樣的“1”叫作單位“1”。

活動二：用不同的分?jǐn)?shù)表示兩位同學(xué)

師：我們一起做個游戲。請兩位同學(xué)起立，大家用一個分?jǐn)?shù)來表示看到的這兩位同學(xué)，用哪個分?jǐn)?shù)？

生4：這兩位同學(xué)占全班的2/45。

生5：這兩位同學(xué)占整個小組的2/10。

師：同樣的兩個同學(xué)，能夠用不同的分?jǐn)?shù)來表示，原因是什么？

生6：因為單位“1”不一樣。

生7：單位“1”不確定。

師：單位“1”不同，這兩個同學(xué)占這個整體的幾分之幾就不一樣了。

活動三：通過練習(xí)，鞏固分?jǐn)?shù)的意義

習(xí)題：淘氣吃了一個蛋糕的1/4，笑笑吃了一盒蛋糕的1/4。誰吃的多一些？

活動四：拓展練習(xí)，深化分?jǐn)?shù)的意義

習(xí)題1：把12個蛋糕平均分給3個人，每人分得（ ），每人分得（ ）個。

習(xí)題2：把（ ）個蛋糕平均分給3個人，每人分得（ ），每人分得（ ）個。

【教后反思】

對于活動四中兩道習(xí)題的完成情況，全班45人中做對的只有8人，錯誤主要集中在“每人分得幾分之幾”這一填空。由此可見，學(xué)生對于分?jǐn)?shù)的意義還停留在初步感知的基礎(chǔ)階段，并沒有深入理解分?jǐn)?shù)的真正含義。通過分析，教學(xué)存在以下幾個問題：

1.教學(xué)起點太高，脫離學(xué)生實際

教師耳提面命、聲嘶力竭地讓學(xué)生亦步亦趨地去抽象單位“1”，卻有為數(shù)不少的學(xué)生茫然而不知所云。對于“同樣兩個正方形，為什么可以用任何數(shù)來表示呢？”學(xué)生是丈二和尚摸不著頭腦的，而這一環(huán)節(jié)教學(xué)用時為23分鐘?？梢娺@一教學(xué)設(shè)計未能很好地順應(yīng)學(xué)生的思維，阻礙了單位“1”的建構(gòu)。要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生，最關(guān)鍵之處就是要關(guān)注他們學(xué)習(xí)的真實起點，找準(zhǔn)學(xué)生“現(xiàn)在在哪里”。

回顧前測習(xí)題，全班45人均能用自己的方式表示分?jǐn)?shù)3/4的意義，其中用一個圖形表示的有10人，用4個圖形表示的有27人，但用多個圖形表示的只有7人，僅占了全班的16%。從這些數(shù)據(jù)中不難看出，雖然學(xué)生都用自己的方式表示分?jǐn)?shù)3/4的意義，但對于“分?jǐn)?shù)是相對于單位1而言的”的本質(zhì)，學(xué)生是不理解的，學(xué)生的思維仍然處于初步認(rèn)識的形象階段。

2.對單位“1”的認(rèn)識膚淺，影響了對分?jǐn)?shù)意義的理解

三年級的認(rèn)識分?jǐn)?shù)，是平均分一個物體，雖然分一些物體的平均分的方法一樣，但平均分的整體變了，1份的數(shù)量也就變了。對于小學(xué)生來說，是很難一下子理解這種辯證關(guān)系的，只有親自讓他們動手畫一畫、分一分，他們才能在動手操作中感悟分?jǐn)?shù)的意義。

【第二次教學(xué)】

活動一：基于學(xué)情，復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義

展示生，的作品（一個正方形）：

師：你是怎樣表示3/4這個分?jǐn)?shù)的？

生1：把一個正方形平均分成4份，取

了其中的3份，就是3/4。

展示學(xué)生作品（一個圓和一條線段）：

師：他們都用自己的方式表示出了3/4。你有什么發(fā)現(xiàn)？對，他們都把1個物體平均分成了4份，取其中的3份，就是3/4。

展示學(xué)生作品：

師：這位同學(xué)表示的3/4對嗎？（學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)可以把4個物體看成一個整體）

師：能用8個、12個蘋果……表示3/4嗎？請在作業(yè)紙上畫一畫，表示出3/4。

展示學(xué)生作品：

師：這個同學(xué)是這樣表示3/4的。你有什么想法？

生，：把8個蘋果平均分成4份，取其中的3份。

師：看出3/4了嗎？還可以看出幾分之幾呢？

生3：6/8。把8個蘋果平均分成8份，取6份就是6/8

師：同一幅圖，為什么一會兒表示3/4，一會兒又表示6/8呢？

生4：平均分的份數(shù)不一樣，意義就不一樣。

展示學(xué)生作品：

師：為什么這幾位同學(xué)的作品都可以表示3/4呢7

生，：雖然物體和數(shù)量都不一樣，但把一個正方形、8個蘋果、12個蘋果分別看成一個整體，平均分成4份，取其中的3份，就是這個整體的3/4。

師：同樣是3/4，為什么這里是6個，而那里是9個呢？

生6：因為整體的個數(shù)不一樣，所以3/4所對應(yīng)的具體數(shù)量也就不一樣了。

活動二：動手操作，建立部分與整體的關(guān)系

習(xí)題：一個圖形的1/4是兩格，請畫出這個圖形。

活動三和活動四（同第一次教學(xué)）

【教后反思】

調(diào)整了教學(xué)起點后，課堂總體呈現(xiàn)比較流暢，學(xué)生在教師的一步步引領(lǐng)下完成了學(xué)習(xí)任務(wù)。同樣分析活動四中兩道習(xí)題的完成情況，學(xué)生的正確率只有40%。看來是課堂上教師“包辦代替”的地方過多，沒有真正從學(xué)生的已有認(rèn)知展開教學(xué)。

“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”該再認(rèn)識什么？課堂中到底能給予學(xué)生多大的思辨空間？學(xué)生的接受學(xué)習(xí)和思辨學(xué)習(xí)在這樣的課中分別占多大比例比較合適？知識的落腳點應(yīng)該在哪里？……我們陷入了沉思：

1.關(guān)于教學(xué)的切入點

教學(xué)本課之前我們對學(xué)生的學(xué)習(xí)難點有一定的把握，課堂上也對這些難點進了針對性的突破，學(xué)生對分?jǐn)?shù)這一概念也已經(jīng)有初步的認(rèn)知，能否在課始就激發(fā)學(xué)生的已有認(rèn)知，幫助學(xué)生形象地建立部分與整體的關(guān)系呢？

2.關(guān)于意義的理解

關(guān)于意義的理解是本節(jié)課的重點，學(xué)生認(rèn)識上存在差異，教師在課堂中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考：同一幅圖，為什么既可以表示3/4，又可以表示6/8呢？學(xué)生通過觀察和思辨，完全可以自己歸納出分?jǐn)?shù)的意義。教師應(yīng)該放手讓學(xué)生嘗試在不斷思辨中總結(jié)歸納，提高學(xué)生的思辨能力。

3.關(guān)于“平均”的再認(rèn)識

關(guān)于部分和整體的意義模型，一般有四個渠道可以建立：范圍、長度、集合和面積。分?jǐn)?shù)具有“無量綱性”，即分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系時，不需要考慮物體的形狀和大小，只要看把這個整體平均分成了多少份，要表示這樣的幾份，這是分?jǐn)?shù)意義最本質(zhì)的地方。因此教師在課堂上應(yīng)直擊“平均”的意義。

4.關(guān)于“相對”的再認(rèn)識

分?jǐn)?shù)表示數(shù)量的多少具有相對性，因為分?jǐn)?shù)的意義（份數(shù)定義）是基于部分與整體的關(guān)系而建構(gòu)的。同一個分?jǐn)?shù)，因為整體對象的不確定，分?jǐn)?shù)對應(yīng)的數(shù)量也就不確定，這一點和整數(shù)表示數(shù)的多少有著很大的區(qū)別。學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)不久，這就更需要教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、體會、感受、總結(jié)、領(lǐng)悟，進而把分?jǐn)?shù)表示數(shù)的相對性認(rèn)識到位。

【第三次教學(xué)】

1.基于學(xué)情，復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義展示學(xué)生作品：

師：你是怎樣表示3/4這個分?jǐn)?shù)的？

生1：我把一個圓平均分成4份，表示這樣的3份，就是這個圓的3/4。

師（展示學(xué)生作品）：還有的同學(xué)是這樣表示3/4的，可以嗎？

生2：可以。他們都把1個圖形平均分成了4份，表示這樣的3份，就是這個圖形的3/4。

展示學(xué)生作品：

師：有同學(xué)是這樣表示3/4的，可以嗎？為什么？

生3：可以。他把4個蘋果平均分成了4份，表示3份，也是3/4。

師：剛才不都是把一個正方形、一個圓、一條線段平均分成了4份，表示這樣的3份嗎？現(xiàn)在是4個蘋果，怎么也可以呢？

生4：把4個蘋果也看成一個整體，平均分成4份，表示這樣的3份，就是4個蘋果的3/4。

師：這4個蘋果大小不一樣，可以平均分嗎？

生5：平均分是可以對面積大小進行平均分，也可以對數(shù)量進行平均分。

師：還能畫出和這個不一樣的三嗎？

展示學(xué)生作品：

師：他們都表示了3/4，你覺得誰的作品正確？

生6：（2）號作品正確，因為他把8個蘋果平均分成了4份。

生7：我選擇（1）號作品，因為表示得很清楚。

生8：可他沒有把8個三角形平均分成4份。

生9：可他把6個圈起來了，看得很清楚。

生10：把8個三角形看成一個整體，平均分成8份，取這樣的6份，就是6/8。

師：你們同意他的想法嗎？你怎么想？

生11：平均分的份數(shù)不一樣，意義也就不一樣。

展示學(xué)生作品：

師：為什么這幾位同學(xué)的作品都可以表示3/4呢？

師：雖然物體和數(shù)量都不一樣，但都可以把它們看成一個整體，平均分成了4份，表示這樣的3份，就是這個整體的3/4。

師：同樣都表示了3/4，為什么這里是6個，而那里是9個呢？

生12：整體的個數(shù)不一樣，3/4所對應(yīng)的具體數(shù)量也就不一樣了。

2.數(shù)形結(jié)合，建立整體量與部分量之間的關(guān)系

師：如果一個圖形的1/4是□□，請畫出這個圖形。

展示學(xué)生作品：

師：同學(xué)們畫的圖形都不一樣，為什么都正確？

師：1/4對應(yīng)的具體數(shù)量確定了，那么單位“1”這個整體的總數(shù)量也就可以確定了，但形狀可以多樣。

3.突破認(rèn)知，建立分率與具體量之間的關(guān)系

習(xí)題：淘氣吃了一個蛋糕的1/4，笑笑吃了一盒蛋糕的1/4，誰吃的多一些？

師：單位“1”的數(shù)量不確定，所以1/4對應(yīng)的數(shù)量也不確定。

【教后反思】

1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)的改變

學(xué)生在三年級下冊學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，到五年級上冊再次認(rèn)識分?jǐn)?shù)，間隔時間略長?；趯W(xué)生的前測結(jié)果，通過師生談話，可調(diào)取學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗，在課堂上喚醒學(xué)生的有意注意，激活學(xué)生頭腦中“分?jǐn)?shù)”的認(rèn)知圖式，快速直觀地建立部分與整體的關(guān)系。

2.探究知識、理解意義環(huán)節(jié)的改變

在探究知識、理解意義的環(huán)節(jié)中注重引導(dǎo)學(xué)生深入觀察、比較、思辨，并讓學(xué)生在不斷思辨中理解“平均分的份數(shù)不一樣，意義也就不一樣”這一知識重點，幫助學(xué)生深入理解概念本質(zhì)，深化理解意義。

3.“平均”認(rèn)識環(huán)節(jié)的改變

在觀察4個蘋果的3/4這一環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生得出“可以把4個蘋果看成一個整體，平均分成4份”時，教師馬上質(zhì)疑“這4個蘋果大小不一”，學(xué)生在思辨中從面積一樣過渡到抽象出來的數(shù)量一樣，自然順暢，水到渠成。

4.“相對”認(rèn)識環(huán)節(jié)的改變

通過獨立嘗試、交流互動、投影演示，讓學(xué)生根據(jù)對應(yīng)的分?jǐn)?shù)進行整體和部分之間的互推。用畫圖表征相對性，由“關(guān)系”會帶來“相對”的大小，這個意義上的分?jǐn)?shù)，能引導(dǎo)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識，透過現(xiàn)象把握數(shù)學(xué)知識背后的核心問題，進一步幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟知識的本質(zhì)內(nèi)涵。

【磨課感悟】

1.關(guān)于“平均”

分?jǐn)?shù)有多種不同的意義，而在教材中，學(xué)生最初學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時，一般以“部分與整體的關(guān)系”這樣的意義切人。在這個意義上，一般需要特別強調(diào)“平均分”這個事情。當(dāng)把多個物體看成一個整體，把這個整體平均分時，明明劃分的各個部分的面積不一樣，為什么會是“平均”？“平均”必須要的“一樣”在哪里？如何從“面積一樣”過渡到“抽象出來的數(shù)量的一樣”，應(yīng)該作為學(xué)生再次認(rèn)識“部分與整體關(guān)系”意義上的分?jǐn)?shù)的一個重要內(nèi)容。

2.關(guān)于“1份”

在“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”中，“再認(rèn)識”的重點應(yīng)該在于從把“1個東西”平均分過渡到把“1個整體”平均分，也就是單位“1”從1個到多個。但從另一個角度來看，其實更應(yīng)該是怎么認(rèn)識“1份”。學(xué)生往往既關(guān)注份數(shù)，又注意到了每份數(shù)的數(shù)量，具體的數(shù)量和份數(shù)對學(xué)生的認(rèn)識起到了干擾作用。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，讓學(xué)生在比較中辨析、在辨析中明理，幫助學(xué)生更深刻地理解“1份”的含義，加深對分?jǐn)?shù)意義的全面理解。

3.關(guān)于“相對”

除了再次認(rèn)識“平均”和“1份”外，有一個目標(biāo)也很重要，因為這是部分與整體的關(guān)系的意義，所以由“關(guān)系”會帶來“相對”的大小，也就是說，這個意義上的分?jǐn)?shù)，不能僅比較分?jǐn)?shù)的絕對數(shù)值大小，還要考慮其對應(yīng)的整體是多少。

一次磨課，就是一次“歷劫”，是一次學(xué)習(xí)、實踐和思考的過程，也是一次合作、反思與教學(xué)創(chuàng)新的過程，更是教師自身教學(xué)能力與專業(yè)素養(yǎng)提升的過程。一次次的“改課”，就是踐行“課改”思想、理念與方法的過程。讓我們變“劫”為“節(jié)”，在一次次“歷劫磨難”中拔節(jié)生長，蛻變成一個有教育智慧和情懷的教師。

（責(zé)編金鈴）