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    數(shù)學(xué)是一門“關(guān)系學(xué)”

    2020-08-11 07:33:52許衛(wèi)兵
    關(guān)鍵詞:思維發(fā)展關(guān)系數(shù)學(xué)

    編者按:用聯(lián)系的眼光、系統(tǒng)的思維,從整體建構(gòu)的視角來開展教育教學(xué)研究,并不是什么新課題。然而,長期以來,數(shù)學(xué)碎片化教學(xué)非常普遍且根深蒂固。要改變這一現(xiàn)狀,必須從數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、學(xué)科課程的整合、教學(xué)行為的改進(jìn)等方面聯(lián)合用力,打出“組合拳”。本期推出的許衛(wèi)兵名師團(tuán)隊(duì)成員三篇文章(全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點(diǎn)課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”(課題批準(zhǔn)號(hào):DHA190453)),從不同的視角,闡述對小學(xué)數(shù)學(xué)整體建枸教學(xué)的探索與思考,期待能引發(fā)讀者的共鳴,并共同參與到此專題的實(shí)踐研究中。

    [摘要]任何學(xué)科的教學(xué)都離不開對學(xué)科特點(diǎn)和本質(zhì)的理解與掌握。從“關(guān)系”的視角來解讀數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)與內(nèi)涵本質(zhì),整體建構(gòu)數(shù)學(xué)課程,建立一種樸素而又深刻的“關(guān)系”思維,可以幫助我們更好地深化教學(xué)改革,減負(fù)增效,并在一定程度上根治長期存在的散點(diǎn)式、碎片化、割裂式等教學(xué)頑疾。

    [關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);整體建構(gòu);關(guān)系;思維發(fā)展

    [中圖分類號(hào)]G623.5

    [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

    [文章編號(hào)] 1007-9068( 2020)26-0001-03

    一、什么是數(shù)學(xué)

    無論是教數(shù)學(xué)還是學(xué)數(shù)學(xué),首先要了解什么是數(shù)學(xué)。關(guān)于什么是數(shù)學(xué),人們很容易想到詞典上的解釋:“研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科?!逼鋵?shí),對數(shù)學(xué)的理解并非一成不變。

    2001年,我在閱讀《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》時(shí),被“前言”中的第一句話吸引:“數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論,并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。”為何對數(shù)學(xué)的描述一改往日的經(jīng)典定義呢?《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)解讀》一書中,是這樣說明的:

    雖然很多實(shí)際工作者希望《標(biāo)準(zhǔn)》有一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)的簡單而且強(qiáng)有力的定義,但顯然《標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)沒有采取簡單定義的方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)不僅是一門知識(shí),更是人類實(shí)踐活動(dòng)創(chuàng)造的產(chǎn)物,是由諸多元素構(gòu)成的多元結(jié)構(gòu);社會(huì)與文化不僅推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展,同時(shí)數(shù)學(xué)也是推動(dòng)社會(huì)與文化發(fā)展的關(guān)鍵性因素;對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)不僅要從數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的觀點(diǎn)中去領(lǐng)悟,更要從數(shù)學(xué)活動(dòng)的親身實(shí)踐中去體驗(yàn);數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力不僅要從歷史的角度度量,更要從數(shù)學(xué)與人和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系中去尋找。無論如何,僅僅用“研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”來刻畫數(shù)學(xué)或生硬地背誦這些語句已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠了。

    2011年,我翻閱《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)( 2011年版)》時(shí)發(fā)現(xiàn),前言中的第一句話為:“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?!庇嘘P(guān)數(shù)學(xué)的經(jīng)典定義為何在十年之后又回到課程標(biāo)準(zhǔn)中了呢?這兩種不同的表述有何區(qū)別?

    我嘗試采用語文中的縮寫句子來做一個(gè)簡單比較。“數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論,并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程”縮寫為“數(shù)學(xué)——是——過程”;“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”縮寫為“數(shù)學(xué)——是——科學(xué)”。數(shù)學(xué)確實(shí)是“過程”啊,是人們發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、發(fā)明的過程,是不斷傳承、不斷發(fā)展、不斷豐富、不斷完善的過程,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)過程與方法,也就是表達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)發(fā)展有著“過程”意義的一致性。不過,數(shù)學(xué)也確實(shí)是“科學(xué)”啊,是具有獨(dú)特語言和價(jià)值的自然科學(xué)體系。那這兩種表述到底誰對誰錯(cuò)?我認(rèn)為,都沒有錯(cuò),它們只是從不同的角度來描述數(shù)學(xué)。既然都沒錯(cuò),那為何又改來改去呢?《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》修訂核心組專家是這樣解釋的:

    數(shù)學(xué)本身是一個(gè)歷史的概念,數(shù)學(xué)的內(nèi)涵隨著時(shí)代的變化而變化。然而縱觀數(shù)學(xué)的全部歷史,人們可以達(dá)成這樣的共識(shí):盡管經(jīng)過由古到今的漫長發(fā)展,現(xiàn)代數(shù)學(xué)已是一個(gè)分支眾多的龐大的知識(shí)系統(tǒng),但整個(gè)數(shù)學(xué)始終是圍繞著“數(shù)”與“形”這兩個(gè)基本概念的抽象、提煉而發(fā)展的。數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域中千變?nèi)f化的應(yīng)用也是通過這兩個(gè)基本概念而進(jìn)行的。需要說明的是,這里所說的數(shù)量關(guān)系和空間形式,并不限于現(xiàn)實(shí)世界,而是包括一切可能的數(shù)量關(guān)系和空間形式:它們既可以來源于現(xiàn)實(shí)世界,也可以是數(shù)學(xué)自身邏輯的產(chǎn)物?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對什么是數(shù)學(xué)的這一陳述,反映了以往作為自然科學(xué)傳統(tǒng)學(xué)科之一的數(shù)學(xué)發(fā)展到我們這個(gè)時(shí)代所經(jīng)歷的深刻變化。

    我認(rèn)為,這樣的對比研究,可以幫助我們建立多維、立體、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀。

    二、數(shù)學(xué)是一門“關(guān)系學(xué)”

    上述關(guān)于數(shù)學(xué)的解釋,比較理論,也比較抽象。對小學(xué)生而言,要想據(jù)此來理解什么是數(shù)學(xué),難度很大,既不現(xiàn)實(shí),也不可行。

    張奠宙、孔凡哲等人撰寫的《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》中的一個(gè)題目吸引了我——數(shù)學(xué)是一門研究“關(guān)系”的學(xué)問,意思是說,數(shù)學(xué)中的任何知識(shí)、方法、思想,都不是孤立的,而是跟其他的知識(shí)、方法、思想等有著密切的聯(lián)系。也就是說,數(shù)學(xué)很奇妙,“關(guān)系”最重要!

    舉個(gè)簡單的例子。低年級(jí)要學(xué)習(xí)乘法,乘法是相同加數(shù)相加求和的簡便運(yùn)算,習(xí)慣上說成是“幾個(gè)幾在相加”。乘法有三個(gè)基本數(shù)量:每份數(shù)(相同的加數(shù))、份數(shù)(相同加數(shù)的個(gè)數(shù))、總數(shù)(得出的和)。二年級(jí)學(xué)習(xí)了乘法,后面的年級(jí)就有了好多的乘法應(yīng)用類型(或模型)。小學(xué)階段的乘法應(yīng)用模型主要有四種:第一種,“倍”的模型,基本數(shù)量是“一倍數(shù)”“幾倍數(shù)”“倍數(shù)”;第二種,長方形的面積計(jì)算模型,“長”表示一行擺了幾個(gè)面積單位,“寬”是一共可以擺幾行,面積就是“長×寬”(幾個(gè)幾);第三種,常見的數(shù)量關(guān)系模型,如單價(jià)、數(shù)量、總價(jià),速度、時(shí)間、路程,工作效率、工作時(shí)間、工作總量等;第四種,“搭配”模型,類似于幾件上衣、幾條褲子可以搭配出幾套不同的服裝。有了這樣一種結(jié)構(gòu)化、體系化的理解,不僅教師教得清晰,學(xué)生也學(xué)得輕松。

    關(guān)系的前提和基礎(chǔ)是“元素”,一個(gè)獨(dú)立的事物是沒有什么關(guān)系可言的,多個(gè)元素之間才能產(chǎn)生關(guān)系。比如,一年級(jí)開始學(xué)習(xí)人民幣,人民幣有三個(gè)單位“元、角、分”,這三個(gè)單位可以看成是三個(gè)“元素”。它們之間的關(guān)系是:1元=10角,1角=10分,1元=100分。

    這兩幅板書,都呈現(xiàn)了人民幣的單位及相互關(guān)系,具有一定的結(jié)構(gòu)感。但是,相比而言,右邊的板書結(jié)構(gòu)感更強(qiáng)。首先,它將表達(dá)等式關(guān)系的等號(hào)變成雙向箭頭,進(jìn)率寫在箭頭的中間,直觀地表達(dá)了等號(hào)蘊(yùn)含的雙向關(guān)系(比如,1元等于10角,10角等于1元);其次,它把三組相等關(guān)系同圖呈現(xiàn),更容易看出兩個(gè)“10”和“100”的內(nèi)在關(guān)聯(lián),即10個(gè)10就是100;最后,它怎么看都更像是一個(gè)整體,而左邊的板書給人的感覺依然是三道關(guān)系式。

    這就表明,關(guān)聯(lián)性、系統(tǒng)化的知識(shí)需要有結(jié)構(gòu)化的表達(dá)。在考慮結(jié)構(gòu)化表達(dá)時(shí),往往需要有三個(gè)追問:是不是所有的元素都出現(xiàn)了?元素與元素之間的關(guān)系是不是都明確了?元素與關(guān)系的組合是不是更像一個(gè)整體?

    三、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在培育“關(guān)系”思維

    如果說,把握關(guān)系建構(gòu)整體、借助整體明晰關(guān)系,是數(shù)學(xué)學(xué)科整體性和結(jié)構(gòu)性特征對數(shù)學(xué)教學(xué)提出的要求,那么,從學(xué)習(xí)的角度來講,讓學(xué)生學(xué)會(huì)理順關(guān)系,建立聯(lián)系,培育和發(fā)展“關(guān)系”思維就顯得尤為重要。因而,教師要充分發(fā)掘隱藏在知識(shí)背后的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)和思維含量,將數(shù)學(xué)思維發(fā)展和數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合起來。

    一年級(jí)上冊“1-5的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)生認(rèn)數(shù)的起始課。大多數(shù)教材都是提供一幅主題圖,圖上畫有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)數(shù)量不同的物品。不少教師教學(xué)時(shí)都是采用看圖說話的方式,讓學(xué)生先觀察情景圖,說一說圖中還有什么。當(dāng)學(xué)生隨機(jī)說出圖中有1只小狗、5個(gè)南瓜、3盆花、2只鵝……后,出示1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù),然后再進(jìn)行抽象,用小棒擺數(shù)、寫數(shù)等。這樣的教學(xué)過程,從本質(zhì)上來說是把1、2、3、4、5看成獨(dú)立的5個(gè)數(shù)。實(shí)際上,認(rèn)識(shí)1-5,不只是認(rèn)識(shí)1、2、3、4、5,更重要的是初步認(rèn)識(shí)自然數(shù)列,而自然數(shù)列一個(gè)鮮明的特征是每相鄰的兩個(gè)數(shù)相差1(等差數(shù)列),因此,“1-5的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)應(yīng)該放在數(shù)列中。我的設(shè)想是:開始呈現(xiàn)生活情景圖時(shí),每種物品只呈現(xiàn)1個(gè),如1只狗、1只鵝、1只鳥、1只雞、1盆花、1個(gè)南瓜等,讓學(xué)生觀察圖中都有什么,它們各是多少個(gè),最后得出它們都是1個(gè)。在此基礎(chǔ)上,又呈現(xiàn)“走來了1只鵝”,問學(xué)生:“現(xiàn)在鵝的數(shù)量還是1只嗎?”學(xué)生都知道不是1而是2了,由此得出“1加1就變成了2”?!澳敲?,你能讓其他物品也都變成2嗎?”于是,增加1只雞、1只狗、1只鳥、1盆花、1個(gè)南瓜,讓所有物品數(shù)量都變成2,強(qiáng)化“l(fā)加1就變成2”的感受。在此基礎(chǔ)上,再呈現(xiàn)“飛來1只小鳥”,問學(xué)生:“現(xiàn)在有幾只小鳥呢?”學(xué)生回答:“3?!表樦@樣的思路,“2加上l就變成3”“3加上1就變成4”“4加上1就變成5”的認(rèn)識(shí)就自然生成了?;仡櫩偨Y(jié)時(shí),教師只要適當(dāng)點(diǎn)撥“數(shù)學(xué)很奇妙,關(guān)系最重要”,學(xué)生“關(guān)系”思維就能在不知不覺中開始生長。

    思維發(fā)展需要經(jīng)歷孕育、點(diǎn)撥、提示、引導(dǎo)、感悟、內(nèi)省、轉(zhuǎn)化、應(yīng)用等過程,不可能一蹴而就,要盡早滲透,從小抓起,持續(xù)發(fā)力,長期培養(yǎng)。在課堂教學(xué)中,教師可多用箭頭來表達(dá)關(guān)聯(lián),多用文字來說明關(guān)系,讓課堂板書盡可能呈現(xiàn)一種結(jié)構(gòu)化的形態(tài),就是努力給學(xué)生以直觀感受和啟蒙。嚴(yán)格說來,每一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容,都會(huì)跟其他內(nèi)容存在著千絲萬縷的聯(lián)系,或是知識(shí)層面,或是方法層面,或是思想層面,只要充分挖掘,用心構(gòu)架,就能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與邏輯,展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。

    對學(xué)生而言,在關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也便于記憶、理解、掌握和應(yīng)用。例如,小學(xué)階段學(xué)習(xí)長度單位,先學(xué)“厘米”,再學(xué)“米”,有了兩個(gè)單位以后,就要揭示它們之間的關(guān)聯(lián)——進(jìn)率100;接下來學(xué)習(xí)“毫米”和“分米”,就需要把這兩個(gè)新的長度單位和已學(xué)的兩個(gè)長度單位做一次整合,按照一定的順序排列后,就發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率是10,十進(jìn)制的關(guān)系就開始顯現(xiàn)出來了。在此基礎(chǔ)之上,對于第5個(gè)長度單位“千米”,最簡單直白的教法,就是直接出示“千米”,然后說清楚l千米有多長,及“千米”和“米”之間的進(jìn)率是1000。但是,這樣教,學(xué)生對長度單位間的關(guān)系感受比較膚淺,印象也不深刻。教學(xué)時(shí),如果讓學(xué)生結(jié)合已有的四個(gè)長度單位的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖示,圍繞問題“如果人們發(fā)明了第5個(gè)單位,你覺得它可能在什么位置?它跟已有的長度單位之間會(huì)有什么關(guān)系?”去展開研究,學(xué)生的主要研究方向可能是2個(gè),一個(gè)是比“毫米”還要小,一個(gè)是比“米”還要大,那如果比“毫米”還要小,會(huì)是誰?它跟“毫米”之間又有什么關(guān)系?比“米”還大又可能是誰?它跟“米”之間又有什么關(guān)系?在已有的長度單位之間十進(jìn)制的啟發(fā)下,很容易構(gòu)建出了一個(gè)更加寬廣的長度單位體系(……微米、忽米、絲米、毫米、厘米、分米、米、十米、百米、千米……)。經(jīng)過這樣的學(xué)習(xí),學(xué)生就會(huì)感慨:“數(shù)學(xué)真美啊!”“人們在發(fā)明數(shù)學(xué)的時(shí)候,都是按照一定的規(guī)律來進(jìn)行的,”當(dāng)然,這里把“十米”“百米”引入課堂,并不是要求學(xué)生去掌握“十米”和“百米”,畢竟這并不是教材內(nèi)容,而是借助它們來更好地感受長度單位體系,更好地理解“為什么千米和米之間的進(jìn)率是1000”。

    進(jìn)一步思考,這個(gè)長度單位的序列表還有助于學(xué)生學(xué)好面積單位。小學(xué)里一共學(xué)習(xí)五個(gè)面積單位——平方厘米、平方分米、平方米、公頃(平方百米)、平方千米,每個(gè)面積單位都對應(yīng)著相應(yīng)的長度單位——厘米、分米、米、百米、千米。為什么“平方米”和“公頃”之間的進(jìn)率是10000,而其他相鄰的面積單位之間的進(jìn)率都是1007原因就在它們之間還有一個(gè)面積單位“平方十米”,即“公畝”?,F(xiàn)在的教材里已經(jīng)沒有“公畝”了,如果把“公畝”放進(jìn)來,相鄰的兩個(gè)面積單位之間進(jìn)率是100的關(guān)系就變得很完美,也能很好地解釋“平方米”和“公頃”之間的進(jìn)率為什么是10000(100個(gè)100)。

    因而,是簡單地去教知識(shí),還是基于知識(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間那種嚴(yán)密的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系,充分依據(jù)結(jié)構(gòu)、生成結(jié)構(gòu)、拓展結(jié)構(gòu)、發(fā)展結(jié)構(gòu)思維,培育數(shù)學(xué)素養(yǎng),是教師必須直面的重要話題。

    總的說來,數(shù)學(xué)是一門“關(guān)系學(xué)”的表述,雖不是關(guān)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)密的科學(xué)定義,但它為我們更好地理解數(shù)學(xué)、教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)提供了一個(gè)視角,透過這樣的視角,數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)別有洞天。

    【本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點(diǎn)課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”的階段研究成果,課題批準(zhǔn)號(hào):DHA190453?!?/p>

    [參考文獻(xiàn)]

    [1]劉兼,孫曉天.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)解讀[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2002.

    [2]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

    (責(zé)編金鈴)

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