夯實(shí)基礎(chǔ) 提升能力

方鑫

“相交線與平行線”是平面幾何的重要內(nèi)容.這一章里的鄰補(bǔ)角、對頂角、垂直、平行線的性質(zhì)與判定、命題的真假以及平移不僅是后續(xù)深入學(xué)習(xí)三角形、四邊形等幾何知識的基礎(chǔ)，同時(shí)也為同學(xué)們積累空間與圖形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高推理能力提供保障.

一辨析易混概念，抓住本質(zhì)特征

例1 下列各圖中，∠1和∠2是對頂角的是（）.

解析：兩直線相交形成的四個(gè)角中，不相鄰的兩個(gè)角為對頂角，故選B.

點(diǎn)評：本題考查了對頂角的定義，熟記概念并準(zhǔn)確識圖是關(guān)鍵.對于對頂角，它們的頂點(diǎn)是公共的，角的兩邊互為反向延長線.

例2 （2019年衢州）如圖1，直線a，b被直線c所截，那么∠1的同位角是（）.

A.∠2

B.∠3

C.∠4

D.∠5

解析：兩條直線a，b被第三條直線c所截，形成了“三線八角”，在兩條被截線a，b同旁，在截線c同側(cè)的兩個(gè)角是同位角.故選C.

點(diǎn)評：在兩條被截直線a，b之間，在截線c兩側(cè)的一對角稱為內(nèi)錯(cuò)角;在兩條被截直線a.b之間，在截線c同側(cè)的兩個(gè)角稱為同旁內(nèi)角，

二、掌握幾何說理，發(fā)展推理能力

例3 （2019年重慶）如圖2，直線AB∥CD.BC平分∠ABD，∠1：54°.求∠2的度數(shù).

解析：∵AB//CD，

∴ ∠ABC=∠1=54°.

∴ BC平分∠ABD，

∴ ∠ABD=2 ∠ABC=2x54°=108°.

∵ AB//CD，

∴ ∠ CDB+ ∠ABD=180°.

∴ ∠CDB=180°-∠A BD=180°-108°=72°.

∴ ∠2與∠CDB是對頂角，

∴ ∠2=∠ CDB=72°.

點(diǎn)評：平行線的性質(zhì)很好地把線與線的位置關(guān)系和角與角的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系了起來.已知兩直線平行時(shí)，要利用平行線的性質(zhì)找角之間的關(guān)系，

例4 如圖3，∠1=∠ACB，∠2= ∠3，F(xiàn)H ⊥AB于點(diǎn)H，問：CD與AB有什么位置關(guān)系？并說明理由，

解析：CD ⊥AB，

理由：∵ ∠1=∠ACB，

∴DE∥BC.

∴∠2=∠BCD.

∵∠2=∠3，

∴ ∠BCD=∠3.

∴HF//CD.

∴ ∠BHF=∠BDC.

∵ FH⊥AB，

∴ ∠BHF=90°.

∴ ∠ BDC=∠ BHF=90°.

∴ CD⊥AB.

點(diǎn)評：判定兩條直線平行有以下方法：①平行線的定義;②如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行：③同位角相等，兩直線平行;④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;⑤同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.本題綜合考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟記平行線的性質(zhì)與判定并準(zhǔn)確識圖，弄清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，

三、巧添輔助線，平行一線牽

例5 （1）如圖4，若AB//CD，則∠B+∠D=∠E，你能說明理由嗎？

（2）若將點(diǎn)E移至圖5的位置，此時(shí)∠B，∠D，∠E之間有什么數(shù)量關(guān)系？

（3）若將點(diǎn)E移至圖6的位置，此時(shí)∠B，∠D，∠E之間的數(shù)量關(guān)系又如何？

（4）在圖7中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+ ∠F+ ∠D之間有何關(guān)系？

解析：（1）過點(diǎn)E作EF//AB，如圖8.

∵ EF//AB，

∴ ∠ B= ∠BEF.

∵ EF//AB，AB//CD，

∴ EF//CD.

∴

∠D= ∠DEF.

∵ ∠BED=∠BEF+∠DEF，

∴ ∠BED=∠B+ ∠D.

（2）∠B+∠D+∠BED=360°.如圖9，過點(diǎn)E作EF//AB.運(yùn)用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可得結(jié)論.

（3） ∠B= ∠D+ ∠E.如圖10，過點(diǎn)E作EF//AB.運(yùn)用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得結(jié)論.

（4）∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.如圖11，過點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別作AB的平行線EM，F(xiàn)N，GH.運(yùn)用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可得結(jié)論.

點(diǎn)評：在求角度或證明角與角的數(shù)量關(guān)系時(shí)，平行線往往能夠起到關(guān)鍵性的作用，而作平行線也是一種常見添加幾何輔助線的方法.作平行線常見的方法是過拐點(diǎn)作已知直線的平行線.一般而言，有幾個(gè)拐點(diǎn)，就需要作幾條平行線.

例6 如圖12.兩只螞蟻以相同的速度沿甲、乙兩條不同的路線，同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)爬向終點(diǎn)B，則（）.

A.按甲路線爬的螞蟻先到達(dá)終點(diǎn)

B.按乙路線爬的螞蟻先到達(dá)終點(diǎn)

C.兩只螞蟻同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)

D.無法確定誰先到達(dá)終點(diǎn)

解析：兩只螞蟻的速度相同，要比較時(shí)間，可以轉(zhuǎn)化成比較它們爬的路程，把甲路線的水平線段都向下平移，可以發(fā)現(xiàn)剛好和乙路線的水平線段等長.同樣，把甲路線的豎直線段都向左平移，可以發(fā)現(xiàn)恰好和乙路線的豎直線段等長.這就說明兩只螞蟻爬的總路程是一樣的，又因?yàn)樗俣认嗟?，所以同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).故選C.

點(diǎn)評：本題考查了生活中的平移現(xiàn)象.結(jié)合圖形，利用平移找出兩只螞蟻所爬路程之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

例 7如圖13，△DEF是由Rt△ABC沿著直線BC向右平移得到的，如果AB=8 cm.BE=4 cm，DH=3 cm，那么圖中陰影部分的面積為

.

解析：由平移的性質(zhì)可得DE=A B=8 cm，而DH=3 cm，所以HE=5 cm.因?yàn)槠揭撇桓淖儓D形的大小和形狀，所以S△DEf=S△ABC，等號兩邊同時(shí)減去重疊部分△HEC的面積，即：

S陰影部分=S梯形ABFH=1/2（HE+AB）·BE=1/2×（5+8）×4=26（cm2）.

點(diǎn)評：本題考查了平移的性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置;②平移前后，對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，連接對應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或在同一直線上）且相等.此外，當(dāng)陰影部分面積不方便直接求時(shí)，應(yīng)想辦法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意結(jié)合平移的性質(zhì).

練一練

1.如圖14所示，三條直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則∠AOE+∠DOB+∠COF=（）.

A.150°

B.180°

C.210°

D.120°

2.如圖15.如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的大小為（）.

A.60°

B.100°

C.120°

D.130°

3.如圖16，直線l1∥l2，若∠1=30°，則

A.150°

B.180°

C.210°

D.240°

4.如圖17，將△ABC沿直線AB向右平移后到達(dá)△BDE的位置，連接CD，CE.若△ACD的面積為10，則△BCE的面積為（）.

A.5

B.6

C.10

D.4

5.如圖18，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，你能判斷∠C與∠AED的大小關(guān)系嗎？并說明理由.

參考答案：

1.B

2.C

3.C

4.A

5. ∠ C= ∠AED.理由 ：

∵ ∠1+∠2=180°， ∠1+∠EFD=180°，

∴ ∠2= ∠EFD.

∴ BD//FE.

∴ ∠3= ∠ADE.

∴ ∠B=∠ADE.

∴ DE//BC.

∴

∠AED= ∠C.