平面向量的綜合應(yīng)用

顧文佳

[摘要]平面向量是歷年高考的必考內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)高考交匯性命題的載體.研究平面向量的應(yīng)用，應(yīng)該把眼光投向整個高中數(shù)學(xué)的各個核心知識點上，只有這樣才能從整體上把握住平面向量的高考方向.

[關(guān)鍵詞]平面向量;綜合應(yīng)用;高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號]

G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）23-0029-02

平面向量是歷年高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，但考查重點放在平面向量的綜合應(yīng)用上，體現(xiàn)出平面向量的“工具性”與其他數(shù)學(xué)知識的“交匯性”，因此，從某個角度看，研究平面向量的命題規(guī)律，其實質(zhì)是研究平面向量的綜合應(yīng)用，那么，平面向量的綜合應(yīng)用一般會出現(xiàn)哪些問題呢？

一、平面向量與平面幾何的綜合

無論是平面向量的概念還是平面向量的運(yùn)算都具有幾何特征，因此，平面向量與平面幾何的綜合最為常見，也最為自然，這類問題不僅可考查對向量的幾何意義理解，還可以考查學(xué)生對平面向量作為解題工具的應(yīng)用，總之，這類問題既考查知識又考查能力，

點評：本題（1）給出向量等式，主要考查平面向量的加法、減法法則和模的幾何意義，命題重點落在向量及其運(yùn)算上.而本題（2）考查向量的應(yīng)用意識以及向量數(shù)積在平面幾何圖形中的運(yùn)用，考查坐標(biāo)化思想方法的運(yùn)用，命題重點放在平面向量的靈活應(yīng)用上.

二、平面向量與三角函數(shù)的綜合

平面向量與三角函數(shù)內(nèi)容同時出現(xiàn)在教材必修4中，兩角和的余弦公式就是利用平面向量知識加以推導(dǎo)的，這足以看出平面向量與三角函數(shù)有著不尋常的關(guān)系，體現(xiàn)在高考命題中，往往以解答題的形式出現(xiàn)，同時考查平面向量的運(yùn)算、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換和解三角形，綜合性極強(qiáng)，

點評：本題以平面向量的數(shù)量積運(yùn)算為背景，考查三角形中的綜合問題，考查向量垂直的條件、正弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等，三角函數(shù)、平面向量、解三角形的知識聯(lián)系緊密，這類問題的平面向量只是一種“包裝”，歸根到底考查的是三角問題，

三、平面向量與解析幾何的綜合

因為平面向量具有坐標(biāo)形式的特征，與解析幾何“一拍即合”，解析幾何問題中的有些條件，往往用向量語言來描述，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，與此同時，解析幾何中的某些問題也可轉(zhuǎn)化為向量問題來解決，

點評：本題題干中雖然沒有出現(xiàn)任何向量的標(biāo)記，但解題過程卻用到了向量夾角的計算公式，簡捷有效，體現(xiàn)了向量法在解析幾何運(yùn)算中獨特的魅力，從本例可以看出，向量法可以起到減少解析幾何運(yùn)算量的作用，因此，對于解析幾何問題，向量的應(yīng)用意識不容忽視，

四、平面向量與其他知識的綜合

平面向量可謂數(shù)學(xué)命題的“萬能膠”，它幾乎可以與任何數(shù)學(xué)知識交匯，如函數(shù)、數(shù)列、概率等，這類試題往往出現(xiàn)在選擇題或填空題中，背景新穎、綜合性強(qiáng)，成為數(shù)學(xué)命題的一道亮麗風(fēng)景，

點評：本題綜合考查了由向量求夾角、數(shù)列的求和、不等式等知識，解答關(guān)鍵是求出tanθn的表達(dá)式，并熟練應(yīng)用數(shù)列求和的技巧，本題是一類綜合性極強(qiáng)的綜合題，是一道能綜合考查考生綜合素養(yǎng)的好題，

由此可見，平面向量是數(shù)學(xué)高考交匯性命題的載體，我們研究平面向量的應(yīng)用，應(yīng)該把眼光投向整個高中數(shù)學(xué)的各個核心知識點上，這樣才能從整體上把握住平面向量的高考方向.

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（責(zé)任編輯 黃桂堅）