用替換法證明數(shù)列不等式

陳康 劉曉靜

[摘要]近年來的高考數(shù)學壓軸題多數(shù)與不等式有關.其中的數(shù)列不等式的證明是一個難點，考試得分率低，多數(shù)考生望而生畏，突破這個難點的有效辦法是通過構造數(shù)列的求和，用替換方法證明數(shù)列不等式，此證明方法可操作性強，學生易掌握.

[關鍵詞]替換法;不等式;壓軸題;數(shù)列

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）23-0001-02

近五年來的高考數(shù)學壓軸題中，就有18道題目考查了不等式或不等式的證明，因此，研究不等式的證明就成了高三數(shù)學教師及高考試題研究者必須研究的問題，

這些不等式證明題，可分為三種類型：

第一種類型是證明與x有關的不等式，如2018年全國卷Ⅲ（文科）的第21題，2018年全國卷Ⅱ（理科）的第21題，2016年全國卷Ⅲ（文科）的第21題，2016年全國卷Ⅱ（理科）的第21題，

第二種類型是證明關于x1和x2的不等式，其中x1和x2是已知函數(shù)的極值點或零點，如2018年全國卷I（理科）的第21題，2017年全國卷Ⅱ（理科）的第2l題.2016年全國I（理科）的第21題，2015年全國卷Ⅱ（理科）的第21題，

第三種類型是證明關于n的不等式，其中n是正整數(shù)，如2017年全國卷Ⅲ（理科）的第21題，2014年高考陜西卷（理科）的第2l題，2013年全國大綱卷的第21題，

這些數(shù)列不等式不但綜合了數(shù)列和不等式的相關知識，而且與函數(shù)的性質、導數(shù)等內容相結合，題目綜合性強且難度大，

對于第一、第二種類型問題，比較常見，并且基本上都是用構造函數(shù)方法來證明，我們主要來分析第三種類型題目的解題方法.

[例1]（2017年高考全國卷Ⅲ理數(shù)21題變式）

點評：本題不同于例1，要從第（2）問得到的基本不等式中，猜測用n的代數(shù)式替換x是很難辦到的，需要用分析法，且要擬合為數(shù)列求和，再比較其通項，結合由（2）所得的基本不等式，用n的代數(shù)式1/n替換不等式中的x即可，

點評：本例的分析過程比較順暢，學生易理解，但若用第（2）小題的結論或用第（3）小題中第①問的結論，通過猜測用n的代數(shù)式替換x的辦法是比較困難的，而用替換不等式、通過構建兩數(shù)列的求和式子的方法，則難點就很容易突破，

如何用n的代數(shù)式替換不等式中的x？若不通過擬合為數(shù)列求和問題，則問題很難解決，而利用替換方法，結合數(shù)列求和方法來處理，那解出來只是時間問題而已了，筆者研究了近十年來全國卷中的有關數(shù)列不等式問題，大多數(shù)的題目用上述方法都能解決.

（責任編輯 黃桂堅）