注重幾何直觀(guān) 突出幾何變換體現(xiàn)幾何模型

黃江泉

[摘要]幾何試題注重幾何直觀(guān)，突出幾何變換，體現(xiàn)幾何模型.研究中考數(shù)學(xué)幾何試題對(duì)初中幾何教學(xué)有很好的啟發(fā)，特別是對(duì)學(xué)生幾何解題能力的培養(yǎng)有很好的導(dǎo)向作用.

[關(guān)鍵詞]中考試題;幾何直觀(guān);幾何變換;幾何模型

[中圖分類(lèi)號(hào)]

G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（ 2020）23-0005-02

2019年廣西貴港市的中考數(shù)學(xué)試卷中，共有兩道幾何綜合試題，分別是第24題和第26題，兩道題均具有較強(qiáng)的欣賞與研究?jī)r(jià)值，對(duì)幾何教學(xué)有著較好的教學(xué)啟示，

第24題：如圖1，在矩形ABCD中，以BC邊為直徑作半圓O，OE⊥OA交CD邊于點(diǎn)E，對(duì)角線(xiàn)AC與半圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連接AE.

（l）求證：AE是半圓O的切線(xiàn);

（2）若PA=2，PC=4，求AE的長(zhǎng)，

欣賞與分析：本題是圓的綜合題，從知識(shí)的層面看，直接考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等幾何基本知識(shí);從思想方法的層面看，考查了截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法;從幾何變換的層面看，考查了翻折（軸對(duì)稱(chēng)）變換;從幾何模型的層面看，考查了等腰三角形模型、角平分線(xiàn)型全等三角形模型、一線(xiàn)三等角型相似模型、雙垂直型相似三角形等幾何模型，因此本題是一道知識(shí)非常豐富、方法非常靈活的幾何綜合題，

對(duì)問(wèn)題（1），從構(gòu)造不同的幾何模型出發(fā)，可得到不同的解法.

第一步是作輔助線(xiàn)——過(guò)O作OF⊥AE于F.

OE⊥OA，O是BC中點(diǎn)，利用“等腰三角形模型（三線(xiàn)合一）”——延長(zhǎng)AO、DC相交于M或延長(zhǎng)EO、AB相交于N，問(wèn)題也不難解決，

對(duì)于問(wèn)題（2），已知和所求之間的關(guān)系比較隱蔽，不好人手，不妨從已知出發(fā)，考慮到BC是直徑，P是圓周上的點(diǎn)，故聯(lián)結(jié)BP，有△ABP ∽△ACB，由此可求出AB，進(jìn)而求出BC、BO，再利用△ABO∽△AOE，問(wèn)題即可解決.可見(jiàn)，問(wèn)題的關(guān)鍵依然是挖掘隱含的相似三角形△ABP∽△ACB.

第26題：已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△A'B'C，記旋轉(zhuǎn)角為a，當(dāng)90°

（2）如圖3，在（1）的條件下，設(shè)P是直線(xiàn)A'D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，若AB=√2，求線(xiàn)段PA+PF的最小值.（結(jié)果保留根號(hào)）

欣賞與分析：本題是直線(xiàn)型綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí);從思想方法層面看，考查了截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法;從幾何變換的層面看，考查了旋轉(zhuǎn)變換、翻折（軸對(duì)稱(chēng)）變換以及平移變換;從幾何模型的層面看，考查了等邊三角形模型、等腰三角形（角平分線(xiàn)+平行線(xiàn)）模型、旋轉(zhuǎn)型全等三角形模型等幾何模型.因而是一道綜合性強(qiáng)、難度大、方法靈活的幾何壓軸題，解題的關(guān)鍵是從基本的幾何模型出發(fā)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，具體分析如下：

（1）②的思路一：在EF上截取EG=EC，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CEA'即可.

（1）②的思路二：過(guò)C作CG//A 'D交EF于G，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CEA'即可.

（1）②的思路三：延長(zhǎng)ED到G，使DC=DE，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGA'≌△CEF即可.

（2）的思路一：聯(lián)結(jié)A'F，由△CGF≌△CEA'可知CA'=CF，從而可證△A'CF為等邊三角形，進(jìn)而可證AtE同時(shí)平分∠FEB'和∠FA' B '，從而△A'EF≌△A'EB'，于是得B'與F關(guān)于A(yíng)'D對(duì)稱(chēng)，只要求出AB'即可.

（2）的思路二：過(guò)A'作A'M⊥B'E，得△A'ME和△A'M B'分別為含有45°角和30°角的特殊直角三角形，通過(guò)計(jì)算證明B'E=EF，進(jìn)而可得到B'與F關(guān)于A(yíng)'D對(duì)稱(chēng)，只要求出AB'即可，

通過(guò)對(duì)上述兩道綜合題的欣賞與分析，不難發(fā)現(xiàn)，中考不僅十分注重考查幾何基本知識(shí)和基本技能，還十分注重考查幾何證明的基本方法和基本變換，包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng).對(duì)我們的幾何教學(xué)有著很好的啟示.

1.幾何直觀(guān)既是描述和分析問(wèn)題的工具，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容，切實(shí)加強(qiáng)幾何直觀(guān)的教學(xué)，對(duì)增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)水平有著十分重要的意義.

2.加強(qiáng)幾何基本圖形和基本結(jié)論的教學(xué)是幾何教學(xué)的基礎(chǔ)和重點(diǎn)，是培養(yǎng)學(xué)生幾何解題能力的基礎(chǔ)和前提.

3.幾何變換是研究圖形關(guān)系的基本手段，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，初中數(shù)學(xué)涉及的幾何變換分為全等變換和位似變換，全等變換包括平移變換、旋轉(zhuǎn)變換和翻折變換，由于幾何變換能提供圖形關(guān)系的依據(jù)和方法，為認(rèn)識(shí)圖形和構(gòu)造圖形提供思想指導(dǎo)和方法幫助，因而利用幾何變換探究圖形變化中數(shù)量與位置的不變性與變化規(guī)律，構(gòu)造全等三角形、相似三角形及特殊三角形來(lái)解決問(wèn)題，是解決幾何綜合題的基本策略和方法.

4.幾何模型是平面幾何中帶有明顯特征的典型圖形，如平行線(xiàn)中的“M角模型”、角平分線(xiàn)中的對(duì)稱(chēng)全等模型及等腰三角形模型、三角形中的中點(diǎn)模型、全等模型、相似模型等，這些模型是我們解決綜合問(wèn)題中快速找到突破口、完成幾何構(gòu)圖的重要依據(jù)，因此，切實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培養(yǎng)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型的總結(jié)和訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀(guān)、邏輯思維和推理能力的重要方法和途徑.

5.數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想、和差法、割補(bǔ)法等數(shù)學(xué)思想方法是解決綜合題的基本方法與策略，因此，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是提高學(xué)生解題能力的重要方法和手段.

6.一題多解、一題多變、多題一解的訓(xùn)練，是以不變應(yīng)萬(wàn)變、提高學(xué)生的應(yīng)變能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的關(guān)鍵一招，因此，在解題教學(xué)中要切實(shí)加強(qiáng)，注重暴露思維過(guò)程，總結(jié)解題規(guī)律，

總之，初中數(shù)學(xué)中的幾何直觀(guān)、幾何變換與幾何模型是平面幾何的核心方法與知識(shí)，是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀(guān)念、推理能力、模型思想、創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本途徑。在大力提倡核心素養(yǎng)的今天，我們要加大對(duì)中考數(shù)學(xué)試題的研究，更好地理解中考數(shù)學(xué)試題對(duì)落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的導(dǎo)向作用，明確初中數(shù)學(xué)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)的內(nèi)容和要求，真正把學(xué)生的核心素養(yǎng)落到實(shí)處，特別是要通過(guò)初三的總復(fù)習(xí)教學(xué)，在幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握初中數(shù)學(xué)知識(shí)、形成完善的知識(shí)體系、熟練掌握數(shù)學(xué)基本方法和基本題型的同時(shí)，要切實(shí)將學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成落實(shí)到總復(fù)習(xí)教學(xué)和訓(xùn)練之中，讓總復(fù)習(xí)教學(xué)成為學(xué)生核心素養(yǎng)形成的重要時(shí)期和關(guān)鍵環(huán)節(jié).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）