中考相似三角形綜合題探析

王建林

[摘要]相似三角形是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，也是中考命題的重點(diǎn).探討這類(lèi)試題，可以使學(xué)生突破難點(diǎn)，在考試中能從容面對(duì).

[關(guān)鍵詞]中考;相似三角形;綜合題;探析

[中圖分類(lèi)號(hào)]

G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（ 2020） 23-0011-02

中考綜合題包括三角形綜合題、四邊形綜合題、圖形變換綜合題、相似三角形綜合題與二次函數(shù)綜合題等幾種類(lèi)型.其中相似三角形綜合題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，通常先判定兩個(gè)三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)求角度或線段的長(zhǎng)，相似三角形的綜合題包括以下幾種類(lèi)型，

一、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與相似三角形

當(dāng)一個(gè)點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，可能有相似三角形存在，此時(shí)常要利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求線段的長(zhǎng).在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中要?jiǎng)又星箪o，抓住變化過(guò)程中不變的量，以運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊位置為分界，分段討論各種情況.

[例1]如圖l，在△ABC中，AB =AC=10，BC=16，點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合）.以D為頂點(diǎn)作∠ADE= ∠B，射線DE交AC邊于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF ⊥AD交射線DE于點(diǎn)F，連接CF.

（1）求證：△ABD-△DCE;

（2）當(dāng)DE//AB時(shí)（如圖2），求AE的長(zhǎng);

（3）點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得DF=CF？若存在，求出此時(shí)BD的長(zhǎng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAD=∠CDE，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明，

二、坐標(biāo)系與相似三角形

把相似三角形放置在坐標(biāo)系里，同樣需要根據(jù)相似三角形的判定方法判定兩個(gè)三角形相似，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到等角或線段的長(zhǎng)，不同之處在于，需要根據(jù)線段的長(zhǎng)得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，或者根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到水平或豎直線段的長(zhǎng).

[例2]如圖4，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，BC：AB=3：4，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1）求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo);

（2）求證：△AEF∽△DCE;

三、圖形變換與相似三角形

圖形變換包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱(chēng)，常與相似三角形結(jié)合的是旋轉(zhuǎn)，常發(fā)生在“手拉手”的幾何模型中，即大小不同的兩個(gè)三角形，其中一個(gè)頂點(diǎn)重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)聯(lián)結(jié)，其中一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，存在不變的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，這些不變的數(shù)量與位置關(guān)系需要用相似三角形證明，