深度分析相似三角形中“1的代換”

孫宇

【摘 要】 相似三角形的應(yīng)用是初中階段最重要的解題方法，不僅能簡(jiǎn)化過(guò)程，更能讓學(xué)生體會(huì)到平面幾何和代數(shù)之間轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)魅力，因此，相似三角形在應(yīng)用的過(guò)程中會(huì)有很多種不同的“變形”，或者說(shuō)技巧。其中，“1”的代換是近幾年出現(xiàn)的一種比較新的變換技巧，雖然很早就出現(xiàn)，但是理解和運(yùn)用起來(lái)卻是讓大部分同學(xué)望而生嘆。無(wú)錫中考在2015年和2018年壓軸題中出現(xiàn)了這種類型的轉(zhuǎn)化。本篇文章就探討一下在相似三角形的解答過(guò)程中，出現(xiàn)“1”的代換是怎樣進(jìn)行轉(zhuǎn)化的，又是怎樣應(yīng)用的。

【關(guān)鍵詞】 相似三角形;“1”的代換;轉(zhuǎn)化

一、對(duì)“1”的代換的理解

“1”的代換，顧名思義，就是將題設(shè)中多余的“1”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其變?yōu)楦雍?jiǎn)單的形式或者變成其他需要的形式。在進(jìn)行轉(zhuǎn)化的時(shí)候，我們就必須要理解這樣的“1”是怎樣出現(xiàn)在題設(shè)中的。如圖1所示，在相似三角形（平面幾何）中，線段AB上有一點(diǎn)C，因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，則或者是。通過(guò)這兩個(gè)式子，我們可以清晰地看出，題設(shè)中的“1”就是通過(guò)三點(diǎn)共線進(jìn)行一些化簡(jiǎn)得到的。因此，要想將“1”轉(zhuǎn)化，我們通常需要進(jìn)行的就是移項(xiàng)通分或者分離常數(shù)。

二、經(jīng)典試題的深度分析

例1：如圖2，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，OC=6，N為邊OB上異于點(diǎn)O的一動(dòng)點(diǎn)，P是線段CN上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q，PM∥OB交OA于點(diǎn)M。

（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求證：CN⊥OB。

（2）當(dāng)點(diǎn)N在邊OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OMPQ始終保持為菱形。

①問(wèn)：的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍;如果不變，請(qǐng)說(shuō)明理由。

②設(shè)菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍。

【分析理解】這一題是無(wú)錫2015年中考?jí)狠S題。第一問(wèn)很容易出錯(cuò)，默認(rèn)∠CPM=90°而不自知，再通過(guò)直角三角函數(shù)等“簡(jiǎn)便方法”來(lái)證明∠ONC=90°。正確的求解方法是過(guò)P點(diǎn)作OC的垂線PE，然后再進(jìn)行求值，可以輕松解決。對(duì)第二問(wèn)第①題，為了方便理解和計(jì)算，設(shè)OM=x，ON=y，則=。根據(jù)題設(shè)，我們可以很容易得到“A型”相似，即△NPQ∽△NCO，則===1-，而PQ=OQ=OM=x，OC=6，則=1-，等式兩邊同時(shí)除以x，就可以得到=。對(duì)第②題，由題得=·。如圖3，分別作出輔助線，利用相似比等于高之比，可以得到==1-，則=1-，從而得到=（1-），0

三、綜合分析

根據(jù)兩道典型例題的分析和解答過(guò)程，“1”的代換本質(zhì)就是利用三點(diǎn)共線的關(guān)系，我們需要對(duì)其合理、巧妙地進(jìn)行通分或者分離常數(shù)。在相似三角形的綜合性幾何圖形類題型的解答過(guò)程中，我們需要抓住“題眼”，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一些必要的處理，才能夠找到一些明晰的思路，從而尋求到突破口。在解答綜合性問(wèn)題的過(guò)程中，要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行激活與運(yùn)用，不能過(guò)于關(guān)注“述”，而輕視“法”、忽略“道”，要理解題目中的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，這樣才能真正做到一通而百通。

【參考文獻(xiàn)】

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