喚醒數(shù)學(xué)靈魂，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

夏華

蘇教版普通高中教科書(shū)必修4中明確指出本小節(jié)的重點(diǎn)：一方面，讓學(xué)生理解弧度的意義，并能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，其中弧度的概念是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn);另一方面，弄清1弧度的角的含義是我們建立弧度概念的關(guān)鍵所在。根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于“為什么要引入弧度制”以及“如何定義1弧度的角”始終覺(jué)得很突兀，感覺(jué)教材中對(duì)1弧度角的“規(guī)定”就像是天上掉下來(lái)的一樣。下面結(jié)合筆者在一次市級(jí)比賽中對(duì)《弧度制》一課的設(shè)計(jì)與執(zhí)教，談?wù)勅绾卧诟拍罱虒W(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史料，喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過(guò)程及背景的探究，感悟概念產(chǎn)生的必要性，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、情境創(chuàng)設(shè)，提出問(wèn)題——引入弧度制的必要性

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身更重要?！北竟?jié)課我們就從這句話開(kāi)始體會(huì)其中的內(nèi)涵。

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了“任意角”的概念，初中時(shí)我們度量角的單位是什么？

生：度。

師：1°角有多大？它是如何定義的？

生：規(guī)定周角的為1度的角。

師：1°角還可以細(xì)分，1°=60′，1′=60″。

師：將1°角作為角的度量單位，去度量其他角，像這種用度作單位去度量角的單位制叫作角度制。

【設(shè)計(jì)意圖】現(xiàn)已無(wú)法考證古人為什么要將圓周分為360等份，據(jù)說(shuō)是在公元前4000年，古希臘人發(fā)現(xiàn)隨著四季更替，天上的星座呈現(xiàn)出周期性的變化，并且近似觀察出每360天循環(huán)一次，也就是一年。古時(shí)候人們認(rèn)為天圓地方，因此天（圓）就被等分成了360份， 1份即為1度。雖然后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)了一年大約是365天，但是因?yàn)?60度已經(jīng)使用多年，成為習(xí)慣，并且它在度量一些特殊角（平角、直角和一些正多邊形的內(nèi)角）數(shù)據(jù)都是整數(shù)，非常好計(jì)算，所以就被保留了下來(lái)。

師：比如30°角是1°角的30倍，那30°與sin 30°這兩個(gè)量能相加嗎？

生：30°是一個(gè)角度，sin 30°是一個(gè)實(shí)數(shù)，它們度量單位不統(tǒng)一，所以不能相加。

【設(shè)計(jì)意圖】在最初的時(shí)候，三角學(xué)屬于天文學(xué)的一部分，隨著時(shí)代的發(fā)展，它逐漸脫離天文學(xué)，成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，特別是隨著近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)用度作為角的單位度量角的大小，已不能滿足科學(xué)研究的需要。人們發(fā)現(xiàn)：如果能統(tǒng)一“角”與“實(shí)數(shù)”的度量單位，就能解決更多的實(shí)際問(wèn)題。但是“角度運(yùn)算是60進(jìn)制的”，而“實(shí)數(shù)運(yùn)算是10進(jìn)制的”，它更符合我們的日常習(xí)慣，于是人們就想：“角的大小能否也用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)度量，這樣實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)就能相加。”那么“用什么樣的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的大小”就成為我們迫切需要解決的問(wèn)題。因此，人們就試圖定義一種新的度量角的單位制，經(jīng)過(guò)幾代人數(shù)百年的努力，最終確立了另一種度量角的單位制——“弧度制”。

二、探究新知，揭示概念——弧度制的概念及公式表示

問(wèn)題1：如圖1，在半徑為r的圓中，隨著弧長(zhǎng)l的改變，圓心角α?xí)l(fā)生怎樣的變化？它們之間有怎樣的關(guān)系？

生：弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，角越大;或弧長(zhǎng)越短，角越小。

師：反之，是否成立？

生：成立，即角越大，弧長(zhǎng)也越長(zhǎng)。

師：為什么角隨著弧長(zhǎng)的改變而改變呢？大家在已有知識(shí)中能否找到依據(jù)？——基于代數(shù)的證明。

生：由弧長(zhǎng)公式可知，當(dāng)半徑r一定時(shí)，圓心角α隨著弧長(zhǎng)l的增大而增大。

【設(shè)計(jì)意圖】弧度制不是瞬間確立的，而是經(jīng)過(guò)古人長(zhǎng)期的探索與反復(fù)實(shí)踐，慢慢摸索出來(lái)的，在此過(guò)程中，人們?cè)谒伎家粋€(gè)問(wèn)題：影響角的大小變化的因素有哪些？

師：基于上面的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)大家完成以下活動(dòng)。

學(xué)生活動(dòng)：如圖2，請(qǐng)各小組設(shè)計(jì)方案，比較∠AOB與∠COD的大小。

生：方案一：量角（量角器）;方案二：量弧長(zhǎng)。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)探究活動(dòng)就是讓學(xué)生自己動(dòng)手去操作，進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析，然后歸納、概括獲得概念，并理解和解決問(wèn)題的一種教學(xué)實(shí)施過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，通過(guò)讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)方案比較兩個(gè)角的大小，進(jìn)一步體會(huì)弧長(zhǎng)與角的大小變化的關(guān)系。

師：那么是否可以用弧長(zhǎng)度量一個(gè)角的大小呢？請(qǐng)同學(xué)們思考下面一個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題2：如圖3，在半徑不同的圓中，長(zhǎng)度相等的弧所對(duì)的圓心角的大小變化有何規(guī)律？

生：一方面，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到，弧長(zhǎng)l一定時(shí)，半徑r越大，角α越小，半徑r越小，角α越大;另一方面，由弧長(zhǎng)公式可以證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

【設(shè)計(jì)意圖】雖然弧長(zhǎng)是影響角的大小的一個(gè)因素，但不是唯一因素，半徑也是影響角的大小的因素，即在沒(méi)有其他限制條件下，弧長(zhǎng)與角之間不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

師：如果沒(méi)有前面的限定，弧長(zhǎng)l與半徑r變化是怎樣影響圓心角α的大小的呢？請(qǐng)結(jié)合弧長(zhǎng)公式，作出判斷，并加以解釋。

生：由，得，所以圓心角的大小n由弧長(zhǎng)l與半徑r的比值決定。

師：當(dāng)比值確定了，角的大小就確定了，反之，角定，比值也定。

師：我們能否用一個(gè)實(shí)數(shù)的大小來(lái)度量圓心角的大小呢？

生：用的大小來(lái)度量圓心角的大小。

師：我們將這種度量角的方式叫作弧度制。

師：類比角度制，首先要定義“1個(gè)單位的角”（即：度量單位）。

一個(gè)很自然的想法：當(dāng)=1時(shí)，就稱圓心角的大小為1弧度，當(dāng)=2時(shí)，就稱圓心角的大小為2弧度……以此類推。

師：你能用自然語(yǔ)言給“1弧度的角”下個(gè)定義嗎？

（學(xué)生思考并概括歸納）

1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度（radian）的角，記作1 rad（如圖4所示）。這種用弧度作為角的單位來(lái)度量角的單位制叫弧度制（radian measure）。

師：根據(jù)角的旋轉(zhuǎn)方向不同，角有正角、負(fù)角、零角之分，相應(yīng)地，我們也規(guī)定：正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為0。

概念深化：

若圓的半徑為r，則長(zhǎng)度為πr的弧所對(duì)的圓心角的大小為_(kāi)rad。（生：π）

若圓的半徑為r，則長(zhǎng)度為2πr的弧所對(duì)的圓心角的大小為_(kāi)rad。（生：2π）

若圓的半徑為r，則長(zhǎng)度為l的弧所對(duì)的圓心角的大小為_(kāi)rad。（生：）

一般地，在半徑為r的圓中，長(zhǎng)度為l的弧所對(duì)的圓心角為α rad，那么圓心角的大小|a|=，α的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定。

想一想：從運(yùn)算角度看，運(yùn)算結(jié)果的單位是什么？

生：因?yàn)閘與r都是長(zhǎng)度，所以它們的比值是一個(gè)沒(méi)有單位的實(shí)數(shù)。

師：非常棒，也就是說(shuō)弧度制其實(shí)就是用一個(gè)沒(méi)有單位的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的大小。我們給它取了個(gè)單位“rad”，只是提醒我們這個(gè)數(shù)在此表示角。因此，在用弧度表示角的大小時(shí)，在不引起誤解的情況下，弧度單位“rad”可以省略不寫(xiě)。比如：1 rad，2 rad，π rad，可分別簡(jiǎn)寫(xiě)成1，2，π。

三、深入探究，有機(jī)融合——弧度制與角度制的相互轉(zhuǎn)化

師：現(xiàn)在有了兩種度量角的單位制，它們有關(guān)系嗎？與角度制相比，1 rad大約有多大？

教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)幾何直觀，初步感受到1 rad大約比60°略小一點(diǎn)（如圖5）;進(jìn)一步，2 rad大約比120°略小一點(diǎn)，是一個(gè)鈍角;3 rad大約比180°略小一點(diǎn)，還是一個(gè)鈍角。

師：那么1 rad到底有多大？弧度制與角度制“如何精確換算”呢？由前面的分析可知，平角的弧度數(shù)為π（如圖6），從而有：

例1：填寫(xiě)下列各角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表。度 54° 300°

弧度 2.5

師：根據(jù)以上研究我們發(fā)現(xiàn)，在弧度制下，每一個(gè)角都能用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)度量，反之，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都能度量一個(gè)角。

這樣，角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間就建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（這個(gè)角的弧度數(shù)）與之對(duì)應(yīng);反之，每一個(gè)實(shí)數(shù)也有唯一的一個(gè)角（弧度數(shù)等于該實(shí)數(shù)的角）與之對(duì)應(yīng)（如圖7）。

四、問(wèn)題解決，遙相呼應(yīng)——推導(dǎo)弧度制下的弧長(zhǎng)及扇形面積公式

例2：如圖8，設(shè)長(zhǎng)度為r的線段OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)形成角α（α為任意角，單位為弧度），若將此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑看成是圓心角α所對(duì)的弧，設(shè)弧長(zhǎng)為l。

五、設(shè)計(jì)與思考

教科書(shū)首先通過(guò)類比及章頭圖引出弧度制，給出1弧度的定義，然后通過(guò)探究得到弧度數(shù)的絕對(duì)值公式，并得出弧度與角度的換算方法。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)具體例子，鞏固所學(xué)概念和公式，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)引入弧度制的必要性。這樣可以盡量自然地引入弧度制，并讓學(xué)生在探究和解決問(wèn)題的過(guò)程中更好地形成弧度概念，建立角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ)?；《戎频囊?，一方面統(tǒng)一了角與實(shí)數(shù)的度量單位，讓一些運(yùn)算成為可能，提高了解決問(wèn)題的效率;另一方面，在弧度制下，很多數(shù)學(xué)公式能大為簡(jiǎn)化（如弧長(zhǎng)公式、扇形的面積公式）。總之，弧度制的引入為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)以及未來(lái)大學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

本節(jié)課從高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)、需要、興趣出發(fā)，立足課堂實(shí)踐，運(yùn)用數(shù)學(xué)史實(shí)施有效的“喚醒”，即從“屏蔽”模式化、經(jīng)驗(yàn)式的教學(xué)開(kāi)始，建立基于學(xué)情、優(yōu)化生態(tài)、尊重差異的新型課堂結(jié)構(gòu)與價(jià)值訴求。

【備注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度課題

《高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“喚醒”藝術(shù)的美學(xué)建構(gòu)研究》（編號(hào)D/2018/02/26）的階段性成果之一】