外接球球心的秘密

【摘 要】 多面體外接球問題求解的關(guān)鍵在于確定外接球球心的位置，一般可以通過外心垂線交點(diǎn)法、坐標(biāo)法、特殊模型法等途徑進(jìn)行確定.

【關(guān)鍵詞】 外接球;球心;立體幾何;長方休;直棱柱

球與多面體的外接關(guān)系是空間中一種比較特殊的位置關(guān)系，因?yàn)檩^難畫出直觀圖形而使得問題變得抽象難懂，故而多面體的外接球問題常常成為考察空間想象能力的重要載體，能全方位、多角度、深層次地考察學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).實(shí)際上，解決此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確確定外接球球心的位置，我們無須畫出外接球，即可準(zhǔn)確、有效地定位球心.本文將分別運(yùn)用外心垂線交點(diǎn)法、坐標(biāo)法與特殊模型法等三種辦法來揭開外接球球心的秘密.

1 外心垂線交點(diǎn)法：但知截面圓心在，兩條垂線定球心

在平面幾何中，根據(jù)圓的垂徑定理，圓心與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦，故而過兩條弦中點(diǎn)分別作這兩條弦的垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓心.類似地，在立體幾何中，球的截面性質(zhì)告訴我們，球心與截面圓心的連線垂直于截面，因而過兩個截面圓圓心分別作這兩個截面的垂線，其交點(diǎn)即為球心.我們知道，多面體的任一表面多邊形的外接圓都是其外接球的一個截面，此截面圓圓心即表面多邊形的外心.在確定外接球球心位置時，只需要選取多面體的某兩個表面，分別過其外心（即截面圓圓心）作此平面的垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)即為多面體外接球的球心.

從以上10例的分析可以看出，不論是外心垂線交點(diǎn)法、坐標(biāo)法，還是特殊模型法，在求解外接球問題時，其關(guān)鍵一步是認(rèn)清多面體的結(jié)構(gòu)特征.能否準(zhǔn)確把握的多面體結(jié)構(gòu)特征，直接決定著解題的成敗.因此，對于一個具體的多面體外接球問題，到底應(yīng)該選用什么樣的解題策略與方法，依賴于我們對其模型識別的結(jié)果.

作者簡介 朱賢良（1981—），男，安徽樅陽人，高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育與考試研究，獲市級骨干教師、先進(jìn)教研個人等榮譽(yù)稱號，近十年在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》等期刊發(fā)表教學(xué)研究論文一百多篇.