探求2020年美國數(shù)學邀請賽AIME幾何壓軸題

美國數(shù)學邀請賽AIME是American Invitational Math Exam 的簡稱，該項比賽在美國認可度極高，是申請美國大學本科的一項利器，針對初高中學生舉辦的AMC（American Mathematics Competitions）比賽，只有成績在前5%的參賽學生才有資格繼續(xù)參加AIME比賽，該賽每年考兩輪，每輪比賽時長3個小時，共15道題，所有答案都是0到1000內(nèi)的整數(shù)，必須筆算完成，不允許使用計算器.以下本文將展開的是今年3月11日剛剛舉行的第一輪比賽的最后第15題的分步探求過程，筆者愿和大家一起分享其中蘊含的幾何推理的數(shù)學之美.

點評結語 前面三個步驟根據(jù)題意應用一些平面幾何的基本定理求出相應線段長度，特別是第一步證明了兩個三角形的外接圓半徑相等很關鍵，事實上也得出了一個重要結論：任意三角形的外接圓與其垂心和兩個頂點組成三角形的外接圓，兩圓半徑必相等.有了前面的鋪墊，萬事俱備只欠東風，如何建立外接圓半徑與邊長的等量關系是至關重要的，步驟四與步驟五事實上分別從解析幾何和平面幾何的不同角度為解決問題提供了兩種不同方法，思索良久、來之不易，這恰是應用邏輯推理解決幾何問題的迷人之處，不禁讓人感嘆：數(shù)學真的很美妙！

作者簡介 龔新平（1977—），男，2000年7月畢業(yè)于上海市華東師范大學數(shù)學系，同年任職于上海市育才中學至今，中學數(shù)學高級教師，學科帶頭人，獲上海市靜安區(qū)“教育園丁”稱號，發(fā)表教育教學論文40余篇.