二手房估價的二叉樹期權(quán)定價模型

陸恬依

(南京財經(jīng)大學應(yīng)用數(shù)學學院，江蘇 南京210046)

一、 引言

二手房交易是指在房管所等部門完成備案手續(xù)，并完成初始登記和一般登記，然后進行再次過戶的房屋。 二手房估價是在考慮了房屋的一系列周邊環(huán)境，例如房屋自身情況、裝修程度、周圍設(shè)施、所處樓層等估計出的符合實際情況的大致價格。

二手房市場在內(nèi)地的起步和發(fā)展是大家有目共睹的，從2008 年起，二手房在我國各大城市的交易日益頻繁，二手房市場也因此空前繁榮，許多城市房屋市場中二手房的年交易量逐年遞增，在整個房屋市場交易量中的占比也越來越高。同時，隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，人們生活水平的不斷提高，社會對房屋的需求量和滿意度都會相應(yīng)提升，因此二手房評估也逐漸進入人們眼簾，獲得了廣泛的關(guān)注。 人們在選擇二手房時，不僅會考慮房屋的自身情況，例如裝修和家具，還會放眼于整個房區(qū)周邊的設(shè)施和教育資源，由于二手房交易相對復(fù)雜、影響因素較多、涉及的法律程序也相對復(fù)雜，因此，在對二手房進行評估時，要選擇一個能充分考慮其不確定性的定價模型來對其進行估價。

目前被廣泛應(yīng)用于實物期權(quán)的模型可分為Black-Scholes 模型和二叉樹模型兩種，其中B-S 期權(quán)定價模型大多以歐式期權(quán)作為研究對象，而二叉樹期權(quán)定價大多以美式期權(quán)為主。 二手房交易市場中，期權(quán)持有者可以在期權(quán)到期前任一時間節(jié)點來決定是繼續(xù)持有或是售出，屬于一種典型的美式期權(quán)，因此在現(xiàn)有的房屋交易市場中，一般都選擇能夠解決美式期權(quán)問題的二叉樹期權(quán)定價模型作為房屋買賣參考的模型。 二叉樹實物期權(quán)定價模型是由John Cox、Stephen A.Ross 和Mark Rubinstein 在1979 年《金融經(jīng)濟學雜志》上提出的，即在給定時間間隔內(nèi)，每個時期的標的資產(chǎn)價格運動會有上升和下降兩種可能。 在這種規(guī)定下，運用二叉樹模型就可以模擬該期權(quán)在有效期內(nèi)可能發(fā)生的變化軌跡，于是就可以通過逆梯度運算得到之前任一節(jié)點的價格。

此外，運用二叉樹模型可以將實物期權(quán)可能面對的各種不確定性因素納入考察范圍，即考察不確定性因素是否會帶來一定投資價值或影響此實物期權(quán)的自身價值。 綜上所述，由于現(xiàn)有對于傳統(tǒng)房屋估價的方法具有局限性，因此，為了使實物期權(quán)的定價模型能更好地對不確定性因素進行考察，從而使得估計結(jié)果更符合實際情況，需要運用二叉樹期權(quán)定價模型來更合理地對實物模型進行估算。 文章暫不考慮北上廣等處于經(jīng)濟發(fā)展第一線的城市，選取經(jīng)濟發(fā)展較快且地理位置佳的江蘇省省會城市——南京市棲霞區(qū)作為二手房成交實例，構(gòu)建二叉樹實物期權(quán)進行研究，并驗證實物期權(quán)模型與實際成交結(jié)果是否一致，或判斷掛牌價格能否充分體現(xiàn)待售房屋的實際價格，為后階段的二手房交易市場構(gòu)建更合理且更能滿足大眾的評估模型。

二、 二手房評估定價二叉樹模型的構(gòu)建

(一)二手房評估定價模型的基本假設(shè)

為了能更直接地建立二手房評估定價二叉樹模型，首先進行以下假設(shè)：

假設(shè)1：不確定性假設(shè)。 待售房屋周邊的環(huán)境是不斷變化的，并且這些不確定性會對房屋的價值產(chǎn)生一定影響，例如房屋朝向、周邊環(huán)境、交通便捷程度等。

假設(shè)2：風險中性假設(shè)。 房屋買賣雙方一致認為收益與風險并存，對風險既不要求補償也不要求退還，此時的期望預(yù)期收益率為無風險利率。

假設(shè)3：完全競爭市場。 在交易過程中信息透明并具有完全性，資源自由流動，當房屋持有人發(fā)出某一決策時，可以立即執(zhí)行。

由于二叉樹期權(quán)定價模型是一種基于離散時期的期權(quán)定價方法，即在給定時間間隔內(nèi)，標的資產(chǎn)的價值會發(fā)生上升或下降兩種可能的波動，因此可以根據(jù)變動幅度構(gòu)建資產(chǎn)變化圖，通過在風險中性假設(shè)下計算未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值，來預(yù)估在無風險利率折現(xiàn)情況下期權(quán)的現(xiàn)值。 即期望獲得的二手房交易折現(xiàn)率=房價上升概率×房價上升時的收益率+房價下降概率×房價下降時的收益率。

標的資產(chǎn)即房屋價格服從幾何布朗運動，假設(shè)資產(chǎn)初始價值為S0，時間間隔為t，該資產(chǎn)可能發(fā)生兩種變化：以比率u上升至Su、以比率d下降至Sd。 并且在前文假設(shè)2 中假設(shè)房屋持有人的風險偏好都是風險中性的，所以利用無風險利率作貼現(xiàn)率計算未來的期權(quán)價值：

其中u為上行比率，d為下行比率，p為風險中性概率，r為無風險利率，fu為在上行比率為u時預(yù)估的未來期權(quán)價值，fd同理，T為到期日，e 為以e 為底的指數(shù)函數(shù)。

同時，通過方差的基本公式Var(V0)=E(V20)-[E(V0)]2可得到：

其中σ為標的資產(chǎn)價值的波動率。

由Cox、Ross 和Rubinstein 給出的關(guān)于p、u、d的第三個條件

即在相等的充分小的Δt時間間隔內(nèi)，u、p、d均為常數(shù)，只與Δt、r、σ有關(guān)，與開始時標的資產(chǎn)價格S0無關(guān)。

因此可得出關(guān)于二叉樹的單期定價模型為：

在房屋的二叉樹期權(quán)定價模型中，可以選取交易成交日作為決策時間節(jié)點，但在實際應(yīng)用過程中，由于資產(chǎn)價值運動是多步的，因此可以在每個時間節(jié)點假設(shè)一個單期的二叉樹模型，最后再將多個單期二叉樹模型整合成為多期二叉樹模型。

多期二叉樹模型中囊括了很多輸入量，最基本的輸入量包括有：標的資產(chǎn)的現(xiàn)值S0，期權(quán)執(zhí)行價格X，現(xiàn)金流的波動率σ，期權(quán)有效期T，無風險利率r和單期時間的長度Δt

構(gòu)建多時期二叉樹的方法如下：

第一步：如圖1 所示創(chuàng)建標的資產(chǎn)的二叉樹網(wǎng)格圖，其中u為上行比率，d為下行比率，p為風險中性概率：

圖1 二叉樹實物期權(quán)模型計算網(wǎng)格圖

第二步：根據(jù)假設(shè)的未來價值來計算最終的實物期權(quán)價值，計算網(wǎng)格圖中每個節(jié)點的值：

第三步：計算第n期終端對應(yīng)節(jié)點的數(shù)值，比較執(zhí)行期權(quán)成本和對應(yīng)執(zhí)行價格的數(shù)值，選擇較大的一個保留。

推導(dǎo)至n期，可得二叉樹第n期定價模型為：

X為第n期標的資產(chǎn)的投資支出，S0ujdn-j-X為標的資產(chǎn)的執(zhí)行價值。

其中，由于二手房持有者擁有的不僅僅是房屋本身價值，還擁有未來對房屋進行處理的權(quán)利，傳統(tǒng)方法中只考慮到了確定性因素對房產(chǎn)執(zhí)行價格的影響，沒有考慮到不確定性對未來的房屋價值變化帶來的影響，甚至忽略了不確定性，這種情況的發(fā)生會直接導(dǎo)致房屋部分價值的丟失，使得二手房持有者損失這部分的經(jīng)濟利益。 故對二手房估價的定價模型進行更正：

其中V表示等待交易的二手房的成交價格，V0表示傳統(tǒng)預(yù)估方法下二手房的估計價格，fn是傳統(tǒng)預(yù)估方法容易忽略的不確定性下的實物期權(quán)價值。

可以通過計算傳統(tǒng)方法預(yù)估得到二手房的房屋價值，再利用實物期權(quán)模型求解不確定性下該二手房的價值，最后再將兩者相加，得到二手房應(yīng)得的交易價格。

(二)參數(shù)的選擇

由于在實物期權(quán)定價模型中選擇的參數(shù)與以往金融期權(quán)定價模型中的參數(shù)含義不同，因此對以下變量進行修正。

1.房屋現(xiàn)值S0

房屋現(xiàn)值指的是在綜合考慮了樓層、房型、區(qū)位因素等影響因子后得到的評估大致價格且此價格已結(jié)合南京市二手房交易市場實際情況。

2.執(zhí)行價格X

期權(quán)的執(zhí)行價格指的是房地產(chǎn)投資此房屋時的開發(fā)成本。

3.期權(quán)有效期T

期權(quán)有效期指的是期權(quán)持有者能夠憑自己意愿支配期權(quán)的有效時間段。 由于我國住宅用地的有效期是70 年，因此在下文的計算中將70 減去已經(jīng)使用的年限即為剩余的期權(quán)有效期。

4.無風險利率r0

無風險利率指的是期權(quán)持有者在無風險利率中可以得到的報酬率。 由于文中采用的實物期權(quán)是房屋，因此可以采用央行的定期存款利率作為無風險利率的參考。

5.房屋價值波動率σ

房屋價值的波動率取決于當?shù)胤康禺a(chǎn)價格波動的標準差，可以采取南京市2010～2015 年房地產(chǎn)價格起伏的波動率來進行代替，再根據(jù)約翰·霍爾的計算公式，可得：

(三)房屋單價不確定因子分析

在下文關(guān)于二手房評估的實證研究中，除了要把握好評估基準，更要具體考慮如下因素：

1.房屋自身因素

房屋自身除了上文中提及的樓層因素，還要考慮房屋竣工后即進入折舊期，假設(shè)理論折舊期為50 年，則年折舊率為2%，并且舊房屋由于戶型落后，例如小廚小房小衛(wèi)等戶型，應(yīng)相應(yīng)扣除10%。

2.環(huán)境因素

上文僅考慮了城市經(jīng)濟發(fā)展對房屋單價帶來的影響，然而房屋外部環(huán)境因素的影響因子不僅僅由所處城市經(jīng)濟發(fā)展有關(guān)，還與自然有關(guān)。 比如在同一地段，舊房的周邊環(huán)境一般都會略遜于新開發(fā)的住宅區(qū)，結(jié)合其房屋平面布局、房型、裝修標準以及施工質(zhì)量，舊房屋對比新房屋都是要大打折扣的。 除此以外還要考慮其地區(qū)居民結(jié)構(gòu)、小區(qū)配套設(shè)施、有無物業(yè)管理等等，這些都會給房屋的單價造成較大影響，在此假設(shè)若無物業(yè)管理或非獨立封閉小區(qū)，房屋單價應(yīng)各下降5%，鄰近省市重點中小學的學區(qū)房房屋單價可考慮增加15%。

3.心理因素

如若不考慮資金因素和地區(qū)因素，人們在選擇同等地段的房屋時，應(yīng)偏好于新房屋而非舊房，此類心理因素落差大約在8%。

4.特殊因素

特殊因素即由于房地產(chǎn)市場是一個不完全市場，價格變動較大，其價格往往會受到一些特殊行為的影響，例如當二手房持有者急于脫手或者買賣雙方不了解房屋具體信息時，房屋交易單價會出現(xiàn)一定的偏差，此因素難以給出一個統(tǒng)一的比例，只能視具體情況而定。

三、 實證分析

(一)數(shù)據(jù)來源和案例樣本

以國家計委、國家土地管理局關(guān)于土地價格評估收費的通知文件以及《資產(chǎn)評估收費管理辦法》作為政策依據(jù)，同時為了數(shù)據(jù)更符合南京市棲霞區(qū)二手房交易市場的實際背景，搜集了有關(guān)南京市二手房評估交易注意事項等區(qū)域文件，為了給研究提供正確的理論支持和數(shù)據(jù)支撐，以下案例計算過程中所采用的數(shù)據(jù)均來自安居客二手房交易網(wǎng)站、中國指數(shù)研究院的最新數(shù)據(jù)。 此外，考慮到資料的完整性、數(shù)據(jù)公開性和項目開展進度等因素，選擇江蘇省南京市棲霞區(qū)某一房屋作為案例具體數(shù)據(jù)來進行研究。

1.評估對象地理位置概況

估價對象所在區(qū)域周邊有多個公交車站，附近配套有南京市棲霞區(qū)仙林醫(yī)院、九霄夢天地等，周邊設(shè)施齊全，毗鄰南京地鐵二號線，位屬南京市仙林大學城，周邊中小學密集，交通便利(東方天郡，位于南京市棲霞區(qū))。 房屋具體情況如表1 所示。

表1 南京市棲霞區(qū)東方天郡小區(qū)二手房交易價格

2.評估對象建筑物概況

估價對象為2008 年建造的普通商品房住宅，實木地板、精裝修、采光好視野好，設(shè)施齊全，房型坐南朝北，土地剩余使用年限為59 年，建筑面積為110 平方米。 根據(jù)對房屋自身因素、環(huán)境因素、買賣雙方心理因素、特殊因素的考慮，對其進行估價。

首先根據(jù)大多數(shù)購買二手房人的心理，樓層過低會導(dǎo)致房屋潮濕陰暗沒有陽光，噪聲大，而高層上下樓不方便、雨天可能會漏水，因此，在沒有其他因素影響的情況下，中間樓層相比較高層低層來說價格會更高一些，從表1 中也可以看出這一點。

因此，如何定一個令買賣雙方都滿意的價格也成了二手房市場交易中較為重要的一個問題。 例如，在二手房進行估價時，由于沒有很好地采用科學的量化方法，僅憑估價人員的經(jīng)驗判斷打分，從而使得估價結(jié)果的可信度、科學性和客觀性都受到了很大的影響。 因此，為了可以科學地對二手房進行估價，必須合理地考慮影響因子和比較因素，從而減少修正的隨意性。

(二)實證研究

二叉樹實物期權(quán)模型計算路線：

確定模型并且輸入?yún)?shù)——計算模型中的因子——對期權(quán)模型進行求解。

1.確定實物期權(quán)模型并且輸入?yún)?shù)

(1)標的資產(chǎn)的現(xiàn)值S0。 二手房的價值評估標準應(yīng)適當參考當?shù)胤康禺a(chǎn)現(xiàn)行的市場價格。 通過安居客二手房交易網(wǎng)站選擇了與所選等待交易的房屋條件相類似的三個交易實例進行對比，通過對交易時間、房屋所處樓層、房屋內(nèi)部設(shè)施的修正，即可以得到對所選等待交易房屋的有效房屋單價的大致修正結(jié)果。

經(jīng)過計算，實例“東方天郡1 號房屋”，房屋面積111 平方米，所處樓層8 層，實際售出價格為42342 元/平方米；“東方天郡2 號房屋”，房屋面積115 平方米，所處樓層16 層，實際售出價格為34322 元/平方米；“東方天郡3 號房屋”，房屋面積74 平方米，所處樓層9 層，實際售出價格為41892 元/平方米。 根據(jù)安居客所給數(shù)據(jù)進行整合可得出以下結(jié)論：

經(jīng)過計算可得，東方天郡1 號房屋修正后價格為41101元/平方米；東方天郡2 號房屋修正后價格為30187 元/平方米；東方天郡3 號房屋修正后價格為33906 元/平方米，待售二手房屋實際現(xiàn)值S0為3923480 元。

(2)執(zhí)行價格X。 執(zhí)行價格即房地產(chǎn)在出資開發(fā)此地區(qū)時所花費的成本現(xiàn)值，實例中的X取值為1670790，該數(shù)據(jù)來自東方天郡售樓處。

(3)期權(quán)剩余有效期T。 該小區(qū)建成日期為2008 年，到估算節(jié)點2019 年為止已使用11 年，按照房屋70 年產(chǎn)權(quán)計算，實例中待售房屋的剩余有效期T為59 年。

(4)無風險利率r。 可選擇5 年期國債作為無風險利率的參考標準，故取r為4.27%。

(5)波動率σ。 根據(jù)整理房天下二手房交易網(wǎng)站出具的南京市棲霞區(qū)仙林2019 年1月至12月的二手房交易均價走勢圖(圖2)，可知棲霞仙林12月二手房參考均價為32493元/平方米，環(huán)比1月下降1.58%，同比2018 年同期上漲1.32%。根據(jù)約翰·霍爾的波動率公式計算可得：

圖2 2019 年1月至12月仙林二手房價格走勢

因此表2 總結(jié)了上述二叉樹實物期權(quán)模型中的參數(shù)取值。

表2 實物期權(quán)參數(shù)取值表

2.模型計算結(jié)果

為提高計算效率和計算結(jié)果的準確性，運用matlab 編程的方法對數(shù)值進行求解，計算其1000 期，經(jīng)過編程運算，得到不確定性下的價值fn為2082910，因此可得出實例中待售二手房屋的大致估價V=V0+fn=3923480+2082910=6006390。

(三)該二手房實際成交價格與實物期權(quán)法的結(jié)果比對

經(jīng)過實際成交金額可得，房屋持有人最終獲得了4173950 元，而根據(jù)上述模型計算出的估計值大約為6006390元，其中誤差率為43.9%，通過比對實際成交價格與模型估計值，可以很明顯地發(fā)現(xiàn)運用實物期權(quán)模型法考慮的房屋價值比實際成交價值高出43.9%，也可以充分說明南京市棲霞區(qū)二手房實際交易價格與房屋市值有較大差距，實際交易價格并沒有充分體現(xiàn)該房屋實際價值。

四、 總結(jié)

隨著我國房地產(chǎn)行業(yè)的飛速發(fā)展，二手房交易在房屋買賣中日益興盛，對二手房進行準確估價也隨即成了二手房交易市場上尤為重要的一部分。 對廣大二手房持有者來說，擁有二手房就相當于擁有了一項實物期權(quán)，也就是一個再次投資的機會。 二手房持有者可以自行決定選擇行使期權(quán)或放棄期權(quán)，在行使期權(quán)時，持有者需要付出一定的執(zhí)行成本，也就意味著擁有這項實物期權(quán)的同時，獲利與風險并存。 因此，在建模時，目的就是為了降低持有者的風險指數(shù)，使他們在履行相應(yīng)法律條款的情況下，給予此實物期權(quán)一個更好的估價，使其交易數(shù)目與實際的期權(quán)價值相匹配。 使得持有方不會以低于市場價的價格出售期權(quán)，同時也能保證期權(quán)購買方在期權(quán)市場上的權(quán)利。 實物期權(quán)模型作為對傳統(tǒng)評估方法的發(fā)展，可以彌補傳統(tǒng)評估方法不能靈活反映未來變化的缺陷，同時也將房地產(chǎn)市場可能出現(xiàn)的不確定性納入考量范圍。

南京市作為江蘇省省會城市，近年來二手房交易在樓市總交易中呈現(xiàn)上升趨勢，因此，在上文中，主要以南京市棲霞區(qū)某二手待售房屋為例，檢驗了其標價和實際價值的誤差率，由于僅考慮了房屋所處樓層和區(qū)位因素、房屋土地有效期等對房屋單價的影響，而實際生活中影響房屋單價的因素還包括房屋內(nèi)部裝修、裝修程度、朝向、是否學區(qū)房以及二手房持有者售出欲望等等，因此從得到的最終誤差率可以發(fā)現(xiàn)，文章的考慮因素依舊是不夠完善的。 例如，房屋裝修問題是二手房在交易市場有關(guān)買賣雙方爭執(zhí)較為頻繁的一個問題，賣方因房屋已經(jīng)裝修或裝修較為高檔，希望在售出房屋標價時可以將裝修費用作為房屋成本一同加入賣價；而買方認為，該房屋裝修樣式不符合自己的需求，因此不同意將房屋價格包含房屋裝修費用。 在此情況下，無法運用二叉樹模型將此房屋進行估價，而應(yīng)該使用在實際操作中較為普遍的房地產(chǎn)價格評估的替代原則及最高最佳使用原則進行靈活處理。 并且對于在同一城市的不同住宅，由于城鄉(xiāng)發(fā)展水平并不完全相同，因此房屋單價也會因此產(chǎn)生差異，文章僅考慮了取平均值，沒有考慮將住宅市場細分為高檔、中高檔、低檔住宅市場。

總之，由于傳統(tǒng)方式缺陷的不斷暴露、對待售房屋無法進行準確的價格評估在交易市場中產(chǎn)生了較多糾紛，引起了學術(shù)界的廣泛關(guān)注，因此更多學者選擇利用實物期權(quán)的理論方法對傳統(tǒng)方法加以改進。 尤其對于文章沒有涉及的有關(guān)北京、上海、深圳等一線城市而言，城市化進程的加快更增加了房屋區(qū)位因素等方面的不確定性。 因此在二手房的交易市場中，各大評估公司應(yīng)該在采用傳統(tǒng)方式的基礎(chǔ)上，考慮不確定因素對其會造成的影響，將不確定性因素納入價格評估的考察范圍，以滿足買賣雙方的訴求，從而推動我國城市化進程向更好更快的方向發(fā)展。