撥開迷霧見晴天

杜占杰

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)科具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性，需要學(xué)生具備一定的抽象思維能力。從目前的數(shù)學(xué)教學(xué)情況來看，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面存在一定的問題，如對知識理解得不夠深入、難以靈活運(yùn)用所學(xué)知識等。而造成這些問題出現(xiàn)的原因是多方面的，如學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)背景、學(xué)習(xí)動機(jī)與傾向、能力水平等主觀因素，以及學(xué)習(xí)材料的內(nèi)容與形式、教師的講解等客觀因素，都會影響學(xué)生對知識的理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意合理利用有利因素，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地對新知識展開探究，以幫助學(xué)生更好地理解所學(xué)知識，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的。筆者結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對影響學(xué)生理解知識的因素展開分析，以期對相關(guān)工作者提供參考。

【關(guān)鍵詞】知識理解;主觀因素;客觀因素;數(shù)學(xué)教學(xué)

由于數(shù)學(xué)學(xué)科涉及較多的公式、定理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生主要通過概念及其關(guān)系來理解、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。概念與概念之間的聯(lián)系通過定理來體現(xiàn)，而對定理的正確理解及恰當(dāng)應(yīng)用是解決數(shù)學(xué)問題的前提和基礎(chǔ)。學(xué)生只有對定理形成深入的理解，才能對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行正確分析，從而對所學(xué)知識進(jìn)行判斷推理、論證，最終形成正確的數(shù)學(xué)思想。

在課堂教學(xué)中，教師如何通過適當(dāng)?shù)牟呗砸龑?dǎo)學(xué)生認(rèn)知并理解所學(xué)定理是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。威特洛克認(rèn)為：“學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者生成信息的意義過程，這一過程是通過原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)及相關(guān)知識經(jīng)驗(yàn)與從環(huán)境接收到的感覺信息的相互作用過程而實(shí)現(xiàn)的?！?/p>

從主觀方面來說，理解作為新信息與原有知識經(jīng)驗(yàn)的相互作用過程，它的生成依賴于學(xué)習(xí)者的主動加工活動，這樣看來，理解的效果會受下面幾種因素的影響。

一、學(xué)生原有的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)

學(xué)生通過之前的學(xué)習(xí)及生活積累，已經(jīng)掌握了一些基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，其中一些知識是關(guān)于數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和直觀感知，是學(xué)生進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師不能忽視學(xué)生的這些已有經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該從這些已有的知識經(jīng)驗(yàn)中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新的。例如，計(jì)數(shù)原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：排列數(shù)公式為什么會有這樣的結(jié)果。教師應(yīng)這樣引導(dǎo)學(xué)生：假定有排列順序的 m 個空位，從 n 個不同的元素 a1，a2，…，an中任取 m 個去填空，1個空填寫一個元素共有多少種方法？教師可以用分步計(jì)數(shù)原理來引導(dǎo)學(xué)生思考上述問題：第一步，填第一個空，有 n 種方法;第二步，填第二個空，有 n-1 種方法，依次類推，當(dāng)前面 m-1個空填上后，第 m 個空位只能從余下的 n-（m-1）個元素中任取一個，由分步原理可得排列數(shù)公式。這樣，學(xué)生就能在教師的引導(dǎo)下，結(jié)合已有的知識經(jīng)驗(yàn)解決新的數(shù)學(xué)問題，從而取得較好的學(xué)習(xí)效果。

二、學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)與興趣

對所學(xué)內(nèi)容充滿好奇心是激發(fā)學(xué)生興趣與動機(jī)的關(guān)鍵，同時學(xué)習(xí)的結(jié)果又會對學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)形成反作用力。積極的學(xué)習(xí)動機(jī)和學(xué)習(xí)興趣可以調(diào)節(jié)學(xué)生的身心狀態(tài)，使學(xué)生對學(xué)好數(shù)學(xué)有信心，并朝著正確的方向努力。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，教師應(yīng)積極培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用多種教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生對定理展開自主探究，以探討定理的本質(zhì)，而不是告訴學(xué)生這個定理是重要考點(diǎn)來引起學(xué)生重視。例如，在教學(xué)兩角和的正余弦公式時，教師可以出示例題：思考cosa·cos（a+b）+sina·sin（a+b）=？附屬內(nèi)驅(qū)力動機(jī)的學(xué)生往往希望能夠快速、順利解答此題，會將cos（a+b）=cosa·cosb-sina·sinb，sin（a+b）=sina·cosb+cosa·sinb展開，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這樣反而將式子變得更加復(fù)雜，無從下手。而具備認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力的學(xué)生會從整體入手，通過觀察式子的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是兩角差的余弦的展開式，可將式子中的 a+b 看作整體，即直接還原公式為 cos[a-（a+b）]=cos（-b）=cosb。

三、學(xué)生的數(shù)學(xué)能力水平

知識的學(xué)習(xí)與理解還會受到學(xué)生自身認(rèn)知能力水平的制約。在教學(xué)與發(fā)展的關(guān)系中，“最近發(fā)展區(qū)”是提高學(xué)生能力的關(guān)鍵因素，所以在教學(xué)中，教師要合理地設(shè)置教學(xué)進(jìn)度與教學(xué)順序，循序漸進(jìn)地開展教學(xué)，在課堂教學(xué)過程中，不斷培養(yǎng)、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。例如，在幾何中，立體幾何教學(xué)的順序會安排在平面幾何的后面。立體圖形是由平面圖形構(gòu)成的，并且一些平面圖形的性質(zhì)是立體幾何的基礎(chǔ)。學(xué)生只有真正理解并掌握了平面幾何的相關(guān)內(nèi)容，才有可能透徹理解立體幾何的相關(guān)知識。

從客觀方面來說，理解是新信息與原有知識經(jīng)驗(yàn)相互作用的過程，學(xué)習(xí)材料的內(nèi)容和表現(xiàn)形式會影響學(xué)生理解的過程和結(jié)果。

首先，學(xué)習(xí)材料的內(nèi)容應(yīng)是具體、形象的，是與學(xué)生實(shí)際生活聯(lián)系的信息，更容易在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)背景中引起共鳴，從而使學(xué)生將新知識和自身經(jīng)驗(yàn)形成緊密的聯(lián)系。學(xué)習(xí)材料的復(fù)雜性和難度會影響學(xué)生對知識的理解，一般來說涉及因素較少、概念關(guān)系比較直接的知識易于學(xué)生接受和理解。當(dāng)學(xué)習(xí)材料中包含復(fù)雜的、難以理解的知識和概念時，學(xué)生便不能正確分析各部分之間的關(guān)系，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)出現(xiàn)困難。這時，教師可以將復(fù)雜知識進(jìn)行分解或者轉(zhuǎn)化，分解為可以逐步解決的小問題，或者轉(zhuǎn)化為容易理解和解決的問題。

例如，在正方體ABCD-A1B1C1D1中（見圖1），一只螞蟻想從A點(diǎn)爬到C1點(diǎn)，求最短的路徑。教師若畫圖形為立體圖形，學(xué)生便很難解答這一題目。此時，教師可將其間接轉(zhuǎn)為具體形象的平面圖形，即把立體圖形拆開轉(zhuǎn)變成平面圖形，相當(dāng)于矩形ACC1A1，則題目轉(zhuǎn)換為從矩形的一個頂點(diǎn)到對角的另一個頂點(diǎn)的最短距離，學(xué)生便很容易得出結(jié)論：兩點(diǎn)之間線段最短，所以連接對角線則為所求結(jié)果。

其次，學(xué)習(xí)材料內(nèi)容的形式應(yīng)是直觀的。學(xué)習(xí)材料在表現(xiàn)形式上是否直觀也會影響學(xué)生對知識的理解，同樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師如果用比較直觀、形象的方式表現(xiàn)出來，學(xué)生可能會比較容易理解;相反，教師如果用抽象的方式表現(xiàn)出來，就會影響學(xué)生對問題的理解。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將材料所給的信息靈活轉(zhuǎn)化為具體、直觀的表征信息。

例如，在△ABC中，邊長a∶b∶c = 2∶3∶4，試判斷三角形的形狀。思考：本題所給信息量不多，但需要學(xué)生從中挖掘出有效信息并轉(zhuǎn)化為可直接用于解決問題的知識。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考解三角形中的余弦定理，本題中只需求出最大角即可，而最大角即為最長邊所對的角。解題方法：設(shè) a=2k，b=3k，c=4k，由余弦定理可得所以∠C為鈍角，△ABC為鈍角三角形。上述例子中，教師將材料所給的內(nèi)容加工分析后，形成與學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)相關(guān)的內(nèi)容，很好地幫助學(xué)生解決了問題。

最后，教師的講解方式。教師在知識講解的過程中要注意使用正確的方式方法，教師的講解不應(yīng)局限于對某一具體知識的描述與解釋，而應(yīng)具有啟發(fā)性和引導(dǎo)性，不僅要讓學(xué)生明白怎么做，還要讓學(xué)生明白為什么這么做，是否還存在更好的解決方法，幫助學(xué)生正確建立起知識所包含的各概念之間，以及新學(xué)知識與已有知識之間的聯(lián)系。需要注意的是，在教學(xué)中，教師的教學(xué)語言應(yīng)深入淺出、通俗易懂。

總之，影響知識理解的因素還有很多，如學(xué)生的性格特征、情緒心理、學(xué)習(xí)氛圍等，這就需要教師在平時的教學(xué)中反思總結(jié)、因材施教，用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法幫助學(xué)生積極構(gòu)建自身的知識體系，從而使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識。

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