問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下高中三角函數(shù)概念教學(xué)策略

羅新春

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求和挑戰(zhàn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和主動(dòng)探究的能力、鍛煉學(xué)生動(dòng)手操作的能力等成為教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。因此，探究出一種能夠培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的教學(xué)模式尤為重要。文章主要以高中三角函數(shù)概念教學(xué)為例，通過(guò)轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，在概念課堂中不再直接講述知識(shí)點(diǎn)，引入相對(duì)民主、愉快的問(wèn)題探究教學(xué)方式，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，從而實(shí)現(xiàn)課堂的改革。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng);高中三角函數(shù);概念教學(xué);策略探究

一、學(xué)生參與定義，感受定義的合理性

問(wèn)題的設(shè)置需要學(xué)生的參與和互動(dòng)，讓學(xué)生嘗試建立用終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)定義任意三角函數(shù)或者理解任意角三角函數(shù)的定義域能夠達(dá)到教學(xué)的目的。這時(shí)教師在三角函數(shù)概念教學(xué)中借助幾何畫板軟件，對(duì)角的終邊位置進(jìn)行變化，以便讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到任意角的位置變化，進(jìn)而理解三角函數(shù)值變化的特征，了解函數(shù)的本質(zhì)，加深對(duì)三角函數(shù)概念的理解。通過(guò)設(shè)置6個(gè)問(wèn)題，環(huán)環(huán)相扣下，增強(qiáng)教學(xué)的效果。

問(wèn)題1：教師在畫板上畫出銳角α，求出sinα、cosα、tanα的近似值。

教師在畫出銳角后，鼓勵(lì)學(xué)生自己畫出任意銳角，并借助三角板畫出直角三角形，度量角α的斜邊長(zhǎng)或者對(duì)邊長(zhǎng)，計(jì)算出相應(yīng)的比值，學(xué)生通過(guò)之前所學(xué)的銳角三角函數(shù)，再計(jì)算和思考過(guò)程。教師提出“你們針對(duì)這一問(wèn)題發(fā)現(xiàn)了什么？”學(xué)生回答道“與點(diǎn)的位置選取沒(méi)有直接的關(guān)系”，進(jìn)一步加深了對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解。

問(wèn)題2：你們能否把某條線段畫成單位長(zhǎng)計(jì)算出三角函數(shù)的值？

學(xué)生為了解答教師這一問(wèn)題，自主開(kāi)展畫圖操作，計(jì)算出比值，很快一些學(xué)生將斜邊畫成單位長(zhǎng)，計(jì)算出了比值。這種方法也為后續(xù)開(kāi)展任意角三角函數(shù)的單位圓定義法做好了鋪墊。

在勾起學(xué)生的注意力后，教師緊接著提問(wèn)：“三角函數(shù)意義上就是三個(gè)三角函數(shù)嗎？”在教師問(wèn)題的引導(dǎo)下學(xué)生通過(guò)思考，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和分析問(wèn)題下，對(duì)三條邊進(jìn)行比較后得出六個(gè)比，針對(duì)其他三個(gè)三角函數(shù)，教師讓平時(shí)不愛(ài)回答問(wèn)題的學(xué)生進(jìn)行作答，激發(fā)起課堂的氛圍。學(xué)生們回答之后，教師對(duì)三角函數(shù)定義進(jìn)行“再創(chuàng)造”，利用幾何畫板轉(zhuǎn)動(dòng)另一條邊，能夠表現(xiàn)出任意角。

二、誘思探究式教學(xué)，凸顯學(xué)生的主體位置

初中學(xué)習(xí)到了銳角三角函數(shù)，對(duì)于如何定義的，用角終邊上的點(diǎn)表示三角函數(shù)，求出任意角三角函數(shù)的定義等學(xué)生已經(jīng)能夠獨(dú)立地完成，再以小組為單位進(jìn)行思考和作答后，在課堂中構(gòu)建起問(wèn)題情境，探索新知。

問(wèn)題探究：“若已知α的終邊上任意點(diǎn)P坐標(biāo)為（X，Y）”，求得三角函數(shù)的定義？

在平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)設(shè)α為任意角，它的終邊與單位圓相交于P（x，y），如表1所示：學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，針對(duì)sinα=y，cosα=x，tanα=x運(yùn)用圖標(biāo)的方式表達(dá)出來(lái)，正確、直面地理解三角函數(shù)。

在了解定義域和三角函數(shù)的定義后，教師為了進(jìn)一步誘導(dǎo)學(xué)生理解三角函數(shù)，總結(jié)出了相應(yīng)的誘導(dǎo)公式，讓學(xué)生借助誘導(dǎo)公式能夠舉一反三，分析典型的案例和采用跟蹤聯(lián)系的方式，解答問(wèn)題。如圖1和圖2所示：

由此可見(jiàn)，三角函數(shù)概念教學(xué)過(guò)程中通過(guò)采用講練結(jié)合或者分組探究的方式等，并運(yùn)用單位圓探究任意角三角函數(shù)的概念，能夠提升學(xué)生靈活運(yùn)用的能力，幫助學(xué)生進(jìn)一步深化概念的理解，為之后的學(xué)習(xí)和課題的訓(xùn)練等做好充分地準(zhǔn)備。

三、幫帶和趣味教學(xué)的方式，增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力

通過(guò)對(duì)比之前學(xué)習(xí)過(guò)的銳角三角函數(shù)，能夠讓學(xué)生對(duì)知識(shí)開(kāi)展類比、遷移或者聯(lián)想，挖掘出學(xué)生探索的信息和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，讓學(xué)生在交流和互動(dòng)中加深概念的理解。

首先，當(dāng)學(xué)生隨意地轉(zhuǎn)動(dòng)OP時(shí)，理解到角的任意性。其次，教師鼓勵(lì)學(xué)生自主地理解解題思路，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)趣味情境，讓學(xué)生結(jié)合圖片中展示的圖像（數(shù)學(xué)家喜帕恰斯），以吸引學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生深刻感受到三角函數(shù)在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用。然后教師讓學(xué)生分析三角函數(shù)概念的發(fā)展歷史，通過(guò)PPT展示，對(duì)三角函數(shù)概念形成的發(fā)展階段進(jìn)行分析，生1：“我們?cè)诔踔须A段學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，原來(lái)最初的時(shí)候是角所對(duì)的圓弧而不是邊長(zhǎng)。”生2：“三角函數(shù)主要起源于天文學(xué)家，其比較神奇?！苯處煟骸拔覀兗热粚?duì)三角函數(shù)的概念發(fā)展過(guò)程予以了解后，誰(shuí)能夠總結(jié)任意角三角函數(shù)的概念呢？”教師在結(jié)合數(shù)學(xué)史史料分析三角函數(shù)的概念時(shí)，能夠讓學(xué)生以一個(gè)嶄新的視角分析相關(guān)概念，幫助學(xué)生高度主動(dòng)參與到課堂中來(lái)，為新課的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

其次，為了能夠進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，讓不同層次學(xué)生都能夠有所提高，教師組織學(xué)生開(kāi)展幫帶活動(dòng)，即讓一些學(xué)習(xí)好的學(xué)生幫助基礎(chǔ)較差的學(xué)生，再做教師布置的作業(yè)：已知角A終邊上一點(diǎn)（-b，4），且cosA=-，求出b的值。學(xué)生在練習(xí)的過(guò)程中，由優(yōu)秀的學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，基礎(chǔ)較差的學(xué)生進(jìn)行板演，教師再對(duì)學(xué)生的解答提出建設(shè)性的建議，幫助學(xué)生充分理解三角函數(shù)的概念，感受到三角函數(shù)的概念和定義，而在解答的過(guò)程中，為了能夠讓學(xué)生復(fù)習(xí)所學(xué)習(xí)到的三角函數(shù)定義，以提問(wèn)的方式讓學(xué)生開(kāi)展搶答，即1為全正，2為正弦，3為正切，4為余弦，通過(guò)總結(jié)這些口訣，加深理解。同時(shí)，教師也可以借助超級(jí)畫板通過(guò)動(dòng)態(tài)化的演示等，幫助學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)予以直觀地理解，通過(guò)PPT的展示，幫助學(xué)生了解到判斷角終邊落在哪一個(gè)象限上，熟記三角函數(shù)，加深學(xué)生對(duì)于這部分知識(shí)的理解和體會(huì)。

最后，為了能夠讓學(xué)生充分了解三角函數(shù)的概念，增強(qiáng)自身數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的能力，教師提出問(wèn)題：“三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的定義域、三角函數(shù)的符號(hào)、三角函數(shù)的求解、三角函數(shù)的思想方法有哪些？”目的是讓學(xué)生通過(guò)總結(jié)，掌握本節(jié)所學(xué)習(xí)到的知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生總結(jié)后，教師給出適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充和完善，學(xué)生在教師補(bǔ)充和互動(dòng)交流下，共同總結(jié)和探索下，營(yíng)造自主、愉快的高中數(shù)學(xué)課堂氛圍，讓學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)定義的學(xué)習(xí)產(chǎn)生認(rèn)知，并在之后的解答中更加主動(dòng)、積極，增強(qiáng)課堂教學(xué)的效果。

四、鞏固練習(xí)，問(wèn)題探究中熟練應(yīng)用新知

為了能夠讓學(xué)生充分理解三角函數(shù)概念，教師通過(guò)采用鞏固練習(xí)的方式，對(duì)新知進(jìn)行探究。其中課上的教學(xué)探究發(fā)揮著重要作用，而課下的鞏固和練習(xí)也尤為重要。教師通過(guò)應(yīng)用問(wèn)題討論的方式，結(jié)合互動(dòng)平臺(tái)幫助學(xué)生在課下練習(xí)時(shí)深刻了解三角函數(shù)的概念。

教師：我們?cè)诿靼兹呛瘮?shù)的概念后，對(duì)如何應(yīng)用有些學(xué)生并不了解，這時(shí)我給大家展示練習(xí)題，通過(guò)練習(xí)題的探究我們能否了解到相關(guān)的知識(shí)。即求的正弦、余弦和正切值。

生：這道題未免太簡(jiǎn)單了，只要將交點(diǎn)坐標(biāo)找到就可以了，其他的解就很容易解答了。

師：交點(diǎn)坐標(biāo)找到后我們要建立直角坐標(biāo)系，自主地分析和探究（學(xué)生在做題時(shí)，教師需要時(shí)刻監(jiān)督學(xué)生，針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)或完成的情況等進(jìn)行及時(shí)的溝通和交流）。

生1：學(xué)生在互動(dòng)平臺(tái)中分享自己的計(jì)算結(jié)果，并勇敢地說(shuō)出和分享自己的計(jì)算結(jié)果。即sin=-，cos=，tan=。

生2：為什么我的計(jì)算結(jié)果不是這樣的，sin60°算成。

師：我覺(jué)得你應(yīng)該是太粗心了，在三角函數(shù)的計(jì)算時(shí)需根據(jù)口訣或公式等進(jìn)行計(jì)算，這樣就不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤了。

生1：做題時(shí)一定要認(rèn)真做題，計(jì)算出相關(guān)問(wèn)題。

生2：我已經(jīng)算出來(lái)，sin=-，cos=-，tan=。

師：接下來(lái)我們來(lái)計(jì)算出以下內(nèi)容，對(duì)這道題進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，加深學(xué)生對(duì)定義的理解，通過(guò)例題的講解，領(lǐng)悟任意三角函數(shù)的概念。如針對(duì)已經(jīng)角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0（-3，-4）求出角的正弦、余弦和正切值。你們還能夠利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行問(wèn)題的探究嗎？

生：第一象限為案例進(jìn)行分析，設(shè)第一象限中點(diǎn)的坐標(biāo)為（X，Y），正弦值或者余弦值正切值都為正，第二象限和第四象限同樣采取這種方法。

教師在了解學(xué)生的解題思路后，能夠基本上了解學(xué)生知識(shí)掌握程度，教師在給出答案后，學(xué)生借助互動(dòng)平臺(tái)，開(kāi)展問(wèn)題的討論和分析，這種方法運(yùn)用到三角函數(shù)的概念解析中，能夠增強(qiáng)學(xué)生的理解，對(duì)于新知的學(xué)習(xí)和探究更感興趣。尤其是課后練習(xí)中的互動(dòng)、交往和知識(shí)拓展等，都能夠增強(qiáng)學(xué)生的理解。

結(jié)束語(yǔ)

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的高中三角函數(shù)教學(xué)策略探究為開(kāi)啟新的教學(xué)路徑，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)以直接講述概念的不足，全面調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，在操作和實(shí)踐中增強(qiáng)了自身的創(chuàng)造性，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為更好理解三角函數(shù)概念、解答三角函數(shù)概念、應(yīng)用三角函數(shù)概念等提供了重要保障。

參考文獻(xiàn)

[1]華志遠(yuǎn).落實(shí)“大概念”教學(xué)理念：對(duì)高中數(shù)學(xué)新教材中三角函數(shù)定義變更的思考與教學(xué)[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（1）：72-75.

[2]吳建洪.返璞歸真：談新舊教材中的“三角函數(shù)”概念教學(xué)[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2020（8）：6-8.

[3]胡鳳.高中三角函數(shù)單元教學(xué)的理論與實(shí)踐研究[D].四川師范大學(xué)，2020.

[4]姚暉.如何學(xué)習(xí)高中三角函數(shù)的概念[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2019（21）：8-9.

[5]張芮歌.數(shù)學(xué)史融入三角函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].哈爾濱師范大學(xué)，2019.