帶脈沖毒素的隨機三種群模型的動力學(xué)分析

高永馨，王娜娜

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

隨著環(huán)境污染日益嚴(yán)重，很多學(xué)者利用數(shù)學(xué)模型研究毒素對生物種群的影響[1-2]，一般都假設(shè)毒素的排放是連續(xù)的。然而，在實際情況中毒素是每隔一段時間排放的，這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中稱為脈沖，故應(yīng)采用脈沖排放毒素代替連續(xù)排放[3]。文獻[4]研究了污染環(huán)境下脈沖投放毒素對生態(tài)系統(tǒng)的影響，且得到當(dāng)脈沖周期小于某一臨界值時，種群就會滅絕，在此過程中，種群數(shù)量將逐漸減少，因而受隨機因素影響會越來越大，得到的閾值將會和實際情況不符，因而確定性模型難以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)狀態(tài)，但隨機模型更具有合理性。Bahar 等[5]研究隨機時滯Lotka-Volterra 模型，表明白噪聲不僅可抑制種群爆炸，同時可使模型的解隨機有界。Liu 等[6]討論了非自治系統(tǒng)在隨機擾亂下生存與滅絕的閾值，并研究隨機干擾下系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。隨機干擾成為目前的研究熱點，但相關(guān)研究成果[7-8]，主要針對單種群和兩種群，對帶有脈沖毒素的隨機三種群模型研究較少。在真實環(huán)境中，三種群及三種群以上的捕食與被捕食關(guān)系更為普遍[9]，增加研究種群的數(shù)目，會相應(yīng)增加模型的擬合程度和研究難度。因此，考慮帶有脈沖毒素的2 食餌1 捕食者的三種群隨機模型，通過研究在脈沖毒素和隨機干擾下三種群的動力學(xué)行為，進而探究在某環(huán)境區(qū)域內(nèi)對人類活動所造成影響的最大容納量，以保證以該地區(qū)為主要生存地的種群能持續(xù)生存，為后續(xù)研究多種群生態(tài)模型提供參考。

1 模型構(gòu)建

依賴于被捕食者和食餌密度的Beddington-DeAngelis 功能反應(yīng)，在低密度狀態(tài)下，更加符合實際的生態(tài)系統(tǒng)。文獻[10]建立帶Beddington-DeAngelis 功能性反應(yīng)的2 食餌1 捕食者確定性模型（系統(tǒng)1），即

其中：初值滿足xi（0）＞0，i=1，2，y（0）＞0；xi（t）為食餌在t 時刻的規(guī)模，i=1，2；y（t）為捕食者在t 時刻的規(guī)模；r1，r2和r3分別為種群x1（t），x2（t）和y（t）的內(nèi)稟增長率；aij分別為種群x1（t），x2（t）和y（t）的種內(nèi)競爭系數(shù)，i，j=1，2，3；a12，a21分別為兩類食餌種群間的競爭系數(shù)別為捕食者y（t）對食餌x1（t）和x2（t）的Beddington-DeAngelis 功能反應(yīng)，其中，m1，n1為環(huán)境容納度；m2，n2為捕食者對食餌x1（t），x2（t）的飽和作用，m3，n3分別為食餌x1（t）之間、食餌x2（t）之間的相互作用；a13，a23為捕食者y（t）對食餌x1（t），x2（t）的捕獲率；a31，a32為捕食者y（t）對食餌x1（t），x2（t）的轉(zhuǎn)化率；所有系數(shù)均為正常數(shù)。

環(huán)境中連續(xù)的隨機干擾可由白噪聲描述，即用ri+αi（B˙i）（t）代替ri。其中，（B1，B2，B3）T是定義在完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上有相互獨立分量的{Ft}t＞0可適應(yīng)的三維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。毒素攝入可用脈沖方程[3-4]表述。因此，將白噪聲與脈沖毒素考慮進系統(tǒng)1，可得以下隨機三種群模型（系統(tǒng)2）為

其中：初值滿足條件xi（0）＞0，i=1，2，y（0）＞0；σi（t）為噪聲強度，i=1，2，3；Ce（t）為環(huán)境中毒素的濃度；h為在t 時刻毒素的損失率；τ 為脈沖輸入周期；u 是脈沖輸入量；li為食餌與捕食者對環(huán)境毒素的劑量反應(yīng)，i =1，2，3。

2 符號表示與相關(guān)引理

為了簡便，定義符號如下

引理1系統(tǒng)2 對于任意給定的初值（x1（0），x2（0），，當(dāng)t ＞0，存在唯一的全局正解（x1（t），

證明在t ＞0 上，對于任意給定的初值μ（0）=ln x1（t），v（0）=ln x2（t）和ω（0）=ln y（0）考慮以下方程

驗證上述方程均滿足局部Lipschitz 條件，因此，在t ＞0 上，方程存在唯一局部正解（μ（t），v（t），ω（t）），再利用伊藤公式，x1（t）=eμ(t)，x2（t）=ev(t)，y（t）=eω(t)是方程滿足初值條件x1（0）＞0，x2（0）＞0 和y（0）＞0 的解。

引理2設(shè)g（t）∈C（Ω×[0，∞），R+），其中，C（Ω×[0，∞），R+）為定義在Ω×[0，∞）上所有正值函數(shù)的集合簇[11]。

Ⅰ）如果存在常數(shù)T ＞0，λ0＞0，λ，σi和λi滿足

其中，對任意t≥T，則

Ⅱ）如果存在常數(shù)T ＞0，λ0＞0，λ，σi和λi滿足

其中，對任意t≥T，則

再考慮系統(tǒng)2 的脈沖毒素因素，將其獨立研究并作為系統(tǒng)2 的子系統(tǒng)3，即

引理3系統(tǒng)3 有唯一的τ-周期解Ce*（t），該解是全局自治穩(wěn)定的[12]，即

3 滅絕性與持久性

從引理3 可知，系統(tǒng)3 有一全局自治穩(wěn)定的τ-周期解Ce*（t），因此，系統(tǒng)2 的極限系統(tǒng)（系統(tǒng)4）可表示為

定理1對于系統(tǒng)4，有以下結(jié)論。

證明應(yīng)用伊藤公式到系統(tǒng)4，可得

據(jù)以上結(jié)論，對定理1 的結(jié)論分別證明。

證明Ⅰ利用式（5），可得

再根據(jù)式（7）可得到

證明Ⅱ由于通過證明Ⅰ可知x2（t）=0。

再利用式（5），可得

將引理2 中的證明Ⅰ和證明Ⅱ分別作用于式（10）和式（11），可得

將引理2 中的證明Ⅰ作用于式（12），當(dāng)〈λ3〉*＞時，有

從而可知，捕食者y（t）在時間平均意義下有上界。

4 結(jié)語

通過建立一類帶有脈沖毒素輸入的Beddington-DeAngelis 功能性反應(yīng)的隨機三種群模型，分析可發(fā)現(xiàn)脈沖毒素的輸入與白噪聲干擾都對種群的生存起著重要作用。由定理1 可知，是食餌x1（t）與x2（t）的生存閾值，i=1，2，當(dāng)食餌x1（t）與x2（t）都滅絕且當(dāng)時，食餌x1（t）在平均意義下強持久。是捕食者y（t）的生存閾值，且當(dāng)捕食者y（t）會滅絕。此外，當(dāng)捕食者y（t）在時間平均意義下有上界。

定理的結(jié)果客觀反映了生態(tài)系統(tǒng)中種群穩(wěn)定性存在的充分條件，利用定理的結(jié)論定性和定量估計脈沖毒素輸入及隨機干擾的情況下種群的生存風(fēng)險，制定最優(yōu)策略減少經(jīng)濟損失。