復(fù)合式六自由度平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析

董艇艦，武慶余，王亞楠

（中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

六自由度平臺(tái)是集機(jī)械、液壓、計(jì)算機(jī)控制、傳感檢測(cè)和實(shí)時(shí)信號(hào)處理于一體的經(jīng)典機(jī)電一體化系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)空間六個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)，廣泛應(yīng)用于飛機(jī)等交通工具的運(yùn)動(dòng)模擬[1]。飛行模擬機(jī)全動(dòng)臺(tái)經(jīng)典結(jié)構(gòu)采用六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化到只有6 個(gè)作動(dòng)筒，但其運(yùn)動(dòng)耦合和復(fù)雜計(jì)算所要求的高精密控制系統(tǒng)，極大提升了制造成本。此外平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)空間范圍（角度小于30°）和平臺(tái)高度的限制（≥2 m），使得昂貴的全動(dòng)臺(tái)只適合特定專業(yè)場(chǎng)合，普及度不高。傳統(tǒng)的六自由度平臺(tái)改進(jìn)研究局限于并聯(lián)機(jī)構(gòu)架構(gòu)下布局和尺寸的改進(jìn)，而混聯(lián)式六自由度平臺(tái)可顯著提高平臺(tái)工作空間，文獻(xiàn)[2]在并聯(lián)六自由度平臺(tái)的基礎(chǔ)上，加裝回轉(zhuǎn)裝置，實(shí)現(xiàn)了360°回轉(zhuǎn)。文獻(xiàn)[3]將三維線運(yùn)動(dòng)與三維角運(yùn)動(dòng)相拆分，設(shè)計(jì)了一種混聯(lián)式六自由度平臺(tái)，擴(kuò)大了平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)范圍。文獻(xiàn)[4]利用混聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角可以疊加、轉(zhuǎn)動(dòng)空間不受位置空間影響的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種滿足大姿態(tài)、大轉(zhuǎn)角要求的4PRPaRR-3RRR 型混聯(lián)六自由度平臺(tái)。文獻(xiàn)[5-7]也設(shè)計(jì)了其他類型的混聯(lián)六自由度平臺(tái)。上述設(shè)計(jì)雖提升了平臺(tái)工作空間，但依然存在并聯(lián)機(jī)構(gòu)本身固有的位置正解困難、系統(tǒng)耦合性高、控制復(fù)雜以及由此導(dǎo)致的研發(fā)成本高等問題，此外文獻(xiàn)[4]的設(shè)計(jì)還存在機(jī)構(gòu)占地空間大的缺點(diǎn)。

基于上述缺陷，設(shè)計(jì)一種運(yùn)動(dòng)空間大、體積小、控制簡(jiǎn)單、研發(fā)成本低的六自由度平臺(tái)，以滿足模擬飛行教學(xué)，且具有良好研究?jī)r(jià)值和市場(chǎng)應(yīng)用前景。該復(fù)合式六自由度平臺(tái)綜合考慮了剪叉機(jī)構(gòu)、回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)、鉸鏈機(jī)構(gòu)和絲杠導(dǎo)軌的運(yùn)動(dòng)特性，將傳統(tǒng)的簡(jiǎn)單機(jī)構(gòu)組合構(gòu)成復(fù)合式運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，運(yùn)用獨(dú)立串聯(lián)控制實(shí)現(xiàn)升降、回轉(zhuǎn)、平動(dòng)、俯仰和橫滾全部姿態(tài)控制。

1 平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

驅(qū)動(dòng)方式選擇是平臺(tái)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)之一，在一定程度上影響平臺(tái)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的承載能力、運(yùn)動(dòng)精度、快速性等運(yùn)動(dòng)指標(biāo)。常用的驅(qū)動(dòng)方式有液壓、氣壓和電動(dòng)，電驅(qū)動(dòng)去除了液壓驅(qū)動(dòng)中液壓油的成本，沒有復(fù)雜的管路和液壓閥，無須冷卻系統(tǒng)，大大降低了成本[8]。平臺(tái)負(fù)載設(shè)計(jì)為150 kg，首選電驅(qū)動(dòng)，功率易于保障，易于維護(hù)保養(yǎng)，無環(huán)境污染。平臺(tái)立體結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 復(fù)合式六自由度平臺(tái)立體結(jié)構(gòu)Fig.1 3D structure of composite six-DOF platform

平臺(tái)包括平移機(jī)構(gòu)、回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)、升降機(jī)構(gòu)和翻滾機(jī)構(gòu)，其工作原理為：x 軸電機(jī)和y 軸電機(jī)分別驅(qū)動(dòng)對(duì)應(yīng)絲杠，使平臺(tái)在相應(yīng)導(dǎo)軌上移動(dòng)，平臺(tái)實(shí)現(xiàn)沿x 軸和y 軸方向的平移。z 軸電動(dòng)缸驅(qū)動(dòng)剪叉機(jī)構(gòu)，通過剪叉機(jī)構(gòu)的升降，平臺(tái)實(shí)現(xiàn)沿z 軸方向的平移。z 軸電機(jī)帶動(dòng)回轉(zhuǎn)支承旋轉(zhuǎn)，平臺(tái)實(shí)現(xiàn)繞z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。x 軸電動(dòng)缸伸縮，驅(qū)動(dòng)平臺(tái)滾轉(zhuǎn)，平臺(tái)實(shí)現(xiàn)繞x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。y 軸電動(dòng)缸伸縮，驅(qū)動(dòng)平臺(tái)俯仰，平臺(tái)實(shí)現(xiàn)繞y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

2 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

運(yùn)動(dòng)學(xué)分析有正反兩種求解思路，其中正解是已知連桿幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)變量，求解末端執(zhí)行器相對(duì)參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。反解是已知連桿的幾何參數(shù)和末端執(zhí)行器相對(duì)參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)，求解機(jī)構(gòu)達(dá)到期望位姿所需的關(guān)節(jié)變量。采用D-H 參數(shù)法[9]作運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，首先建立連桿坐標(biāo)系和連桿參數(shù)表，用于描述相鄰連桿間的各種關(guān)系，運(yùn)用矩陣運(yùn)算和齊次變換建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。對(duì)于坐標(biāo)系{n}，其原點(diǎn)和x 軸的方向可以任意選取，在選取時(shí)應(yīng)盡量使連桿參數(shù)為0。平臺(tái)連桿坐標(biāo)系如圖2 所示。

圖2 平臺(tái)連桿坐標(biāo)系Fig.2 Link coordinate system of platform

由平臺(tái)連桿坐標(biāo)系圖，列出平臺(tái)的連桿參數(shù)表如表1 所示。

表1 平臺(tái)連桿參數(shù)Tab．1 Platform link parameters

將圖2 所示的連桿坐標(biāo)系{i}中定義的矢量轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)系{i-1}中描述的變換矩陣，即

式中：s，c 是sin 和cos 的縮寫。

由式（1）和表1 所示的連桿參數(shù)表，求得各連桿變換矩陣為

將各連桿變換矩陣相乘，得到運(yùn)動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系{6}到基準(zhǔn)坐標(biāo)系{0}的變換矩陣為

其中

式（8）即為復(fù)合式六自由度平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解，向量n，o，a 描述了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在基準(zhǔn)坐標(biāo)系{0}中的姿態(tài)，向量p 描述了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)原點(diǎn)在基準(zhǔn)坐標(biāo)系{0}中的位置。為校驗(yàn)變換矩陣的正確性，將平臺(tái)初始位置d1=d2=0，θ3＝θ6＝0°，θ5＝90°，d4=170 等代入式（8）得

結(jié)果與平臺(tái)初始位姿完全一致，計(jì)算結(jié)果正確。

平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，即式（8）中的向量n，o，a，p 為已知，求解各輸入變量θ3，θ5，θ6，d1，d2，d4。反解主要有幾何和代數(shù)兩種解法，此處采用代數(shù)解法，從運(yùn)動(dòng)學(xué)方程入手，求平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，得到相對(duì)應(yīng)的連桿參數(shù)。式（8）中矩陣元素一一對(duì)應(yīng)，可得平臺(tái)各輸入變量如表2 所示。

表2 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解輸入變量Tab.2 Input variables of platform kinematics inverse solution

3 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

3.1 模型建立

采用SolidWorks 進(jìn)行三維建模，將模型導(dǎo)入ADAMS 進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，提高仿真精度。首先根據(jù)部件形狀和尺寸，在SolidWorks 中利用拉伸、旋轉(zhuǎn)、掃描等特征創(chuàng)建方式建立各零件的模型。為保證導(dǎo)入到ADAMS 中的模型方向正確，裝配時(shí)應(yīng)注意選取正確的坐標(biāo)系。為方便裝配，將平臺(tái)裝配成若干個(gè)子裝配體，采用自底而上的裝配方法，由子裝配體的裝配完成整個(gè)產(chǎn)品的總裝配。全部裝配完成后，須做干涉檢查，以確保裝配體在無干涉情況下作模擬仿真工作。平臺(tái)SolidWorks 模型如圖3 所示。

圖3 平臺(tái)SolidWorks 模型Fig.3 SolidWorks model of platform

圖4 平臺(tái)ADAMS 模型Fig.4 ADAMS model of platform

3.2 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析

設(shè)置仿真時(shí)間10 s，步長(zhǎng)1 000。仿真完畢后，進(jìn)入后處理模塊，得到運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在x，y，z 方向上的位移-時(shí)間，速度-時(shí)間，角速度-時(shí)間，加速度-時(shí)間，角加速度-時(shí)間曲線分別如圖5～圖9 所示。

由以上仿真結(jié)果可以得出如下結(jié)論。

圖5 平臺(tái)位移-時(shí)間Fig.5 Platform displacement vs.time

圖6 平臺(tái)速度-時(shí)間Fig.6 Platform speed vs.time

圖7 平臺(tái)角速度-時(shí)間Fig.7 Platform angular velocity vs.time

圖8 平臺(tái)加速度-時(shí)間Fig.8 Platform acceleration vs.time

模型導(dǎo)入后，驗(yàn)證模型正確性，編輯構(gòu)件的名稱、顏色、位置、材料等屬性信息。由于導(dǎo)入后各零部件間的配合關(guān)系失效，需在ADAMS 中重新添加運(yùn)動(dòng)副，在添加運(yùn)動(dòng)副之前，用布爾加將質(zhì)量屬性相同且無相對(duì)運(yùn)動(dòng)的零部件合為一體。

平臺(tái)實(shí)際運(yùn)動(dòng)要經(jīng)過加速、勻速、減速和靜止4個(gè)階段。根據(jù)這一特點(diǎn)，采用STEP 階躍函數(shù)控制平臺(tái)各運(yùn)動(dòng)階段，其格式為STEP（x，x0，h0，x1，h1），其中：x表示時(shí)間，x0，x1表示運(yùn)動(dòng)初始時(shí)間和運(yùn)動(dòng)終止時(shí)間，h0，h1是對(duì)應(yīng)初始時(shí)間和終止時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式[10]。根據(jù)平臺(tái)各方向的最大位移、速度、角速度、加速度和角加速度要求，添加相應(yīng)STEP 驅(qū)動(dòng)函數(shù)，完成平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型建立，如圖4 所示。

圖9 平臺(tái)角加速度-時(shí)間Fig.9 Platform angular acceleration vs.time

1）平臺(tái)位移-時(shí)間曲線大致呈周期性、中心對(duì)稱分布，說明平臺(tái)可重復(fù)多次完成同一位姿。由曲線的縱軸可得出平臺(tái)在3 個(gè)方向的最大線位移分別為501.65 mm、253.28 mm、255.36 mm，平臺(tái)工作空間較Stewart 結(jié)構(gòu)的六自由度平臺(tái)有了大幅度提高[11]。t=0時(shí)，Δdx和Δdz均為0，Δdy為一常數(shù)，這一向量[Δdx，Δdy，Δdz]T與式（8）所求平臺(tái)初始狀態(tài)的位置向量p 相一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正確性。

2）平臺(tái)速度-時(shí)間和角速度-時(shí)間曲線大致呈周期性分布，曲線連續(xù)平滑，無明顯運(yùn)動(dòng)突變，3 個(gè)方向的速度均遵循加速-勻速-減速的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，說明運(yùn)動(dòng)平臺(tái)各方向運(yùn)動(dòng)特性良好。

3）平臺(tái)加速度-時(shí)間和角加速度-時(shí)間曲線無明顯突變，說明平臺(tái)加減速特性良好，運(yùn)動(dòng)時(shí)無巨大的沖擊載荷。平臺(tái)加速度和角加速度變化范圍大，可提供較大的加速度體驗(yàn)，且平臺(tái)各個(gè)方向的最大加速度和角加速度均符合設(shè)計(jì)要求。較大的加速度需要更大的扭矩和更高的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，因此，該曲線也為平臺(tái)電動(dòng)缸的選擇、優(yōu)化設(shè)計(jì)和強(qiáng)度校核提供了依據(jù)。

在平臺(tái)添加一測(cè)量點(diǎn)，得到平臺(tái)3 個(gè)方向的最大角位移分別為31.8°、360°、33.51°。參考同規(guī)格并聯(lián)六自由度平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)[11]，對(duì)比復(fù)合式六自由度平臺(tái)和并聯(lián)六自由度平臺(tái)工作空間如表3 所示。

表3 兩種平臺(tái)工作空間對(duì)比Tab.3 Workspace comparison between two platforms

可以看出該平臺(tái)的工作空間較并聯(lián)式有了大幅提升，3 個(gè)方向的線位移分別提升了100.66%、1.31%、41.87%，3 個(gè)方向的角位移分別提升了59.15%、2150%、52.32%。此外可以通過增加導(dǎo)軌、絲杠的長(zhǎng)度，進(jìn)一步提高平臺(tái)的工作空間。

4 結(jié)語

采用D-H 參數(shù)法建立平臺(tái)連桿坐標(biāo)系，求得平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)基本方程和正反解。利用SolidWorks 建立平臺(tái)三維模型，導(dǎo)入ADAMS 作運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真與分析，得到了平臺(tái)位移、速度、角速度、加速度、角加速度隨時(shí)間變化的曲線。結(jié)果表明：復(fù)合式六自由度平臺(tái)的工作空間較并聯(lián)式有了大幅提升；平臺(tái)具有良好的運(yùn)動(dòng)特性，驗(yàn)證了平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性。該仿真結(jié)果也為平臺(tái)驅(qū)動(dòng)裝置選型計(jì)算、后期優(yōu)化設(shè)計(jì)和強(qiáng)度校核提供了參考依據(jù)。