“三用”視域下的數(shù)學(xué)建模教學(xué)

李昌官

[摘要]“三會”是高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，“三用”是實現(xiàn)目標(biāo)的途徑與方式。以《2017版課標(biāo)》的“包裝彩繩”教學(xué)為例，探索如何在“三用”統(tǒng)領(lǐng)下按數(shù)學(xué)建模的基本步驟展開數(shù)學(xué)建模教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]“三會”;“三用”;數(shù)學(xué)建模;“包裝彩繩”教學(xué)

1 “三會”“三用”與數(shù)學(xué)建模

“三會”是指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《2017版課標(biāo)》）提出的“會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”。它為數(shù)學(xué)教育指明了目標(biāo)與方向?！叭谩笔侵浮坝脭?shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”。“三會”是預(yù)期的目標(biāo)，它只能通過“三用”來達(dá)成，因此“三用”是實現(xiàn)“三會”的途徑與方式。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有意識地、深入地通過“三用”培養(yǎng)“三會”。

“數(shù)學(xué)建模活動是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程。”數(shù)學(xué)建模的顯性活動是“在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題”，但支撐顯性活動、確保顯性活動順利進(jìn)行的是隱性的“三用”。因此應(yīng)該用“三用”統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，并使之成為提升學(xué)生“三會”和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體。

2 學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

2.1 學(xué)習(xí)內(nèi)容的性質(zhì)與功能

《2017版課標(biāo)》指出：“數(shù)學(xué)建模活動是基于數(shù)學(xué)思維運(yùn)用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容?！薄鞍b彩繩”問題是指《2017版課標(biāo)》“教學(xué)與評價案例”中的案例27，它屬于“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”范疇，其實質(zhì)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和自主探究能力的載體。

2.2 學(xué)習(xí)內(nèi)容的內(nèi)涵與特點(diǎn)

“包裝彩繩”問題具有如下特點(diǎn)：（1）情境的真實性。題目的條件中既沒有字母，也沒有具體的數(shù)量，甚至長方體點(diǎn)心盒的長、寬、高都沒有給出;問題的目標(biāo)指向和解決問題的理由與依據(jù)——怎樣的包裝更節(jié)省彩繩，你同意這種說法嗎？請給出你的理由——也是高度生活化，現(xiàn)實性很強(qiáng)，因此該問題是真實情境中的真實問題，生活氣息比較濃。（2）問題的模糊性。由于是生活中的真實問題，并且問題的條件以圖示的形式給出，因此不僅問題的條件是模糊的，而且問題的許多細(xì)節(jié)也是模糊的，如，彩繩是否具有彈性以及要不要考慮彈性，圖l（1）的花樣捆扎（這里把圖l（1）的捆扎方式稱為“花樣捆扎”）是否要考慮彩繩與盒子之間的摩擦力等，都需要學(xué)生自己去理解和把握。另外，問題的目標(biāo)指向、解決的依據(jù)與程度也是模糊的。（3）問題解決思維的開放性。由于問題是真實的，問題的條件、目標(biāo)指向、解決思路與方法都是模糊的，因此整個問題具有較強(qiáng)的探究性，問題解決的思路與方法甚至結(jié)論都具有開放性。（4）問題解決手腦的互補(bǔ)性。一方面，把長方體盒子展開成平面圖形離不開思維的指引：另一方面，動手操作既有助于獲取問題的初步結(jié)論，也有助于突破問題解決的思維難點(diǎn)。

2.3 問題解決的策略與方法

從數(shù)學(xué)視角看，“包裝彩繩”問題的實質(zhì)是空間折線長度最短問題：解決問題的核心思想是降維、轉(zhuǎn)化。從教學(xué)視角看，它蘊(yùn)含著兩個小問題：一是證明花樣捆扎比十字捆扎更省繩：二是探索怎樣的花樣捆扎最省繩。此問題解決的策略與方法有：

一是抽象化、理想化。即既不考慮問題中與數(shù)學(xué)無關(guān)的屬性，如，制作彩繩與盒子的具體材料、彩繩的粗細(xì)等，又對相關(guān)對象作抽象化、理想化處理，如，把盒子抽象為長方體，把彩繩抽象為折線，彩繩是沒有彈性的，捆扎時盒子的形狀不會變形，把十字捆扎視作交叉的兩條彩繩互相垂直，彩繩垂直或平行于盒子的棱，等。另外，不考慮彩繩與盒子間的摩擦力，把“扎緊”理解為彩繩的平面展開圖是線段，也是理想化的表現(xiàn)。通過抽象化、理想化，把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

二是數(shù)量化、符號化。即通過用字母表示長方體盒子的長、寬、高、頂點(diǎn)和折線的連接點(diǎn)，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題。這種數(shù)量化、符號化既是計算和邏輯推理的需要。也是有序地把長方體的面展開成一個平面圖形、把彩繩展開為平面上折線的需要。更進(jìn)一步，必要的數(shù)量化與符號化既是提出與表達(dá)數(shù)學(xué)問題的需要，也是有效地論證和解決數(shù)學(xué)問題的需要。

三是降維、轉(zhuǎn)化。此問題的實質(zhì)是空間折線長度最短的問題，解決此問題的策略與方法的實質(zhì)是降維、轉(zhuǎn)化。即把三維問題（長方體中的折線長度問題）轉(zhuǎn)化為二維問題（平面內(nèi)折線長度問題），再把二維問題轉(zhuǎn)化為一維問題（兩點(diǎn)之間的線段問題）。

四是直觀想象、動手操作。直觀想象、動手操作是思辨論證的基礎(chǔ)。此問題中。初步結(jié)論和解決方法都可以通過直觀想象、動手操作來獲得，論證的思維難點(diǎn)可通過直觀想象、動手操作來突破。

2.4 問題解決的水平與層次

“包裝彩繩”問題的解決有如下三個水平與層次：

水平一：通過捆扎操作、測量比較得出結(jié)論：

水平二：將長方體盒子的面展開，把問題轉(zhuǎn)化為平面上折線長度問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題，最后得出一般性的結(jié)論;

水平三：思路清晰、表達(dá)準(zhǔn)確、論證合理，清楚所建立的數(shù)學(xué)模型的有效性與適用范圍，這里的數(shù)學(xué)模型主要是指長方體的面與彩繩的平面展開圖，以及兩點(diǎn)之間線段最段。

2.5 學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué)價值

“包裝彩繩”問題是一個學(xué)生熟悉的生活問題。它的解決蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)建模活動的全過程，因此它是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)建模基本步驟與方法、提升學(xué)生建模素養(yǎng)的有效載體。由于整個問題的解決，需要通過數(shù)學(xué)抽象和直觀想象把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;需要通過動手操作和直觀想象，尋找解決問題的路徑、方法，突破思維障礙與難點(diǎn);需要通過邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算，論證猜想和操作得到了初步結(jié)論：在得到初步結(jié)論后，需要根據(jù)實際情況對已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行反思與修正。因此“包裝彩繩”問題也是培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)和批判質(zhì)疑精神、動手實踐能力的有效載體，具有較高的教學(xué)價值。

3 學(xué)生認(rèn)知分析

學(xué)生熟悉“包裝彩繩”問題的生活背景，也具有一定的捆扎經(jīng)驗。他們有把空間上折線長度問題通過翻折轉(zhuǎn)化平面內(nèi)折線長度問題的經(jīng)驗。有利用兩點(diǎn)間線段最短求平面折線最小值的經(jīng)驗。由于數(shù)學(xué)教學(xué)長期存在“去頭去尾燒中段”現(xiàn)象，并且忽視數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究教學(xué)。同時由于學(xué)生習(xí)慣于獨(dú)立學(xué)習(xí)而不習(xí)慣于合作學(xué)習(xí)、習(xí)慣于紙筆演算而不習(xí)慣于動手實踐，因此他們在本節(jié)課學(xué)習(xí)中會遇到如下難點(diǎn)：

難點(diǎn)一：如何理解包裝彩繩問題。由于情境的真實性與模糊性，也由于學(xué)生習(xí)慣于解決常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，因此他們對問題情境、條件、目標(biāo)的理解可能會有一些困難。對此，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，舍棄情境中與數(shù)學(xué)無關(guān)的屬性：指導(dǎo)學(xué)生把現(xiàn)實問題理想化，如把彩繩視為沒有彈性的，把“拉緊”視為折線長度最短等。

難點(diǎn)二：如何把現(xiàn)實問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。對此，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生怎樣用數(shù)學(xué)眼光觀察世界。并強(qiáng)化抽象的過程，明確把現(xiàn)實中的“什么東西”抽象為數(shù)學(xué)中的“什么東西”，包括問題的目標(biāo)與求解的依據(jù)。

難點(diǎn)三：如何尋找解決問題的思路與方法。對此，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想相關(guān)經(jīng)驗，認(rèn)識到應(yīng)把表示彩繩的線段展開成平面圖形。把空間上折線長度問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)折線長度問題，再把平面內(nèi)折線長度最短問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間距離問題。

難點(diǎn)四：如何把表示彩繩的線段展開成平面折線。由于涉及的線段有8條，并且長方體的上、下2個面要各展開2次。因此即使知道應(yīng)把表示彩繩的線段展開成平面圖形，具體操作時仍會遇到較大的困難。對此，一應(yīng)緊緊抓住展開的線索（即彩繩）與兩個面的公共邊，確保長方體的面沿著彩繩有序展開：二應(yīng)通過把長方體的面和相應(yīng)的線段標(biāo)上字母。明確每個長方體的面和每條線段展開后所對應(yīng)的圖形：三是加強(qiáng)直觀想象、空間想象。

難點(diǎn)五：模型檢驗。由于學(xué)生對數(shù)學(xué)模型缺乏足夠的認(rèn)識，再加上他們反思、質(zhì)疑意識普遍比較淡薄，因此他們往往會忽視模型檢驗環(huán)節(jié)。對此，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從可能的各種實際情形出發(fā)，對已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行反思和檢驗。

4 學(xué)習(xí)目標(biāo)及其解析

《2017版課標(biāo)》規(guī)定的數(shù)學(xué)建模的課程目標(biāo)為：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)：學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗：認(rèn)識數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識和科學(xué)精神”。

結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容的性質(zhì)、定位，以及學(xué)生的實際，確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：

（1）學(xué)生能用數(shù)學(xué)眼光觀察“包裝彩繩”問題，對它進(jìn)行抽象化、理想化、數(shù)量化、符號化處理，從中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)：會用數(shù)學(xué)思維分析問題，尋找和建構(gòu)解決“包裝彩繩”問題的基本數(shù)學(xué)模型;會用數(shù)學(xué)語言（含圖形語言與符號語言）表達(dá)自己的思維過程，推導(dǎo)出數(shù)學(xué)結(jié)論;能對已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行檢驗與完善。

（2）學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模活動的基本過程與基本步驟，能借鑒這些基本過程與基本步驟解決相關(guān)的類似問題，積累數(shù)學(xué)建模活動的經(jīng)驗。

（3）學(xué)生能通過動手操作獲得問題的初步結(jié)論，形成解決問題的思路、方法與技術(shù)路線圖;能享受動手操作樂趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

（4）學(xué)生能感受和體會“包裝彩繩”問題解決背后的“三用”。提高對“三用”的認(rèn)識。

教學(xué)重點(diǎn)：“包裝彩繩”問題的解決：

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：如何建立與表達(dá)數(shù)學(xué)模型。

5 教學(xué)指導(dǎo)思想與教學(xué)支持條件分析

5.1 教學(xué)指導(dǎo)思想

充分把握“包裝彩繩”問題作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)載體的屬性，避免簡單的“就題論題”“就事論事”。更明確地說。是以“三會”為總的目標(biāo)和方向，以“三用”實現(xiàn)目標(biāo)的基本途徑與方式。以數(shù)學(xué)建模活動的基本步驟為思維主線，以教師指導(dǎo)下的學(xué)生自主探究、合作探究為基本學(xué)習(xí)方式：強(qiáng)化學(xué)生動手操作，有效突破難點(diǎn)，同時促進(jìn)學(xué)生更全面地發(fā)展。

5.2 教學(xué)支持條件分析

為了有效地幫助學(xué)生突破認(rèn)知難點(diǎn)，擬為學(xué)生提供如下教學(xué)支持條件：

一是可展開的長方體盒子，供學(xué)生動手操作;

二是兩條相同長短的繩子，供學(xué)生捆扎盒子，并比較花樣捆扎與十字捆扎用繩的多少：

三是矩形紙片，供學(xué)生用來包裝長方體盒子，探索用紙量最小問題：

四是多媒體和實物投影，用于探討把長方體盒子展開成平面圖形的過程與方法，展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果與存在問題。

6 教學(xué)過程設(shè)計

6.1 用數(shù)學(xué)眼光觀察。提出問題

情景l(fā) 羅素曾說：“當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時，數(shù)學(xué)就誕生了?！闭憬髮W(xué)蔡天新教授說：“在我們看來，數(shù)學(xué)的誕生或許要稍晚一些，是在人們從‘2只雞蛋加3只雞蛋等于5只雞蛋，2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢，等等中抽象出‘2+3：5之時?！庇纱耍覀兛梢钥闯觯簲?shù)學(xué)是通過舍棄物質(zhì)的非數(shù)學(xué)屬性，從數(shù)與形兩方面對現(xiàn)實世界進(jìn)行抽象得到的：我們應(yīng)善于用數(shù)學(xué)眼光觀察世界。

設(shè)計說明 （1）借助大師、大家的論述，簡要說明數(shù)學(xué)的起源，同時激發(fā)學(xué)生興趣。（2）引導(dǎo)學(xué)生用抽象的觀點(diǎn)與方法認(rèn)識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的關(guān)系。（3）為下面學(xué)習(xí)和問題解決做好鋪墊。

情境2春節(jié)期間，佳怡準(zhǔn)備去探望奶奶，到商店買了一盒點(diǎn)心。售貨員為她做了一個捆扎（如圖l（1）），并在角上配了一個花結(jié)。售貨員說，這樣的捆扎不僅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如圖l（2））包裝更節(jié)省彩繩。你同意這種說法嗎？請給出你的理由。

請猜測售貨員是怎樣得到這個結(jié)論的？并檢驗售貨員的結(jié)論。

設(shè)計說明 （1）猜測售貨員是通過動手操作得出結(jié)論。（2）學(xué)生動手操作驗證結(jié)論。（3）動手操作是必要的，但這是最低層次，是為后續(xù)數(shù)學(xué)活動做準(zhǔn)備的。

動手操作是發(fā)現(xiàn)、猜想結(jié)論的有效方法，但這種方法具有局限性。為了從更一般意義上、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟鉀Q這個問題，需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。你能將這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)嗎？

設(shè)計說明 （1）強(qiáng)化抽象的過程與方法：盒子——長方體：彩繩——折線：更節(jié)省彩繩——圖1（1）中折線（指粗體表示的線段）長小于圖l（2）中的折線長;給出你的理由——給出數(shù)學(xué)證明。（2）突破數(shù)學(xué)化的難點(diǎn)：圖1中既沒有字母，也沒有數(shù)量，而要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，就需要數(shù)量化、符號化。（3）在進(jìn)一步討論的基礎(chǔ)上，給出如下數(shù)學(xué)問題：

6.2 用數(shù)學(xué)思維思考，建立模型

從數(shù)學(xué)角度看，以上問題的實質(zhì)是什么？我們應(yīng)用怎樣的思路與方法解決？

設(shè)計說明 通過討論，明確：（1）以上問題的實質(zhì)是空間折線長度問題。（2）解決問題的基本思路是把三維的空間折線長度問題轉(zhuǎn)化為二維的平面折線長度問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一維的兩點(diǎn)間線段長度問題，這個思路的實質(zhì)是降維與轉(zhuǎn)化。（3）解決問題的具體方法是把長方體的面展開成平面圖形。（4）如果用代數(shù)的方法解決，由于點(diǎn)Z，F(xiàn)，G，H，I，J，K，M都是動點(diǎn)，因此將會出現(xiàn)許多變量。解決起來會非常困難。

請大家每4人一組，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，討論、探討怎樣把長方體的面展開成為平面圖形？展開過程的思路與方法又是什么？最后又怎樣解決問題？

設(shè)計說明 （1）先讓學(xué)生在實際展開中暴露困難，然后說自己的困難之所在。（2）針對學(xué)生不知該如何具體展開，指出：展開的目的是為了使彩繩成為平面上一條折線，由于展開后必有兩個面相連，因此應(yīng)“找公共邊、沿線逐步展開”：針對有2個面要展開2次，提醒學(xué)生充分利用空間想象，注意展開的邏輯順序。（3）各組展示、說明自己的思考過程與展開圖，教師作點(diǎn)評、校正。

6.3 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)。求解模型

前面已經(jīng)建構(gòu)了解決實際問題的數(shù)學(xué)模型——長方體各面與彩繩的平面展開圖，請對前面由實際操作得到結(jié)論給出數(shù)學(xué)解釋。

6.4 用批判精神反思，檢驗結(jié)果

上述數(shù)學(xué)模型一定合理嗎？所得的結(jié)論一定成立嗎？

設(shè)計說明 （1）提醒學(xué)生：數(shù)學(xué)建模應(yīng)充分考慮實際情況的復(fù)雜性與多樣性。應(yīng)該有一個反思與檢驗的環(huán)節(jié)。（2）前面得到的結(jié)論是在一定的情境和條件下成立。當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動時，這個結(jié)論是否仍然成立？圖4表明，這個結(jié)論不一定成立。（3）當(dāng)高大于長或?qū)挼臅r候（如圖5），上述結(jié)論又是否成立？圖6表明，這個結(jié)論也不一定成立。（4）動手操作表明，當(dāng)長方體的高大于長或?qū)挄r，采用花樣捆扎，彩繩拉緊時因會滑出而無法捆扎。

6.5 嘗試解決新問題，促進(jìn)遷移

實際問題 為了對某長方體盒子進(jìn)行防雨防潮處理，現(xiàn)用一種能防雨防潮的矩形薄膜對其進(jìn)行包裝，要求做到盒子表面全覆蓋，問怎樣包裝能使所用的矩形薄膜面積最?。ㄖ丿B或浪費(fèi)的也計人）？

設(shè)計說明 （1）把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：如圖7，設(shè)一個長方體的長、寬、高分別為a，b，c且o≥b≥c。若一個矩形能覆蓋這個長方體的表面展開圖，則這個矩形的最小面積為多少？（2）問題的實質(zhì)——使矩形面積最小問題，即重疊或浪費(fèi)部分最小。（3）方法的實質(zhì)——先把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再通過比較不同的展開方式與覆蓋方式，求矩形面積的最小值。（4）應(yīng)讓學(xué)生更多地進(jìn)行操作與實驗，因為“數(shù)學(xué)研究需要不斷的觀察和比較，它的主要武器之一是歸納。它經(jīng)常求助于實際的試驗與證實，同時它還對想象力與創(chuàng)造力進(jìn)行最好的訓(xùn)練”。（5）如圖7，使長方體底面的邊與矩形薄膜的邊平行或垂直，把長方體的各面展開成平面圖形。為了使浪費(fèi)的面積最小，以長為a，寬為b這個面積最大的長方體的面為基礎(chǔ)展開（如圖8）。（6）檢驗反思，是否存在另外的展開方式，使矩形面積最?。ㄈ鐖D9）？（7）學(xué)生活動：先獨(dú)立思考，再動手操作，然后小組合作討論，最后以小組為單位進(jìn)行全班展示與交流。（8）由于時間緊，該問題課內(nèi)無法完成，留給學(xué)生課外繼續(xù)探究。

6.6 以“三用”統(tǒng)領(lǐng)梳理。提煉升華

以師生討論、互動交流的形成進(jìn)行小結(jié)、梳理。

（1）討論、歸納數(shù)學(xué)建模活動的基本過程，形成圖10.

（2）揭示數(shù)學(xué)建模背后隱性的思維過程與思維方法，形成圖11，強(qiáng)調(diào)檢驗是數(shù)學(xué)建模必不可少的環(huán)節(jié)。

（3）數(shù)學(xué)建模的核心與關(guān)鍵是建立合理的數(shù)學(xué)模型，或者說，是借助數(shù)學(xué)模型解決實際問題：思維難點(diǎn)是建立合理的數(shù)學(xué)模型。

（4）數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)的意義與價值之所在，也是數(shù)學(xué)的力量之所在。

（5）動手操作、實驗探究既是發(fā)現(xiàn)初步結(jié)論的重要手段，也是發(fā)現(xiàn)解決問題思路與方法的重要手段，切不可忽視其意義與價值。

7 目標(biāo)達(dá)成檢測

（1）如圖12，現(xiàn)有一座圓錐形的小山，需要從山腳的甲村莊到其背面的山腰中點(diǎn)的乙村莊修建一條公路。如果山腳到山頂?shù)木嚯x為40km。山腳到其背面的山腳兩底端的距離為60km，如何修建路程最短？

（2）古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼（Eratosthenes，前275-前193）用下面的方法估算地球周長。他從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）夏至那天正午立竿無影;同樣在夏至那天，他所在城市、埃及北部的亞歷山大城，立桿可測得日影角大約為7讀（如圖13）。埃拉托色尼猜想造成這個差異因為地球是圓的，并且因為太陽距離地球很遠(yuǎn)（現(xiàn)代科學(xué)觀察得知，太陽光到達(dá)地球表面需要8'18"，光速300000km/s），太陽光平行照射在地球上。根據(jù)平面幾何知識，平行線內(nèi)錯角相等，因此日影角與兩地對應(yīng)的地心角相等。他又派人測得兩地距離大約為5000希臘里，約合800km，最后他估算地球周長約為40000km。你能猜測他的推理過程與方法嗎？

（3）為了對某長方體盒子進(jìn)行防雨防潮處理，現(xiàn)用一種能防雨防潮的矩形薄膜對其進(jìn)行包裝，要求做到盒子表面全覆蓋，問怎樣包裝能使所用的矩形薄膜面積最?。ㄖ丿B或浪費(fèi)的也計人）？