義務(wù)教育階段的直觀想象及培養(yǎng)

孔凡哲 教育學(xué)博士，中南民族大學(xué)教育學(xué)院副院長、二級教授、博士生導(dǎo)師，中南民族大學(xué)教育碩士學(xué)位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國高考數(shù)學(xué)命題專家，國家義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準研制組核心成員，高中數(shù)學(xué)課程標準研制組成員，教育部中學(xué)教師專業(yè)標準研制組成員、義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測專家、教育現(xiàn)代化縣級示范區(qū)評估專家、哲學(xué)社會科學(xué)重大重點項目評審專家;主持完成國家、省部級以上科研項目12項;出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學(xué)?？茖W(xué)研究（人文社會科學(xué)）優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第四屆全國教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第五屆全國教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎著作獎等獎項。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個人應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，直觀想象是其中的一種重要素養(yǎng)，因此數(shù)學(xué)課程標準把培養(yǎng)直觀想象列入課程目標。培養(yǎng)和發(fā)展中小學(xué)生的直觀想象既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所必需，又是學(xué)生未來生存和創(chuàng)造的基礎(chǔ)。

直觀想象指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形理解解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。直觀想象主要包括：借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象具體表現(xiàn)為：感悟?qū)嵨锱c圖形、圖形與圖形之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系;建立形與數(shù)之間的聯(lián)系;利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物。直觀想象的核心成分是“空間想象”和“幾何直觀”?？臻g想象涉及“圖形與幾何”的大部分內(nèi)容，在這些內(nèi)容的課程教學(xué)中，發(fā)展空間想象集中體現(xiàn)為“實像—抽象—想象—活動”四要素，而幾何直觀幾乎涉及所有數(shù)學(xué)課程內(nèi)容。發(fā)展幾何想象需要統(tǒng)籌滲透，集中培養(yǎng)。

一、把握“實像—抽象—想象—活動”四要素，發(fā)展空間想象

第一，實像——幾何操作。這里的操作，既可以是實物操作，也可以是模擬場景下的操作，還可以是抽象層面的操作。例如：

【案例1】 小貓、猴子、長頸鹿到好朋友大象家做客，看到客廳的擺件臺（全貌圖如圖1所示）。你認為3幅圖分別是誰看到的畫面？為什么？

[分析] 小貓、猴子、長頸鹿的身高決定了其觀察的視角——長頸鹿是俯視，猴子是平視，小貓是仰視。俯視是上面的圖形顯得大、下層的東西顯得小，而且能看到第一層擺臺的上面;平視只能看到中間擺臺的一條棱和第一層擺臺的底面;仰視只能看到擺臺第一層的底，而看不到第一層的上面。所以，圖2是猴子看到的畫面，圖3是小貓看到的畫面，圖4是長頸鹿看到的畫面。

第二，抽象，包括幾何概念的抽象、圖形的抽象、圖形性質(zhì)的探討。首先，這里包含幾何概念的抽象過程。例如：“角”的概念的抽象過程——讓學(xué)生親身經(jīng)歷“從一點出發(fā)的兩條射線所圍成的圖形就是角”。其次，經(jīng)歷從大量生活原型中抽象出結(jié)論的過程，既是發(fā)展圖形抽象能力，也是空間想象的形成過程。不僅如此，操作之中的想象與想象之后的操作驗證，都是空間想象形成所必需的。先想象一下，再動手（幾何）操作，再回想（幾何）操作的過程，是培養(yǎng)空間想象的重要環(huán)節(jié)。

第三，想象——借助相應(yīng)的課程內(nèi)容，采用輔助手段（如手機的照相功能、特定軟件等），能培養(yǎng)學(xué)生的想象能力。例如，動態(tài)軟件生成的方位判斷：軟件呈現(xiàn)的是一個人站在天安門廣場中央環(huán)視廣場的場景，學(xué)習(xí)者可以拖動鼠標滑動畫面，形成人在廣場上轉(zhuǎn)動可以看到廣場東西南北各個場景畫面的效果。如果告知你某一個畫面（比如，天安門城樓）是北面，那么，南面是哪個畫面？東面、西面又分別是哪個畫面？

這個軟件的最大優(yōu)勢是利用軟件模擬身臨其境的效果。拖動鼠標達到親眼看到東西南北場景的效果，其中包含了空間推理，凸顯了空間想象中的方位感的作用，是訓(xùn)練方位感非常好的工具。

第四，特定的活動——必須讓學(xué)生親身經(jīng)歷的幾何活動。學(xué)生在活動中感悟、體會，才能逐步形成空間想象。例如：

【案例2】 右圖是在上海外灘拍到的不同視角的照片。你認為圖6～圖9大致是在哪個方位拍攝的？為什么？

總之，把握實物與相應(yīng)的平面圖形、幾何體與其展開圖和三視圖之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，不僅是一個思考過程，也是實際操作過程。把上述表現(xiàn)進一步延伸，就是嘗試著物化那些感知到的、在直觀水平上有所把握的轉(zhuǎn)化關(guān)系，能采用適當?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的相互關(guān)系，能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形，重現(xiàn)感知過的平面圖形或空間物體。無論是做立體模型，還是畫出圖形，都要在頭腦加工和組合的基礎(chǔ)上通過實際嘗試和動手操作來實現(xiàn)。這種重現(xiàn)能使幾何事實基于直觀的表象、聯(lián)想和特征得到實實在在的表示，使直觀想象從感知不斷發(fā)展為一種可以把握的能力。

二、把握幾何直觀的具體表現(xiàn)

在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中，幾何直觀具體表現(xiàn)為如下4種表現(xiàn)形式：一是實物直觀，二是簡約符號直觀，三是圖形直觀，四是替代物直觀。

實物直觀即實物層面的幾何直觀，指以與研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物為參照物，借助其與研究對象之間的關(guān)聯(lián)，進行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷的能力。例如：在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)位”的學(xué)習(xí)中，10根小棒捆成一捆，10捆裝成一箱，這里的一根小棒、一捆小棒、一箱小棒，就是針對個位1、十位10、百位100的實物直觀形式，雖然量綱“捆”“箱”有人為規(guī)定的成分，卻與常理相符。

簡約符號直觀即簡約符號層面的幾何直觀，是在實物直觀的基礎(chǔ)上進行一定程度的抽象所形成的半符號化的直觀。例如，在行程問題中，常用的線路圖就是一種簡約的、符號化的直觀圖示。圖10也是這種類型，是針對代數(shù)關(guān)系的簡約符號直觀形式。

這種簡約符號直觀是經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)抽象而形成的，與現(xiàn)實生活原型相比，具有一定程度的抽象性。憑借這種圖示分析解決問題，就是簡約符號層面的直觀（能力）在發(fā)揮作用。

圖形直觀是以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。圖11就是代數(shù)法則（a+b）c=ac+bc的直觀圖形。憑借圖11，學(xué)生可以輕松自如地理解（a+b）c=ac+bc。

替代物直觀是一種復(fù)合的幾何直觀，既可以依托簡捷的直觀圖形，也可以依托用語言或?qū)W科表征物所代表的直觀形式，還可以是實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀的復(fù)合物。計算“28+7”，可以借助計數(shù)器來表示，也可以借助“10個雞蛋一盒”或“10根小棒一捆”來分析。對于“28+7”來說，計數(shù)器、“一捆小棒”“一盒雞蛋”就是相應(yīng)的直觀圖形的替代物。而在統(tǒng)計問題中，借助一個圓片代表樣本數(shù)據(jù)“1”可以很好地理解“移多補少”，進而掌握“平均數(shù)”的概念。這里的“圓片”就是樣本數(shù)據(jù)“1”的替代物。

一般地，“實物直觀“通常是現(xiàn)實世界中存在的實物模型，能比較直觀地體現(xiàn)某些數(shù)學(xué)對象的特殊屬性，屬于最低級的抽象?！碧娲镏庇^“是在現(xiàn)實模型基礎(chǔ)上的進一步抽象，已經(jīng)具備一定的抽象高度。以計數(shù)器為例，與“小棒”相比，計數(shù)器已經(jīng)將數(shù)位的含義明確表示出來（具有普適性和公共的約定性），而不是某些人的人為規(guī)定（例如，有的學(xué)生將一把小棒捆成一捆，而未必是10根一捆）。與“替代物直觀”相比，“圖形直觀”的抽象程度更高、綜合程度更強。例如：圖11就將代數(shù)關(guān)系（a+b）c=ac+bc很巧妙地融合在三個矩形之間的面積關(guān)系之中，既有代數(shù)的抽象，又有幾何圖形的抽象。

三、將直觀想象的培養(yǎng)融入數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之中

第一，空間想象需要滲透在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的方方面面，而幾何直觀需要滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個領(lǐng)域，特別是在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合”領(lǐng)域。

首先，幾何中的幾何直觀無處不在。義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中的幾何學(xué)主要訴諸學(xué)生的直觀感受，借以識別各種不同的幾何圖形及其關(guān)系。反映幾何直觀的相關(guān)內(nèi)容是一切幾何學(xué)的基礎(chǔ)，貫穿于幾何學(xué)領(lǐng)域（即“圖形與幾何”）之中。這些內(nèi)容既是經(jīng)驗幾何的中心內(nèi)容，也是推理幾何的重要參照和素材。因而，讓幾何“動”起來、數(shù)形結(jié)合等，都是為了有效發(fā)揮幾何直觀的作用，更好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象。例如：通過觀察、操作等活動，進一步認識三角形、平行四邊形、梯形、長方體、正方體等幾何形體;利用學(xué)生常見的事物引導(dǎo)學(xué)生感受和探索圖形的特征，豐富幾何活動經(jīng)驗，建立初步的空間想象和幾何直觀，等等。因而，積累幾何活動經(jīng)驗就成為幾何教育的一個更加直接的目標和追求。擁有豐富的幾何活動經(jīng)驗并且善于反思的人，他的幾何直觀更有可能達到更高水平。

其次，“數(shù)與代數(shù)”中的幾何直觀是理解和把握代數(shù)抽象的有力工具。對于相對抽象的數(shù)與代數(shù)來說，恰當?shù)膸缀沃庇^往往是幫助學(xué)生建構(gòu)理解的有力“抓手”。更一般地，幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化、顯性化。因而，在“數(shù)與代數(shù)”中，尋找數(shù)學(xué)對象的直觀模型是有效發(fā)揮幾何直觀的重要環(huán)節(jié)之一，也是培養(yǎng)幾何直觀的有效途徑。

第二，就九年一貫制教育的整體而言，隨著年級的升高，幾何直觀的層次需要逐級提升，從最初側(cè)重于實物直觀、關(guān)注實物抽象，逐步過渡到以符號直觀、圖形直觀為主，實物直觀為輔，即重點關(guān)注符號抽象、圖形抽象。而空間想象的發(fā)展涵蓋“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體”“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”“描述圖形的運動和變化”“依據(jù)語言描述畫出圖形”等，而不可局限在某些方面，比如從實物到圖形的轉(zhuǎn)換。

第三，培養(yǎng)和發(fā)展直觀想象，必須與思維水平提升、“四能”培養(yǎng)結(jié)合起來。

幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化、顯性化，因而，尋找數(shù)學(xué)對象的直觀模型是有效發(fā)揮幾何直觀的重要環(huán)節(jié)之一。借助恰當?shù)膱D形、幾何模型進行解釋，能夠啟迪思路，幫助學(xué)生理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，而抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了主動思考的機會和揭示經(jīng)驗的策略，能使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程表明，越是高度抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，越需要形象直觀的模型作為其解釋和支撐，即使是推理幾何的功臣歐幾里德，在進行幾何學(xué)的論述過程中仍然依賴了頭腦中的圖形直觀。無論是數(shù)學(xué)家的研究，還是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，直觀本身不是目的，而是手段。對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，直觀是為了形成學(xué)生的生動表象并借以形成概念、發(fā)展規(guī)律，促進抽象思維的發(fā)展。

幾何直觀需要較高的思維水平，從而更需要教師在日常教學(xué)中不斷地、主動地運用幾何直觀幫助學(xué)生建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)理解，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的整體思維方式和數(shù)形結(jié)合意識，幫助學(xué)生把握起核心作用的那些基本圖形，如三角形、正方形等。

教師具有培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的自覺意識是重要的，而將直觀想象的培養(yǎng)自始至終落實在數(shù)學(xué)課程教學(xué)的每個環(huán)節(jié)是至關(guān)重要的。這種工作以保護學(xué)生先天的直觀潛質(zhì)為起點，以有效提升學(xué)生的直觀想象水平為終點，最終目的是讓學(xué)生形成針對幾何的敏銳洞察力和深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

責(zé)任編輯? 姜楚華