兩自由度高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的廣義混沌同步化

楊慶超 柴凱 樓京俊

摘要： 針對目前潛艇動力機(jī)械系統(tǒng)的線譜控制方法難以實現(xiàn)小能量控制混沌化、變工況下持續(xù)混沌化和小振幅混沌化難題，提出了基于狀態(tài)反饋和開環(huán)加非線性閉環(huán)耦合的兩自由度高靜低動剛度隔振系統(tǒng)廣義混沌同步化方法。首先，建立兩自由度高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的動力學(xué)模型，分析其全局性態(tài)；然后，利用Chen系統(tǒng)作為驅(qū)動信號，采用Hooke&Jeeves;方法優(yōu)化控制增益，通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)變工況下的持續(xù)混沌化；最后，利用開環(huán)加非線性閉環(huán)耦合的廣義混沌同步實現(xiàn)高靜低動剛度隔振系統(tǒng)大參數(shù)范圍和小振幅混沌化。仿真結(jié)果表明，雖然基于狀態(tài)反饋的廣義混沌同步能實現(xiàn)兩自由度高靜低動隔振系統(tǒng)持續(xù)混沌化且線譜強(qiáng)度有所降低，但基座的振動幅值相比未混沌化前急劇加大；而基于開環(huán)加非線性閉環(huán)耦合的廣義混沌同步能同時實現(xiàn)兩自由度高靜低動隔振系統(tǒng)變工況下的持續(xù)混沌化和小振幅下的混沌化，不僅能顯著降低線譜強(qiáng)度，而且能有效抑制被隔振物體的振幅，解決了一般意義的混沌化方法無法解決的線譜抑制和振動隔離之間的沖突。

關(guān)鍵詞： 隔振系統(tǒng)； 狀態(tài)反饋； 開環(huán)加非線性閉環(huán)； 廣義混沌同步； 高靜低動剛度

中圖分類號： TB535+.1；O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）04-0620-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.04.009

引言

潛艇輻射水聲中的低頻線譜成分是被動聲納在水聲對抗中搜索、跟蹤和識別目標(biāo)的主要特征信號，是潛艇聲隱身性能和戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能的主要危害。朱石堅等[1]創(chuàng)新性地提出了線譜混沌化控制技術(shù)，將機(jī)械簡諧振動波通過非線性隔振系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為寬頻混沌波，從而弱化和重構(gòu)機(jī)械噪聲的頻率組成，降低和改變潛艇水下輻射噪聲中的線譜成分，提高潛艇的聲隱身性能。線譜混沌化控制技術(shù)在理論驗證[2]、混沌動力學(xué)研究[3]、隔振性能評估[4]和混沌信號識別[5]等方面取得了諸多成果。張振海等[6]提出了多自由度振動系統(tǒng)離散混沌化方法，實現(xiàn)連續(xù)振動系統(tǒng)的混沌化；樓京俊等[7]深入研究線譜混沌化的基本原理，通過實驗證明了混沌隔振原理的有效性；俞翔等[8]采用數(shù)值仿真和實驗方法研究了非線性隔振系統(tǒng)在混沌狀態(tài)的隔振性能。但在將線譜混沌化推向工程應(yīng)用時，面臨如下難點和挑戰(zhàn)：小能量控制混沌化、變工況下持續(xù)混沌化和小幅值混沌化。

潛艇水下輻射噪聲的危害性包括兩個方面，其一是線譜特征，其二是線譜強(qiáng)度。混沌化方法是改變線譜特征的有效手段，但在削弱其頻譜強(qiáng)度上有時作用并不大。降低動力機(jī)械振動向船體傳遞的強(qiáng)度，最有效的方法是提高隔振系統(tǒng)的隔振能力[9]。高靜低動剛度隔振器作為一種剛度非線性的被動隔振器，高靜剛度可以保證系統(tǒng)靜變形量小，增加系統(tǒng)的側(cè)向穩(wěn)定性，而低動剛度可以減小系統(tǒng)的固有頻率，拓寬系統(tǒng)的隔振區(qū)間。該隔振系統(tǒng)具有較強(qiáng)的非線性特征，且在靜平衡微小區(qū)域內(nèi)具有較小的動剛度和大承載力，能夠滿足潛艇動力機(jī)械的隔振需求，且有利于實現(xiàn)小能量控制混沌化[10]。曹慶杰等[11]建立了一個三穩(wěn)態(tài)高靜低動剛度隔振系統(tǒng)，并對其分岔、混沌和隔振性能等特性進(jìn)行了研究；張敬等[12]將準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)與非線性時延反饋相結(jié)合，實現(xiàn)了小能量控制混沌化，并證明了控制增益、混沌化品質(zhì)均與系統(tǒng)的剛度成正比；Kovacic等[13]對三彈簧型準(zhǔn)零剛度隔振器結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，并對分岔和混沌等特性進(jìn)行了研究。

本文通過基于狀態(tài)反饋和OPNCL耦合的廣義混沌同步實現(xiàn)兩自由度高靜低動隔振系統(tǒng)的線譜混沌化，將線譜混沌化控制技術(shù)與艦船動力裝置隔振的有機(jī)結(jié)合，達(dá)到降低線譜強(qiáng)度和隔離振動的雙重目的。

1動力學(xué)建模與全局性態(tài)分析

1.1動力學(xué)建模圖1為最典型的三彈簧型高靜低動剛度結(jié)構(gòu)示意圖，兩根對稱的非線性斜彈簧一端在O點連接，另一端分別固定在A和B。

圖1中正剛度豎直彈簧剛度為k2，負(fù)剛度斜彈簧具有線性剛度k1、非線性剛度k3和預(yù)壓量δ，初始長度為l。斜彈簧水平時系統(tǒng)達(dá)到靜平衡位置，此時豎直彈簧壓縮量為h，斜彈簧長度為a，x表示在外力f作用下產(chǎn)生的位移。

1.2全局性態(tài)分析

非線性隔振系統(tǒng)的全局性態(tài)分析是“線譜混沌化控制技術(shù)”理論框架中最重要的一環(huán)，只有對大參數(shù)范圍內(nèi)和整個相空間系統(tǒng)的全局性態(tài)進(jìn)行深入而全面的研究后，才能針對其特性設(shè)計合適的混沌化方法。設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)：ξ1=0.1，γ=2，ξ2=0.1，w=0.5，k2=1，由于篇幅所限，本文僅分析激勵力幅值f對系統(tǒng)全局分岔特性的影響，即固定系統(tǒng)激勵頻率ω=1.6，同時由于船舶動力機(jī)械的振動是通過基座向船體傳遞，因此本文主要對基座的分岔特性進(jìn)行分析。采用最簡單的跟蹤延拓算法，即fk+1=fk+Δf的初始條件為fk求得的解。將f在0～30范圍內(nèi)，步長為Δf=0.01的向前延拓，具體系統(tǒng)隨f變化的全局分岔圖和相應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)如圖3所示，由圖可知，系統(tǒng)分岔特性非常復(fù)雜，周期運動、準(zhǔn)周期運動和混沌運動均出現(xiàn)在系統(tǒng)中，可以通過改變激勵幅值f使系統(tǒng)呈現(xiàn)不同的運動狀態(tài)。同時，系統(tǒng)的混沌狀態(tài)僅僅產(chǎn)生于某些特定的參數(shù)設(shè)置和激勵條件，而對于大部分參數(shù)范圍，系統(tǒng)的運動均為周期或準(zhǔn)周期運動。

2廣義混沌同步的基本原理

混沌同步是指兩個（或者多個）系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋、耦合、相互作用等使得各個系統(tǒng)均呈現(xiàn)出相互作用之間具有某種關(guān)系的混沌運動[14]。下面主要對易于工程實現(xiàn)的混沌同步策略進(jìn)行研究，包括驅(qū)動系統(tǒng)選擇、驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)耦合方式和各控制參數(shù)優(yōu)化確定等，解決線譜混沌化方法存在的難以實現(xiàn)持續(xù)混沌化和小振幅混沌化的難題。

2.1基于狀態(tài)耦合的廣義混沌同步

由于性能指標(biāo)關(guān)于控制增益的函數(shù)不連續(xù)，跳躍性和離散性較強(qiáng)，故基于梯度理論的直接優(yōu)化算法失效。全局最優(yōu)算法如遺傳算法、模擬退火算法和蟻群算法等計算量較大，時效性不高，由于在某個控制增益區(qū)間內(nèi)，性能指標(biāo)會存在若干極小值，因此，可以采用Hooke & Jeeves非梯度直接尋優(yōu)算法，選取適當(dāng)?shù)某踔导安介L，可快速而準(zhǔn)確地得到局部最優(yōu)值[17]，Hooke & Jeeves算法的具體流程如圖5所示。

3數(shù)值仿真與分析

為了驗證上述控制方法的有效性，下面進(jìn)行數(shù)值仿真研究。系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如下：ξ1=0.1，ξ2=0.1，γ=1，k2=2，w=0.5，ω=3.9311，f=20，初始條件為（0，0，0，0）。式（7）在平衡點A處的特征值為（-0.025±0.707i）和（-0.1±1.407i），可知所有特征值的實部均為負(fù)，故系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。由于艦船動力機(jī)械的振動是通過基座向船體傳播的，因此主要比較系統(tǒng)受到驅(qū)動前后基座的振動幅值及其頻譜。

3.1狀態(tài)反饋的廣義混沌同步仿真分析

采用Hooke & Jeeves直接尋優(yōu)算法，初值p0=0，初始步長δ=0.1，步長折減系數(shù)λ=2，收斂準(zhǔn)則ε=10-2。得到如圖6所示的驅(qū)動系統(tǒng)為Chen系統(tǒng)時控制增益與線譜混沌化指標(biāo)I的關(guān)系曲線。由圖可知，性能指標(biāo)I對控制增益p變化很敏感，最優(yōu)控制增益popt為6.8。

圖7是未驅(qū)動前基座相圖和功率譜圖。由圖可知，未受驅(qū)動的響應(yīng)系統(tǒng)為周期1運動，振幅為1.9，頻譜具有明顯的特征線譜，線譜平均強(qiáng)度為-60.91 dB，主頻率ω=3.9311處的線譜強(qiáng)度為3.54 dB。圖8是受到Chen系統(tǒng)驅(qū)動后基座相圖和功率譜圖。由圖可知，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌連續(xù)譜特征，線譜平均強(qiáng)度為-86.93 dB，ω=3.9311處的線譜強(qiáng)度為-6.76 dB，但振幅增大至5.3。因此，受到驅(qū)動后的響應(yīng)系統(tǒng)主頻率處的線譜特征降低，而且平均線譜強(qiáng)度也減??；但是基座的振動幅值相比未混沌化前急劇加大，基于狀態(tài)反饋的廣義混沌同步使兩自由度高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的隔振性能變差。

3.2OPNCL耦合的廣義混沌同步仿真分析

基座的相圖和功率譜圖，由圖可知，當(dāng)A為驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)變量的組合時，驅(qū)動后系統(tǒng)依然為小幅值混沌運動，振幅約為0.5，線譜平均強(qiáng)度為-69.03 dB，ω=3.9311處的線譜強(qiáng)度為-39.63 dB。

4結(jié)論

針對線譜混沌化技術(shù)工程化的應(yīng)用難以實現(xiàn)變工況下的持續(xù)混沌化和小振幅混沌難題，通過基于狀態(tài)反饋和OPNCL耦合實現(xiàn)了兩自由度高靜低動剛度隔振系統(tǒng)的廣義混沌同步。主要工作和結(jié)論總結(jié)如下：

（1）高靜低動剛度隔振器是一種組合式強(qiáng)非線性隔振器，具有優(yōu)越的低頻隔振性能，由于誘發(fā)混沌的最小控制增益、混沌線譜強(qiáng)度均與系統(tǒng)的剛度成正比，因此，高靜低動剛度特性正好滿足混沌化理論的工程化應(yīng)用對隔振器的需求，有利于實現(xiàn)小能量控制混沌化；

（2）利用Chen系統(tǒng)作為驅(qū)動信號，采用Hooke & Jeeves方法優(yōu)化控制增益，通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)變工況下的持續(xù)混沌化，混沌化后雖然線譜強(qiáng)度有所降低，但基座的振動幅值相比未混沌化前急劇加大，使得混沌化后系統(tǒng)的隔振性能變差；

（3）基于OPNCL耦合的廣義混沌同步能實現(xiàn)兩自由度高靜低動隔振系統(tǒng)小振幅下產(chǎn)生混沌，而且目標(biāo)狀態(tài)向量控制矩陣可以是常數(shù)、與時間有關(guān)的周期函數(shù)和驅(qū)動狀態(tài)向量的組合，該方法不僅能顯著降低線譜強(qiáng)度，具有良好的整體隔振性能，而且能顯著抑制被隔振物體的振幅，從而實現(xiàn)削弱特征線譜強(qiáng)度和振動隔離的雙重目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱石堅， 姜榮俊， 何琳. 線譜激勵的混沌隔振研究[J]. 海軍工程大學(xué)學(xué)報， 2003， 15（1）： 19—22.

Zhu Shijian， Jiang Rongjun， He Lin. Research on the chaos vibration isolation of line spectra excitation [J]. Journal of Naval University of Engineering， 2003， 15（1）： 19—22.

[2]Lou Jingjun， Zhu Shijian， He Lin， et al. Application on the chaos method to line spectra reduction [J]. Journal of Sound and Vibration， 2005， 286（3）： 645—652.

[3]Yu Xiang， Zhu Shijian， Liu Shuyong. Bifurcation and chaos in multi-degree-of-freedom nonlinear vibration isolation system [J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2008， 38（5）： 1498—1504.

[4]Lou Jingjun， Zhu Shijian， He Lin， et al. Experimental chaos in nonlinear vibration isolation system [J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2009， 40（3）： 1367—1375.

[5]Liu Shuyong， Yu Xiang， Zhu Shijian. Study on the chaos anti-control technology in nonlinear vibration isolation system [J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 310（4-5）： 855—864.

[6]張振海， 朱石堅， 何其偉. 基于反饋混沌化方法的多線譜控制技術(shù)研究[J]. 振動工程學(xué)報， 2012， 25（1）：30—37.

Zhang Zhenhai， Zhu Shijian， He Qiwei. Multi-line spectra reduction of vibration isolation system based chaotification method [J]. Journal of Vibration Engineering， 2012， 25（1）： 30—37.

[7]樓京俊， 何其偉， 朱石堅. 多頻激勵軟彈簧型Duffing系統(tǒng)中的混沌[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 2004， 25（12）： 1299—1304.

Lou Jingjun， He Qiwei， Zhu Shijian. Chaos in the softening Duffing system under multi-frequency periodic forces [J]. Applied Mathematics and Mechanics， 2004， 25（12）： 1299—1304.

[8]Yu Xiang， Zhu Shijian， Liu Shuyong. A new method for line spectra reduction similar to generalized synchronization of chaos [J]. Journal of Sound and Vibration， 2007， 306： 835—848.

[9]Ma Yanhui， He Minghua， Shen Wenhou. A planar shock isolation system with high-static-low-dynamic-stiffness characteristic based on cables [J]. Journal of Sound and Vibration， 2015， 358： 267—284.

[10]Xiuting Sun， Jian Xu， Xingjian Jing， et al. Beneficial performance of a quasi-zero- stiffness vibration isolator with time-delay active control [J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2014， 82： 32—40.

[11]Cao Qingjie， Han Yanwei， Liang Tingwei， et al. Multiple buckling and two parameter dimension-three bifurcation for phenomena for a rig-coupled SD oscillator [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos， 2014， 24（1）： 143005.

[12]Jing Zhang， Daolin Xu， Jiaxi Zhou， et al. Chaotification vibration isolation floating raft system via nonlinear time-delay feedback control [J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2012， 45（9-10）： 1255—1265.

[13]Ivana Kovacic， Michael J Brennan， Timothy P Waters. A study of a nonlinear vibration isolator with a quasi-zero-stiffness characteristic [J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 315（3）： 700—711.

[14]俞翔， 朱石堅， 劉樹勇. 廣義混沌同步中的多穩(wěn)定同步流形[J]. 物理學(xué)報， 2008， 57（5）： 2761—2769.

Yu Xiang， Zhu Shijian， Liu Shuyong. Multi-stable synchronization manifold in generalized synchronization of chaos [J]. Acta Physica Sinica， 2008， 57（5）： 2761—2769.

[15]Wen Guilin， Xu Dan. Nonlinear observer control for full-state projective synchronization in chaotic continuous-time systems [J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2005， 26（1）： 71—77.

[16]Li Yingli， Xu Daolin， Zhou Jiaxi. Chaotification and optimization design of a nonlinear vibration isolation system [J]. Journal of Vibration and Control， 2012， 18（14）： 2129—2139.

[17]Zhou Jiaxi， Xu Daolin， Zhang Jing， et al. Spectrum optimization-based chaotification using time-delay feedback control[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2012， 45（6）： 815—824.

[18]Yu-Chu Tian， Moses O Tadé， Jin-Yu Tang. Nonlinear open-plus-closed-loop control of dynamic systems [J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2000， 11： 1029—1035.

[19]Lerescu A I，Constandache N， Oancea S， et al. Collection of master-slave synchronized chaotic system [J]. Chaos， Solitions and Fractals， 2004， 22： 599—604.

Abstract： In order to cope with three obstacles， i.e. how to induce chaos with tiny control energy， how to maintain chaotic motion and how to obtain chaos under small amplitude of the chaotification technique for line spectra reduction in the power mechanical system of submarines， an state feedback and an open-plus-nonlinear-closed-loop（OPNCL） coupling generalized chaotic synchronization method are presented based on two-degree-of-freedom （2DOF） vibration isolation system （VIS） with high-static-low-dynamic-stiffness （HSLDS）. Firstly， the dynamic equation of the 2DOF-HSLDS-VIS is established and its global characteristics in the whole phase space are analyzed； secondly， a method of generalized chaotic synchronization is employed by using the response of Chen system as driving signal and the Hooke & Jeeves optimization strategy is employed to optimize the control gain， which made the chaotic motion persistent in the 2DOF-HSLDS-VIS. Finally， a method of generalized chaotic synchronization under large parameter region and small amplitude in the 2DOF-HSLDS-VIS is presented by using an OPNCL coupling strategy. Numerical simulation results show that the state feedback generalized synchronization method can make the chaotic motion persistent and reduce the dominating line spectra in the 2DOF-HSLDS-VIS， but the amplitude of the isolated equipment is larger in the chaotic state than that of the former. While the OPNCL coupling generalized synchronization method can maintain chaotic motion and obtain chaos even under small amplitudes in the 2DOF-HSLDS-VIS.This method not only possesses an excellent isolation performance of vibration and line spectra， but also reduces the amplitude of the isolated equipment notably， which solves the contradiction of line spectra suppression and vibration isolation performance by using the generic chaotification method.

Key words： vibration isolation system； state feedback； open-plus-nonlinear-closed-loop； generalized chaotic synchronization； high-static-low-dynamic-stiffness