靜態(tài)漸近解在動態(tài)斷裂問題中的適用性分析

諶赫， 鄒廣平

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

材料動態(tài)斷裂實驗的基本思路是測量載荷、加載點位移等物理量來計算動態(tài)應(yīng)力強度因子(dynamic stress intensity factor，DSIF)。較早的研究工作主要是測量試樣在加載過程中的載荷、位移，代入相應(yīng)的經(jīng)驗公式計算動態(tài)應(yīng)力強度因子[1-4]；隨著光學(xué)測量技術(shù)的發(fā)展，裂紋擴展過程也可以被觀察到[5-7]，甚至可以得到試樣表面任一時刻的應(yīng)變分布[8-9]；應(yīng)變片法在動態(tài)斷裂測試中也得到廣泛應(yīng)用[10-11]，常用來標定其他方法；近年來，部分學(xué)者將實驗與數(shù)值模擬相結(jié)合，發(fā)展了實驗-數(shù)值法[12-14]。這種方法通過實驗測得載荷、起裂時間等參數(shù)，采用有限元軟件計算動態(tài)應(yīng)力強度因子，進而確定材料動態(tài)斷裂韌性。相對于靜態(tài)斷裂力學(xué)，動態(tài)斷裂力學(xué)需要考慮材料的應(yīng)變率效應(yīng)與慣性效應(yīng)。由于數(shù)學(xué)上的困難，人們對動態(tài)斷裂的研究尚不深入，動態(tài)斷裂力學(xué)的理論框架并不完備[15]。對于動態(tài)載荷作用下裂紋起裂的問題，主流觀點認為裂紋尖端應(yīng)力應(yīng)變場的形式與靜態(tài)問題相似，具有分離變量形式的解[16]。該解只有在接近裂紋尖端的區(qū)域才能成立，故稱漸近解。漸近解是聯(lián)系宏觀量與微觀量的橋梁，前面提到的各種動態(tài)應(yīng)力強度因子測定與求解方法均以靜態(tài)漸近解為基礎(chǔ)。裂紋尖端塑性區(qū)的存在嚴重地限制了漸近解的應(yīng)用。此外，對于不同構(gòu)型的試樣，其載荷工況與邊界條件各不相同，邊界對裂尖應(yīng)力應(yīng)變場的影響也不能一概而論。

本文基于分離式Hopkinson拉桿(split-Hopkinson tension bar)實驗裝置，提出一種改進的緊湊拉伸剪切(compact tension shear specimen loaded,MCTS)試樣，用于II型動態(tài)斷裂測試[17]。本文采用有限元軟件ABAQUS對改進的緊湊拉伸剪切試樣在I型與II型載荷工況下進行了數(shù)值模擬，通過分析試樣裂尖應(yīng)變場與漸近解的差異來討論靜態(tài)漸近解在動態(tài)問題中的適用性。

1 裂尖應(yīng)力應(yīng)變場漸近解

裂尖應(yīng)力應(yīng)變場的漸近解的表達式為：

(1)

平面應(yīng)力狀態(tài)下，式(1)中fij(θ)、gij(θ)的表達式分別為：

(2)

(3)

漸近解滿足靜態(tài)問題的平衡方程σij,j=0，而對于動態(tài)問題慣性效應(yīng)必須要考慮，平衡方程化為σij,j=ρui,tt，二者形式明顯不同，那么靜態(tài)問題的漸近解應(yīng)用于動態(tài)問題的依據(jù)何在？

Sun[18]指出，裂紋尖端區(qū)域應(yīng)力具有奇異性，應(yīng)力對坐標的導(dǎo)數(shù)也是奇異的，而位移是有限的，因此平衡方程左邊遠遠大于右邊，基于上述假設(shè)，在裂尖附近將靜態(tài)問題的漸近解應(yīng)用于動態(tài)問題是合理的；而在距離裂尖較遠處漸近解不適用。文獻[18]雖然給出定性的解釋，但并未提及裂尖“附近”的具體范圍。

2 改進的緊湊拉伸剪切試樣數(shù)值模擬

改進的緊湊拉伸剪切試樣的幾何構(gòu)型與尺寸如圖1所示，通過特殊設(shè)計的夾具能夠?qū)崿F(xiàn)I型與II型加載，試樣與分離式Hopkinson拉桿裝置的裝配圖見圖2。II型加載時需要在試樣側(cè)面施加垂直于側(cè)面的位移約束。

圖1 改進的緊湊拉伸剪切試樣幾何尺寸Fig.1 Geometry of MCTS specimen

圖2 改進的緊湊拉伸剪切試樣裝配圖Fig.2 Assembly of MCTS specimen

改進的緊湊拉伸剪切試樣與分離式Hopkinson拉桿裝置的材料參數(shù)如表1所示，其中采用雙線性隨動強化模型來表征試樣的塑性，分離式Hopkinson拉桿裝置的其他部分采用線彈性模型。

表1 有限元模型材料屬性Table 1 Material properties of finite element models

將沖擊拉伸試驗測得的波形進行濾波處理，作為入射桿端部施加的載荷[19]，如圖3所示；試樣裂尖網(wǎng)格劃分如圖4所示，在裂尖采用三棱柱奇異單元，半徑1 mm，圍繞裂尖32等分；其他部分采用六面體單元，寬度0.25 mm。

圖3 SHTB入射波Fig.3 Incident wave of SHTB

圖4 改進的緊湊拉伸剪切試樣裂紋尖端網(wǎng)格劃分Fig.4 Mesh at crack tip of MCTS specimen

3 動態(tài)應(yīng)力強度因子計算

動態(tài)應(yīng)力強度因子的定義為：

(4)

式(4)中坐標均為裂尖局部坐標。對于II型載荷工況，局部坐標與全局坐標相同，對于I型載荷工況，局部坐標相對于全局坐標順時針旋轉(zhuǎn)90°。

改進的緊湊拉伸剪切試樣裂尖塑性區(qū)如圖5所示。圖中標示出來的節(jié)點周圍單元塑性應(yīng)變均為零，且距離裂尖最近。定義為塑性影響區(qū)的邊界，記作rp。由圖可見，相同的入射波作用下，I型裂尖塑性區(qū)rp的最大值是II型的2倍。

圖5 裂紋尖端塑性區(qū)Fig.5 Plastic zone at crack tip

根據(jù)定義式(4)，計算出裂紋延長線上各節(jié)點每一時刻的“應(yīng)力強度”并線性擬合，其截距為這一時刻的動態(tài)應(yīng)力強度因子數(shù)值解[20]。數(shù)據(jù)處理過程如下：從塑性影響區(qū)邊界開始，選取相鄰的7個節(jié)點進行線性擬合，依次重復(fù)此步驟，當截距變化量小于1%時記錄截距值，再重復(fù)3次，取截距的平均值作為動態(tài)應(yīng)力強度因子值。計算出動態(tài)應(yīng)力強度因子數(shù)值解如圖6所示。

圖6 動態(tài)應(yīng)力強度因子數(shù)值解Fig.6 Numerical solution of DSIF

4 裂尖應(yīng)變場分析

根據(jù)定義已經(jīng)求得動態(tài)應(yīng)力強度因子的數(shù)值解，將其代入靜態(tài)漸近解的表達式，任一節(jié)點應(yīng)變都可求出。將式(2)寫成矩陣形式：

(5)

Rittel[21]提出一種雙應(yīng)變片求解動態(tài)應(yīng)力強度因子的實驗方法，其中r1、θ1、r2、θ2分別為應(yīng)變片1、2在裂尖局部坐標系內(nèi)的坐標，反解式(5)即可求出動態(tài)應(yīng)力強度因子。本文將通過式(5)計算的值稱為漸近解，通過有限元分析得到的解稱為數(shù)值解，二者之間的關(guān)系如圖7所示?？梢钥闯觯艄?jié)點應(yīng)變漸近解與數(shù)值解不相同，則動態(tài)應(yīng)力強度因子漸近解與數(shù)值解也會存在誤差。本節(jié)在不同方向上選取節(jié)點，分析其應(yīng)變漸近解與數(shù)值解之間的差異。

圖7 應(yīng)變分析流程Fig.7 Flow graph of strain analysis

實驗結(jié)果表明，裂紋往往在動態(tài)應(yīng)力強度因子達到極大值之前開始擴展[12]，在這個時間段內(nèi)討論應(yīng)變漸近解與數(shù)值解的誤差是有意義的。本文討論的范圍從動態(tài)應(yīng)力強度因子達到0.1倍最大值開始，達到最大值為止。限于篇幅，文中只列出±90°、±67.5°、±45°、±22.5°和0°方向上節(jié)點應(yīng)變漸近解與數(shù)值解在討論范圍內(nèi)絕對誤差的最大值、平均值以及絕對誤差最大值與應(yīng)變分量最大值之比(記為相對誤差，在括號內(nèi)標注)。I型與II型2種載荷工況分別如表2、表3所示。

表2 節(jié)點應(yīng)變誤差(I型載荷工況)Table 2 Error of nodal strain (mode I loading)

表3 節(jié)點應(yīng)變誤差(II型載荷工況)Table 3 Error of nodal strain (mode II loading)

ε11、ε22在θ=0°及θ=±22.5°方向上相對誤差平均值小于20%。ε11誤差最小的節(jié)點位于θ=0°，r=2.52 mm處，編號為1 023；除該節(jié)點外，ε22誤差最小的節(jié)點位于θ=-22.5°，r=3.02 mm處，編號為1 051。其應(yīng)變曲線分別如圖8(a)、(b)所示。將節(jié)點1 023的應(yīng)變分量ε11，節(jié)點1 051的應(yīng)變分量ε22代入式(5)反解出動態(tài)應(yīng)力強度因子，并與數(shù)值解對比。如圖8(c)所示?？梢奒Ι漸近解與數(shù)值解誤差很小，而KΙΙ誤差很大。由于KΙΙ數(shù)值解約等于零，且系數(shù)矩陣存在零元素，故KΙΙ漸近解明顯偏離數(shù)值解。

圖8 I型載荷工況節(jié)點應(yīng)變及動態(tài)應(yīng)力強度因子漸近解與數(shù)值解對比Fig.8 Nodal strain and comparison of asymptotic solution and numerical solution of DSIF for mode I loading

對于II型載荷工況，應(yīng)變誤差相對I型載荷工況更小。ε11在θ=-45°、θ=-67.5°方向上相對誤差小于10%；ε22在θ=45°方向上相對誤差小于10%。ε11相對誤差最小的節(jié)點位于θ=-67.5°，r=3.52 mm處，編號為1109；ε22誤差最小的節(jié)點位于θ=45°，r=2.77 mm處，編號為962。其應(yīng)變曲線分別如圖9(a)、(b)所示。將節(jié)點1109的應(yīng)變分量ε11，節(jié)點962的應(yīng)變分量ε22代入式(5)，解出動態(tài)應(yīng)力強度因子如圖9(c)所示?？梢妱討B(tài)應(yīng)力強度因子漸近解與數(shù)值解幾乎完全重合。

圖9 II型載荷工況節(jié)點應(yīng)變及DSIF漸近解與數(shù)值解對比Fig.9 Nodal strain and comparison of asymptotic solution and numerical solution of DSIF for mode II loading

考察各方向上各節(jié)點應(yīng)變絕對誤差最大值與應(yīng)變分量最大值之比，取其平均值如表4。可見多數(shù)方向上節(jié)點應(yīng)變分量漸近解與數(shù)值解相差較大，一些方向上相差極大，其原因是這些方向上相應(yīng)的節(jié)點應(yīng)變分量漸近解或數(shù)值解約等于零。

表4 各方向節(jié)點應(yīng)變相對誤差平均值Table 4 Average error of nodal strain in different orientations

對于I型載荷工況，由于塑性影響區(qū)尺度較大，所選節(jié)點距離裂尖較遠，受邊界影響更大，因此各方向上節(jié)點應(yīng)變誤差相對II型載荷工況較大。對于II型載荷工況，裂尖塑性影響區(qū)尺度較小，應(yīng)變誤差相對較小。

圖10顯示了2種載荷工況下節(jié)點應(yīng)變漸近解與數(shù)值解相對誤差小于15%的區(qū)域，稱為應(yīng)變理想?yún)^(qū)。應(yīng)變理想?yún)^(qū)位于rp～2rp。對于I型載荷工況，ε11與ε22的理想?yún)^(qū)重合，位于θ=0°附近；而對于II型載荷工況，ε11與ε22的理想?yún)^(qū)分別位于θ=-45°與θ=45°附近?？梢婌o態(tài)漸近解適用的區(qū)域非常有限。

圖10 應(yīng)變理想?yún)^(qū)Fig.10 Suitable zone of strain solution

在應(yīng)變理想?yún)^(qū)內(nèi)選取4組節(jié)點計算動態(tài)應(yīng)力強度因子并分析漸近解與數(shù)值解的誤差，2種載荷工況分別如表5所示?？梢娫诠?jié)點應(yīng)變相對誤差不大的條件下，動態(tài)應(yīng)力強度因子相對誤差與節(jié)點應(yīng)變相對誤差量級相同；限于篇幅文中不再列出動態(tài)應(yīng)力強度因子曲線。

表5 動態(tài)應(yīng)力強度因子漸近解與數(shù)值解的誤差Table 5 Error of DSIFs between asymptotic and numerical solutions

5 結(jié)論

1)裂尖應(yīng)變場的解析解在特定方向上與數(shù)值解較為接近(Δε≤10%)，而在其他方向上有較大差異。對于I型載荷工況，誤差較小的方向是0°附近；對于II型載荷工況則是±45°附近。

2)DSIF解析解與數(shù)值解的相對誤差取決于節(jié)點應(yīng)變的相對誤差，2者在相同數(shù)量級。

3)靜態(tài)漸近解在動態(tài)斷裂問題中的適用范圍非常有限，且與試樣載荷工況有關(guān)。應(yīng)針對具體問題分別討論。