反卷積波束形成技術(shù)在水聲陣列中的應(yīng)用

孫大軍， 馬超， 梅繼丹， 楊宛珊， 魏秋雨

(1.哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 黑龍江 哈爾濱 150001；2.海洋信息獲取與安全工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(哈爾濱工程大學(xué)) 工業(yè)和信息化部，黑龍江 哈爾濱 150001；3. 哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001)

陣列信號(hào)處理是現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域的重要分支，被廣泛的應(yīng)用在雷達(dá)、聲吶中，高分辨波束形成技術(shù)作為提高聲吶目標(biāo)探測(cè)性能的重要手段，幾十年來一直是國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)。但是由于聲吶陣列規(guī)模的逐漸增大和本艇的機(jī)動(dòng)等特殊性的應(yīng)用環(huán)境，使得理想的陣列流型和長(zhǎng)時(shí)間信號(hào)平穩(wěn)性難以保證，導(dǎo)致了許多高分辨陣列信號(hào)處理方法的實(shí)際應(yīng)用效果并不理想。近年來具有高穩(wěn)健性和實(shí)時(shí)性(小快拍、短樣本)特征的高分辨陣列處理方法已成為了陣列信號(hào)處理中新的研究熱點(diǎn)。

由于經(jīng)典的常規(guī)波束形成算法受到空域傅里葉變換極限分辨能力的限制，如何突破瑞利限曾一度成為廣大學(xué)者的重要研究方向。自Capon波束形成技術(shù)被提出以來，產(chǎn)生了一批高分辨空間譜估計(jì)方法，比如諧波分析法[1]、最大熵法[2]、最小方差無畸變響應(yīng)法(minimum variance distortionless response, MVDR)[3]、基于ARMA (autoregressive moving average model)的線性預(yù)測(cè)法，MUSIC (multiple signal classification)[4]算法，ESPRIT (estimating signal parameter via rotational invariance techniques)[5]算法等。由于MVDR和MUSIC以及ESPRIT這類經(jīng)典的高分辨處理方法無法分辨相干源，之后又出現(xiàn)了一系列的解相干處理方法。空間平滑技術(shù)其基本思想是利用均勻線陣的平移不變性，將陣列劃分為多個(gè)重疊子陣，通過對(duì)所有子陣協(xié)方差矩陣的平均來解相干。但在水聲信號(hào)處理領(lǐng)域，由于經(jīng)典類高分辨處理算法對(duì)陣列流形精度要求高、低信噪比性能下降嚴(yán)重等問題，實(shí)用性一直受到質(zhì)疑。學(xué)者們又針對(duì)具有良好干擾抑制效果的MVDR算法開展了穩(wěn)健性算法研究，典型的方法有線性約束最小方差算法[6]、對(duì)角加載方法[7]，基于特征空間波束形成等方法[8]。但是根據(jù)經(jīng)典的陣列信號(hào)處理理論，穩(wěn)健性、高分辨與處理增益往往不可兼得，高分辨方法穩(wěn)健性差，而為了提高穩(wěn)健性對(duì)權(quán)值進(jìn)行對(duì)角加載這類方法往往又會(huì)導(dǎo)致實(shí)際處理增益下降，現(xiàn)有方法大多是在這三者之間尋找平衡點(diǎn)，所以每種方法都會(huì)有應(yīng)用局限性。

到了20世紀(jì)，人們開始利用其他學(xué)科的成果來解決陣處理中的高分辨問題，凸優(yōu)化理論也被應(yīng)用到陣列信號(hào)處理中，Eldar等[9]運(yùn)用凸優(yōu)化理論，將波束形成問題轉(zhuǎn)化為二階錐優(yōu)化問題，突破了傳統(tǒng)波束形成方法中存在的未能求取全局最優(yōu)解的局限。隨后，壓縮感知理論被推廣于陣列信號(hào)處理領(lǐng)域[10]，相比于前幾種高分辨算法，該方法的優(yōu)點(diǎn)是可應(yīng)用于小快拍數(shù)據(jù)，無需預(yù)先估計(jì)聲源個(gè)數(shù)，可應(yīng)用于陣元數(shù)少于聲源數(shù)的情形等，但受噪聲功率估計(jì)誤差影響較大，且計(jì)算量大，使工程應(yīng)用受限。

Yang[11-12]將反卷積算法與波束形成相結(jié)合，提出一種高增益穩(wěn)健反卷積波束形成技術(shù)，并應(yīng)用到聲壓陣和圓陣的處理中，對(duì)反卷積波束形成的穩(wěn)健性、分辨率和增益方面進(jìn)行了驗(yàn)證，改善效果顯著。但文獻(xiàn)中所提出的基于Richardson-Lucy(RL)的反卷積波束形成方法只適用于PSF具有移不變特性的陣列中。針對(duì)上述問題，文獻(xiàn)[13]針對(duì)矢量陣PSF的移變性，將非負(fù)最小二乘(nonnegative least-squares, NNLS)和DAMAS (deconvolution approach for the mapping of acoustic sources)算法應(yīng)用到矢量陣中，并提出了一種改進(jìn)的R-L算法[13-14]，該方法在低信噪比的情況下與NNLS和DAMAS 相比，具有更窄的主瓣寬度，更低的旁瓣和更高的穩(wěn)健性。多目標(biāo)情況下的常規(guī)波束形成空間譜輸出可以看成每一個(gè)角度的指向性圖和該角度的源強(qiáng)度乘積之和，在數(shù)學(xué)上可以用一個(gè)疊加積分來表示。如果陣列的PSF具有移不變性，此時(shí)疊加積分可以被表示為卷積過程。因此，對(duì)常規(guī)波束輸出空間譜和自然指向性函數(shù)反卷積可以得到目標(biāo)函數(shù)。

在實(shí)際陣列信號(hào)處理中，由于應(yīng)用場(chǎng)景和需求的不同，陣列的形式多種多樣，除了等間距直線陣、圓陣、矢量陣等典型陣列形式外，不等間距陣、十字陣、面陣等陣列形式也是常采用的陣列形式。本文主要分析了水聲常用陣列結(jié)構(gòu)PSF的特點(diǎn)，將多種典型陣列按照卷積模型類型進(jìn)行了分類綜述，將其劃分為波束圖移變陣列和波束圖移不變陣列。然后分別總結(jié)了移不變和移變模型陣列的反卷積波束形成典型求解方法，以期為反卷積技術(shù)在水聲陣列信號(hào)處理中的應(yīng)用提供一定的指導(dǎo)。

1 移不變點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的反卷積波束形成問題

1.1 移不變的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)定義

在空間域處理中，有一大類陣列的自然指向性函數(shù)直接或者通過簡(jiǎn)單的變換就能夠具有PSF移不變的特點(diǎn)。在這里移不變的定義就是指向某個(gè)角度的波束輸出是和角度無關(guān)的，其可以看做自然指向性函數(shù)的移位，即R(θ|?)=R(θ-?)?；蛘咴谀骋粋€(gè)變換域具有波束輸出具有移不變性，不同位置的波束輸出可以視指向性函數(shù)的移位。這種移不變性可能是在一維，也可能是在二維或高維空間。

1.2 典型移不變模型陣列

1.2.1 圓陣

對(duì)于某些陣列，PSF是移不變條件是可以直接滿足的，例如，一個(gè)等間距圓陣，如果僅考慮二維平面的情況下其自然指向性函數(shù)為:

(1)

式中：N為陣元數(shù)；r為圓陣半徑；λ為波長(zhǎng)。則其在角度?的指向性函數(shù)可表示為：

(2)

當(dāng)陣元數(shù)N滿足N>4πr/λ+2時(shí)，指向性函數(shù)可以近似為：

(3)

其中，J0(x)為零階貝塞爾函數(shù)：

(4)

此時(shí)，圓陣?方向的指向性函數(shù)R(θ|?)是θ-?的函數(shù)，即R(θ|?)=R(θ-?)，近似具有關(guān)于方位?的移不變性質(zhì)。

常規(guī)波束形成功率譜P(θ)可以看成每一個(gè)角度的指向性函數(shù)R(θ|?)和該角度的信源強(qiáng)度S(?)乘積之和，在數(shù)學(xué)上可以用疊加積分表示：

(5)

由于圓陣的指向性函數(shù)具有移不變特性，波束輸出疊加積分的過程可以等效為卷積過程：

(6)

窄帶信號(hào)頻率3 kHz，圓陣的陣元數(shù)20，半徑0.5 m，改變信號(hào)的方向，源1的方位為0°，源2為30°，源3為60°。指向不同角度的圓陣指向性函數(shù)如圖1所示，可以看出圓陣的指向性函數(shù)是自然指向性函數(shù)的圓周移位，因此是移不變的。

圖1 指向不同角度的圓陣的指向性函數(shù)Fig.1 The PSF of a circular array steering to different angles

.2.2 均勻聲壓線列陣

另外還有一類陣列的指向性函數(shù)是需要進(jìn)行一定的映射變換才能夠滿足移不變性質(zhì)的，例如均勻等間距聲壓線陣、非均勻線陣。以均勻聲壓線陣為例，均勻線陣幾何模型圖如圖2所示。其自然指向性函數(shù)為：

圖2 均勻線陣模型Fig.2 Array geometry for uniform line array

(7)

其在角度?方向的指向性函數(shù)為：

(8)

這里取平方是為了和CBF的功率譜對(duì)應(yīng)，顯然R(θ|?)≠R(θ-?)。因此，疊加過程不能直接用卷積過程代替。但是經(jīng)過簡(jiǎn)單的變換，單位線陣的自然指向性函數(shù)具有關(guān)于cosθ移不變的性質(zhì)，即有R(cosθ|cos ?)=R(cosθ-cos ?)。

因此均勻線陣波束輸出可以等效為卷積過程：

R(cosθ)*S(cosθ)

(9)

窄帶信號(hào)，信號(hào)頻率500 Hz，直線陣的陣元數(shù)20，陣元間距半波間距，信號(hào)來波方位的余弦值分別為0、0.25和0.5。指向不同角度的聲壓線陣的指向性函數(shù)如圖3所示，可以看出指向不同角度的指向性函數(shù)和角度無關(guān)，具有移不變性，可以看做自然指向性函數(shù)的移位。

圖3 指向不同角度的聲壓線陣的指向性函數(shù)Fig.3 The PSF of ULA steering to different angles

1.2.3 非均勻聲壓線列陣

假設(shè)N個(gè)聲壓傳感器非均勻的分布在同一條直線上，信號(hào)從陣列的遠(yuǎn)場(chǎng)入射，如圖4所示。

圖4 非均勻線陣模型Fig.4 Array geometry for non-uniformly linear array

假設(shè)入射信號(hào)是單頻信號(hào)，第1個(gè)陣元H1接收到的信號(hào)是Acos(2πft)，把1號(hào)陣元當(dāng)做參考陣元，那么第i個(gè)傳感器接收到的信號(hào)為：

si(t)=Acos(2πft+φi)，i=1,2,…，N

(10)

其中φi為聲程差HiPi導(dǎo)致的相位差:

(11)

將陣元接收到的信號(hào)相加，整個(gè)陣列的輸出為：

(12)

將s(t)取平方并歸一化得到的指向性函數(shù)為：

(13)

相似地，其在角度?方向的指向性函數(shù)為：

(14)

顯然，非均勻線陣的指向性函數(shù)是sinθ-sin ?的函數(shù)，因此非均勻線陣的PSF是關(guān)于角度的正弦值的移不變函數(shù)，R(θ|?)=R(sinθ-sin ?)。非均勻線陣常規(guī)波束形成功率可以寫做如下卷積過程:

R(sinθ)*S(sinθ)

(15)

為了說明非均勻線陣移不變性，以20元非均勻陣為例，各陣元的位置分別選取半波間距陣列的[1,2,3,4,5,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,30,31,35]號(hào)陣元構(gòu)成非等間距陣列。信號(hào)是500 Hz單頻信號(hào)，其中λ對(duì)應(yīng)信號(hào)頻率的波長(zhǎng)。

圖5 指向不同角度的非均勻聲壓線陣的指向性函數(shù)Fig.5 The PSF of NLA steering to different angles

1.2.3 遠(yuǎn)場(chǎng)平面陣

一個(gè)任意分布的N元平面陣，如圖6所示放置于xoy平面，假設(shè)信號(hào)從(θ0,φ0)方位以遠(yuǎn)場(chǎng)平面波入射，N個(gè)陣元位置坐標(biāo)分別為[xn,yn]，n=1,2,…,N。則第n個(gè)陣元與參考陣元之間的聲程差為：

圖6 任意面陣模型Fig.6 Array geometry for planar array

βn=k(xnsinφcosθ+ynsinφsinθ)

(16)

其中，k為波數(shù)，k=ω/c=2π/λ，λ為信號(hào)的波長(zhǎng)，定義ux=sinφcosθ，uy=sinφsinθ，那么基陣的陣列流形向量為a(k)=(e(-jk(uxx1+uyy1)),…,e(-jk(uxxN+uyyN)))T，常規(guī)波束形成器的加權(quán)向量為wc=a(θ0,φ0)/M。因此常規(guī)波束形成的指向性函數(shù)為：

Rp(ux,ux0,uy,uy0)=|wHa(θ,φ)|2=

Rp(ux-ux0,uy-uy0)

(17)

故面陣的波束可以看做是一個(gè)關(guān)于ux=sinφ·cosθ和uy=sinφsinθ的二維移不變函數(shù)，且ux和uy都在[-1,1]范圍內(nèi)，因此可以將矩形面陣歸為PSF移不變陣的二維反卷積求解問題。以矩形陣為例說明平面陣的二維反卷積問題，矩形陣仿真條件：X軸陣元數(shù)8，Y軸陣元數(shù)8，信號(hào)形式為頻率500 Hz單頻信號(hào)，陣元間距為1.5 m。

圖7是矩形面陣在不同角度所對(duì)應(yīng)的單目標(biāo)指向性函數(shù)。由圖可見，2個(gè)指向性函數(shù)形狀相同，只是進(jìn)行了平移，因此面陣的指向性函數(shù)可以看成是移不變的。

圖7 矩形陣指向不同角度的三維指向性函數(shù)Fig.7 PSF of rectangle array steering to different source angles

.3 PSF移不變模型反卷積求解方法

對(duì)于移不變的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，常用的卷積方法有CLEAN[15]、DAMAS[16]、NNLS[17]、R-L[18-19]算法等。在其基礎(chǔ)上又衍生出適用于相干信號(hào)的CLEAN-C算法，基于傅里葉變換的快速DAMAS2[20]和DAMAS3[20]算法，基于稀疏信號(hào)重構(gòu)的SC-DAMAS[21]算法，基于小波變換計(jì)算網(wǎng)格的快速DAMAS算法[22]，基于傅里葉變換的FFT-NNLS算法等。Klaus在文獻(xiàn)[17]中比較了DAMAS，NNLS,基于傅里葉變化的DAMAS2, FFT-NNLS和R-L算法，結(jié)果表明DAMAS和NNLS不要求PSF是移不變的，而DAMAS2,FFT-NNLS和RL算法適用于PSF移不變的反卷積問題中，且RL算法和DAMAS,NNLS相比具有更低的計(jì)算量。文獻(xiàn)[23]將CLEAN算法，DAMAS,NNLS和R-L算法應(yīng)用到三維空氣聲源定位中，結(jié)果表明幾種方法都能顯著提高聲源分辨能力，但在處理相干源時(shí)R-L的效果最好。文獻(xiàn)[24]分析比較了DAMAS,NNLS和ISCA 3種反卷積算法，結(jié)果表明DAMAS的定位誤差精度最差， ISCA有最高的定位精度和最高的穩(wěn)健性。在這里簡(jiǎn)要介紹幾種常用的反卷積算法。

1.3.1 DAMAS

將系統(tǒng)的輸入輸出描述成線性方程組的形式：

P=RS+N

(18)

式中：P代表常規(guī)波束形成的輸出；R代表基陣的指向性函數(shù)PSF；S代表源的分布函數(shù)；N代表噪聲。DAMAS是在忽略噪聲的條件下用高斯賽德爾方法求解線性方程組。對(duì)于線性移不變的PSF，矩陣R是Toeplitz 矩陣且是一個(gè)半正定對(duì)稱陣。

高斯賽德爾方法通過引入正約束來解決式(18)，迭代過程：

(19)

(20)

1.3.2 NNLS算法

最小二乘問題，其基本原理可以推廣到陣列反卷積處理，具體方法是在常規(guī)波束輸出，矢量陣點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)字典，聲源目標(biāo)函數(shù)之間建立差函數(shù)方程組，通過最小化差函數(shù)的原則來實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)函數(shù)S的求解，獲取聲源的分布，矩陣為：

φ=‖RS-P‖2

(21)

式中：P是矢量陣常規(guī)波束形成輸出空間譜；R是所有角度矢量陣的指向性函數(shù)形成的指向性函數(shù)字典矩陣；S是反映聲源方位和強(qiáng)度信息的目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于上述方程組求解可以采用梯度投影法，該方法的核心是負(fù)梯度方向指向標(biāo)量場(chǎng)下降最快的方向，通過在φ關(guān)于S的負(fù)梯度方向上按特定步長(zhǎng)反復(fù)迭代搜索來求得S的結(jié)果。計(jì)算的具體步驟可以參考文獻(xiàn)[13]。

NNLS算法并不局限于移不變反卷積模型求解，只需要獲得陣列所有方位的指向性函數(shù)矩陣即可。需要注意的是，對(duì)于移不變模型采用NNLS算法時(shí)可采用FFT變換域計(jì)算的方式實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，但這并不適用于移變模型陣列。該方法并不局限于矢量陣。對(duì)結(jié)構(gòu)固定不變的陣列該方法都適用。

1.3.3 R-L算法

R-L算法是一種基于貝葉斯理論的迭代方法，該方法被廣泛用于圖像復(fù)原中。R-L算法中要求PSF是移不變的，在陣列信號(hào)處理中，就是指基陣的波束圖是和角度無關(guān)的(指向某一個(gè)角度的波束圖都可以看做自然指向性函數(shù)的移位)，R-L算法的迭代方程為：

R(sinθ)*Si(sinθ)

(22)

(23)

dsinθ≤ε

(24)

1.3.4 仿真對(duì)比

以均勻分布聲壓線陣為例，分析陣列的PSF是移不變的反卷積問題求解。由式(9)可知，ULA的波束輸出為：

P(cosθ)=R(cosθ)*S(cosθ)

(25)

基于陣列的參數(shù)可以得到陣列的自然指向性函數(shù)，對(duì)接收到的數(shù)據(jù)做常規(guī)波束形成可以得到波束輸出的方位譜，對(duì)常規(guī)波束輸出空間譜P(θ)和自然指向性函數(shù)R(θ)反卷積可以得到目標(biāo)函數(shù)S(θ)，其理想情況下是δ函數(shù)，必然是對(duì)目標(biāo)方位的高分辨估計(jì)結(jié)果。關(guān)于PSF是移不變的反卷積問題求解引用文獻(xiàn)[14]中所采用的R-L方法。

為了說明反卷積波束形成算法在PSF是移不變的陣列的應(yīng)用效果，以圓陣為例進(jìn)行仿真分析。

仿真條件同圖1，為理想無噪聲條件下，雙目標(biāo)的仿真結(jié)果圖。圖8說明常規(guī)波束輸出的空間譜是陣列的PSF和信號(hào)的目標(biāo)強(qiáng)度函數(shù)的卷積。與CBF相比，反卷積波束形成方法有更窄的主瓣和更低的旁瓣。

圖8 雙目標(biāo)圓陣仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of two target for circular array

2 移變點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的反卷積波束形成問題

2.1 移變的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

在空間域處理中，有一大類陣列的自然指向性函數(shù)具有PSF移變的特點(diǎn)，移變的定義就是指向某個(gè)角度的波束輸出是和角度有關(guān)的，即R(θ|?)≠R(θ-?)，不可以看做自然指向性函數(shù)的簡(jiǎn)單移位。但與一般的時(shí)域系統(tǒng)相比，空間域上的移變問題有一個(gè)典型特點(diǎn)：在水聲中一般是將具有固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)指的陣列去采集聲信號(hào)，對(duì)于任意形狀的陣列，當(dāng)陣列拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)固定后，PSF無論是移不變還是移變都是可以預(yù)先測(cè)定得到的，如果采用測(cè)量獲得的PSF函數(shù)由于其包含了對(duì)陣型誤差等因素等影響的校正會(huì)有更好的反卷積求解效果。

2.1.1 矢量陣

以均勻矢量線陣為例來說明這一問題，角度定義同圖1。與聲壓陣相似，直線聲矢量陣的波束輸出可以寫為[16]：

(26)

式中：Rv(θ|?)矢量陣指向?的指向性函數(shù)；S(?)是以方位為變量的目標(biāo)信源強(qiáng)度分布函數(shù)；θ和?分別代表掃描角度和目標(biāo)信號(hào)方位。

矢量陣在90°方向指向性函數(shù)為：

(27)

式中：Rp(θ)為聲壓陣的自然指向性函數(shù)，可以看出，矢量陣的自然指向性函數(shù)Rv(θ)為聲壓陣自然指向性函數(shù)Rp(θ)與一個(gè)角度指向因子u(θ)=(1+cosθ)/2的乘積。

指向?方向的矢量陣指向性函數(shù)為：

Rv(θ|?)=

(28)

比較Rv(θ)和Rv(θ|?)，不難發(fā)現(xiàn)Rv(θ|?)≠Rv(θ-?)，也不可通過簡(jiǎn)單的正弦，余弦變換將其變?yōu)橐撇蛔兒瘮?shù)。因?yàn)?，u(θ)=(1+cosθ)/2是關(guān)于θ移不變的函數(shù)，而Rp(θ)是關(guān)于cosθ的移不變函數(shù)，二者相乘后無法通過簡(jiǎn)單的變量代換將其等效為某個(gè)統(tǒng)一變量的移不變模型。

矢量陣仿真：20元均勻分布矢量陣，陣元間距3.75 m，為信號(hào)頻率半波間距，信號(hào)頻率200 Hz，采樣頻率20 kHz。改變信號(hào)的方向，指向不同角度的矢量陣的指向性函數(shù)如圖9所示，可以看出不同角度的矢量陣的指向性函數(shù)是移變的，不是自然指向性函數(shù)的移位。而且盡管矢量有一定的抗左右模糊作用，但是其效果與目標(biāo)方位有關(guān)，在端射方向附近效果仍然較差，會(huì)在對(duì)稱方向形成偽峰。

圖9 指向不同角度的矢量陣指向性函數(shù)Fig.9 PSF of VSLA steering to different source angles

2.1.2 共形陣

共形陣是傳感器附著在非平面載體表面上的陣列，簡(jiǎn)稱共形陣。由于其具有良好的空氣動(dòng)力學(xué)特性，可以充分利用導(dǎo)流罩的縱向空間，增加基陣有效孔徑，共形陣正被當(dāng)做一種新型布陣方式應(yīng)用在新型聲吶系統(tǒng)中。

假設(shè)各陣元的位置pn是隨機(jī)分布，如圖10所示，第nth個(gè)傳感器的位置坐標(biāo)為pn=[xn,yn,zn]。K個(gè)平面波從陣列的遠(yuǎn)場(chǎng)入射，簡(jiǎn)單起見，假設(shè)K=1。θ和φ分別是方位角和俯仰角，定義信號(hào)傳播方向的單位向量可以表示為：u=-[cosθcosφ,sinθcosφ,sinφ]T，把原點(diǎn)當(dāng)做參考點(diǎn)時(shí)，第nth個(gè)傳感器相對(duì)于參考點(diǎn)的時(shí)延差為：

圖10 任意分布陣列模型Fig.10 Arbitrary conformal array geometry

(29)

式中c為聲速。

若入射信號(hào)為Acos(2πft)，那么第nth個(gè)傳感器接收到的信號(hào)為：

sn(t)=Acos[2πf(t+τn)]

(30)

將接收到的信號(hào)求和，并將幅度歸一化并且取平方，得到陣列的指向性函數(shù)為：

相似的，其在角度?方向的指向性函數(shù)為：

R(θ,φ)=

(32)

顯然，共形陣的指向性函數(shù)不具有規(guī)律可言，是移變函數(shù)。為了對(duì)該問題簡(jiǎn)要說明，這里采用半橢圓陣列來說明共形陣反卷積波束形成問題。對(duì)于共形陣聲吶(非成像聲吶)，探測(cè)目標(biāo)為陣所在平面內(nèi)的遠(yuǎn)距離目標(biāo)，即只考慮目標(biāo)方位方向上的一維求解問題，此時(shí)是一維移變反卷積問題。

將41個(gè)傳感器如圖11所示，放置在橢圓軌跡上，橢圓方程是 4y2+x2=100; 每個(gè)傳感器在x軸的位置是xn,其中xn=[0:0.5:10]∪[9.5:-0.5:0]。

圖11 橢圓形共形陣模型Fig.11 Oval conformal array geometry

信號(hào)頻率為1 kHz，改變信號(hào)的方向，指向不同角度的共形陣的指向性函數(shù)如圖12所示，可以看出不同角度的共形陣的指向性函數(shù)是移變的，不是自然指向性函數(shù)的移位。

圖12 指向不同角度的共形陣指向性函數(shù)Fig.12 PSF of conformal array steering to different source angles

2.2 PSF是移變模型的反卷積求解方法

文獻(xiàn)[14]針對(duì)矢量陣分析比較了3種反卷積波束形成方法，DAMAS，NNLS和改進(jìn)的R-L算法。改進(jìn)的R-L算法在低信噪比的情況下與NNLS和DAMAS 相比，具有更窄的主瓣寬度，更低的旁瓣和更高的穩(wěn)健性。因此針對(duì)空間域反卷積問題點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)移變情況的特點(diǎn)——移變但可預(yù)知的特點(diǎn)，應(yīng)用文獻(xiàn)[14]中提出的改進(jìn)R-L反卷積算法。

(33)

上述方法在空間域處理中并不限于之前提到的

幾種陣列，凡是指向性函數(shù)移變但可預(yù)測(cè)的情況都適用，而對(duì)于具有固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的實(shí)際陣列PSF都是可以預(yù)先測(cè)定得到的，因此適用的陣列形式非常廣泛。該方法亦可推廣到非空間域陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的其他單位沖擊響應(yīng)移變但可預(yù)測(cè)的系統(tǒng)中。

為了證明反卷積波束形成方法在PSF是移變陣列波束形成中的使用性能，以橢圓形共形陣為例進(jìn)行仿真分析，橢圓形共形陣的參數(shù)見2.1.2節(jié)。圖13展現(xiàn)了預(yù)存的不同角度指向性函數(shù)(PSF)。

圖13 預(yù)存的不同角度共形陣指向性函數(shù)Fig.13 The predefined beam pattern

圖14是對(duì)單目標(biāo)及雙目標(biāo)的共形陣做CBF與dCv的仿真對(duì)比結(jié)果，陣列結(jié)構(gòu)同圖12，圖14(a)是單目標(biāo)，信號(hào)方位90°，圖14(b)是等強(qiáng)度的雙目標(biāo)，信號(hào)方位是100°和240°。

圖14 共形陣CBF和dCv的波束輸出對(duì)比Fig.14 Comparison of dCv and CBF in conformal array

通過上圖可以看出，新方法可以很好地將反卷積波束形成算法應(yīng)用到具有任意結(jié)構(gòu)的共形陣這種PSF具有移變性的陣列中。與CBF相比，dCv方法有更高的角度分辨能力和低的旁瓣，同時(shí)能準(zhǔn)確估計(jì)出多目標(biāo)信號(hào)的功率值。

通過上述具有橢圓形狀的共形陣的仿真結(jié)果也證明了文中所提出的PSF移變模型的反卷積波束形成方法是具有可行性的。

3 結(jié)論

1)文章介紹了水下陣列信號(hào)處理中的反卷積問題。對(duì)多種水下常用陣列形式的波束形成卷積模型進(jìn)行了分析推導(dǎo)，將其按照卷積模型類型進(jìn)行了分類綜述，劃分為波束圖移變陣列和波束圖移不變陣列。

2)圓陣、均勻聲壓線列陣、非均勻聲壓線列陣均是一維移不變陣列，平面陣是二維移不變陣列，矢量陣和共形陣是移變陣列。

本文總結(jié)了移不變和移變模型陣列的反卷積波束形成典型求解方法，是對(duì)各類典型水下陣列卷積模型的基礎(chǔ)總結(jié)歸納。