雙穩(wěn)系統(tǒng)中的隨機共振乘性信噪作用研究*

徐 江，郭 鋒，陳 勇

(1. 四川壓電與聲光技術(shù)研究所，重慶 400060；2. 西南科技大學信息工程學院，四川 綿陽 621010；3. 中國科學院新疆天文臺，新疆 烏魯木齊 830011)

隨機共振是乘性在隨機動力系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象。當系統(tǒng)的噪聲、系統(tǒng)輸入信號和系統(tǒng)三者間協(xié)同作用時，噪聲對系統(tǒng)輸出性能有所影響。隨機共振的概念由文[1]提出，用于對周期性出現(xiàn)的地球冰川時代進行合理的建模分析。此后，隨機共振現(xiàn)象得到廣泛研究[2]。隨機共振也廣泛存在于天文領(lǐng)域，比如，太陽耀斑和噴流中，與磁重聯(lián)相關(guān)的隨機共振加速，不但產(chǎn)生電子，而且導致3He/4He千倍的增強[3]。小行星Bennu(101955)在行星碰撞和隨機共振的聯(lián)合作用下，經(jīng)過幾百萬至幾千萬年，到達目前的運行軌道[4]。電子與加速圓環(huán)面小區(qū)域中的湍動磁場相互作用的隨機共振加速，可能是人馬座A的毫米和短波頻譜的產(chǎn)生機制[5]。在射電天文接收機中也滿足隨機共振條件，即接收機噪聲、輸入信號(射電天文信號、無線電干擾信號)以及接收機相關(guān)參數(shù)，如增益、穩(wěn)定性、動態(tài)范圍、噪聲系數(shù)、矩形系數(shù)等相互作用，共同決定了整個觀測效果。

方波信號可以看作在兩個電平間切換的數(shù)字信號。隨著集成電路的快速發(fā)展， 方波信號在數(shù)字通信系統(tǒng)中起著越來越重要的作用。比如，可以作為數(shù)字邏輯系統(tǒng)的輸入信號，作為時鐘信號準確地觸發(fā)同步電路。另一方面，雙值噪聲是工程應用中常見的干擾。比如，隨機電報噪聲是電子工程領(lǐng)域一種典型的雙值噪聲。在半導體器件中，閃存產(chǎn)生的隨機電報噪聲影響信息的正確讀取。

系統(tǒng)的輸入信號通常具有加性的形式，即以加法的形式作用于系統(tǒng)。然而，在某些情況下，輸入信號是狀態(tài)依賴性的，輸入信號是與系統(tǒng)狀態(tài)變量相乘的形式。乘性信噪作用對射電天文接收機可能存在干擾，特別是在強干擾信號作用下，均以乘性結(jié)果輸出[6]。目前，射電天文臺址的無線電環(huán)境測量較多關(guān)注干擾信號頻點和噪底水平[7-8]，但對強干擾可能導致的接收機內(nèi)部交調(diào)后的噪聲變化卻沒有相關(guān)研究報道。同時，該研究結(jié)果可以用于基于鎖相放大的微弱信號提取[9-10]，而鎖相放大后引起的信噪比提升一直是值得研究的問題。

基于此，本文旨在研究乘性方波信號和乘性雙值噪聲作用下非線性雙穩(wěn)系統(tǒng)中的非線性共振行為。通過仿真定量分析，得到非線性共振行為的能譜分布規(guī)律，為強無線電干擾情況下的接收機設計、干擾信號處理提供依據(jù)。

1 乘性方波和乘性雙值噪聲作用下的雙穩(wěn)系統(tǒng)

乘性信號和乘性噪聲作用下的雙穩(wěn)系統(tǒng)滿足[11-12]：

(1)

其中，a和b為系統(tǒng)參數(shù)(a> 0,b> 0)，

f(t)=r+εζ(t)+As(t)

(2)

為乘性信號；ζ(t)為對稱雙值噪聲，ζ(t)={1, -1}，其相關(guān)率為λ0；s(t)為周期為T的方波信號，

(3)

〈ξ(t1)ξ(t2)〉=2Dδ(t1-t2) ,

(4)

〈η(t1)η(t2)〉=2Pδ(t1-t2) ,

(5)

(6)

其中，D和P分別為乘性和加性噪聲的強度；λ為兩噪聲間的耦合強度，0 <λ< 1。

由(1)、(5)和(6)式，(1)式對應的Fokker-Plank方程可以表示為

(7)

其中，

(8)

(9)

設方波信號為一個緩變信號，(1)式在一個周期T的時間內(nèi)足夠達到局域平衡，即滿足絕熱近似條件[2]，這樣可以由(7)～(9)式推導其長時間的漸近分布函數(shù)，即

(10)

其中，M為歸一化常數(shù)；Φ(x,t)為修正的勢能函數(shù)，

(11)

在絕熱近似條件下，粒子在兩穩(wěn)態(tài)的轉(zhuǎn)移率可以表示為

(12)

系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)可以表示為[12]

G(t)=[B1(r,ε,A)+B3(r,ε,A)]exp(-λ0|t|)+B2(r,ε,A)φ(t)+C(r,ε,A)δ(t),

(13)

其中，

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

對(10)式兩邊進行傅里葉變換，得

S(ω)=S1(0)+S2(ω),

(21)

其中，

(22)

S2(ω)=B2(r,ε,A)φ(ω),

(23)

(24)

這里S1(0)為零頻率處的噪聲背景功率；S2(ω)為輸出信號的功率譜。系統(tǒng)輸出信噪比定義為信號的基波頻率處功率與背景噪聲功率之比，即

(25)

2 討 論

基于絕熱近似條件推導了雙穩(wěn)系統(tǒng)的漸近分布函數(shù)和穩(wěn)態(tài)間轉(zhuǎn)移率。由相關(guān)函數(shù)得到了輸出信號的功率譜，進而求得了系統(tǒng)的輸出信噪比?，F(xiàn)在基于(25)式，分析信噪比的非單調(diào)行為。利用圖1和表1分析乘性雙值噪聲對系統(tǒng)信噪比的影響。由圖1和表1可見，在信噪比與乘性噪聲幅度ε的關(guān)系曲線上出現(xiàn)了兩個極值，一個極大值，一個極小值。隨著ε的增大，信噪比先快速增大至最大值，然后緩慢地減小到最小值，最后單調(diào)增大。較大的乘性雙值噪聲幅度可以提升系統(tǒng)的輸出性能，由表1可得，對于b=3.8的情形，ε=3.5時系統(tǒng)輸出幅度為ε=0.25時輸出幅值的2.5倍；而當b=4.0時，ε=3.5時輸出幅度為ε=0.25時輸出幅值的2.15倍。研究發(fā)現(xiàn)，乘性雙值噪聲對信噪比的影響與文[12-14]中加性雙值噪聲對信噪比的影響不同。對于加性噪聲情形，在信噪比與雙值噪聲幅度的曲線上或者僅有一個極值，即最大值[12]，或者雖然有兩個極值，但先出現(xiàn)最小值，后出現(xiàn)最大值[13-14]。

圖1 系統(tǒng)參數(shù)b取不同值時，信噪比與雙值噪聲幅度ε的關(guān)系曲線，參數(shù)為a=5,D=0.1,P=0.1,λ=0.05,r=0.2,A=0.1,λ0=1

表1 系統(tǒng)參數(shù)b和雙值噪聲幅度ε取不同值時的信噪比(10-9)

由圖2和表2研究信噪比與乘性方波信號幅值的依賴關(guān)系。由圖2和表2可見，信噪比隨A的增大而非單調(diào)變化。隨著A的增大，信噪比先減小至一個極小值，然后增大至一個極大值，最后單調(diào)減小?？梢?，相對居中的幅值A(如對于λ=0.65取A≈0.65)可以提升系統(tǒng)的輸出信號,而較高或較低的幅值A(對于λ=0.65， 取A> 0.7或A≈0.3)則會抑制系統(tǒng)性能。比如，由表2可得，對于λ=0.65的情形，A=1.0時系統(tǒng)輸出幅度比A=0.3時的輸出幅值下降約29%；而當λ=0.67時，A=1.0時系統(tǒng)輸出幅度比A=0.3時的輸出幅值下降約20%?？梢?，乘性方波信號與加性方波信號對信噪比的影響是不同的。實際上，文[13-14]的研究結(jié)果表明，較高的加性方波信號幅值可以提升系統(tǒng)的信噪比，而由圖2和表2可見，較高的乘性方波信號幅值會抑制系統(tǒng)的輸出性能。另外，信噪比隨兩個白噪聲間的耦合強度λ變化也非單調(diào)變化，如圖2和表2，當A< 0.85，信噪比隨著λ的增大而減??；當A> 0.9時，信噪比隨著λ的增大而增大。

表2 噪聲耦合強度λ和方波信號幅度A取不同值時的信噪比(10-5)

圖2 噪聲耦合強度λ取不同值時，信噪比與方波信號幅度A的關(guān)系曲線，參數(shù)為a=1.9,b=0.7,D=0.35,P=0.03,r=0.4,ε=0.45,λ0=1

系統(tǒng)參數(shù)b取不同值時，信噪比與直流偏值r的關(guān)系曲線如圖3，由圖3可見，每條曲線上呈現(xiàn)了一個峰值，即廣義的隨機共振現(xiàn)象。該現(xiàn)象與文[15]中的結(jié)果類似。另外，容易看出，信噪比也是參數(shù)b的非單調(diào)函數(shù)。圖4和圖5清晰地表明，隨著乘性噪聲強度的增大，信噪比可以出現(xiàn)一個共振峰，即隨機共振現(xiàn)象，該現(xiàn)象與乘性噪聲作用下雙穩(wěn)系統(tǒng)[12-14,16]中出現(xiàn)的現(xiàn)象相同，而且系統(tǒng)參數(shù)a非單調(diào)地影響信噪比，如圖4。

圖3 系統(tǒng)參數(shù)b取不同值時，信噪比與偏值r的關(guān)系曲線，參數(shù)為a=2,D=0.8,P=0.04,λ=0.4,ε=0.8,A=0.01,λ0=1

圖4 系統(tǒng)參數(shù)a取不同值時，信噪比與乘性噪聲強度D的關(guān)系曲線，參數(shù)為b=0.7,P=0.25,λ=0.15,r=0.1,ε=0.1,A=0.1,λ0=1

圖5 噪聲耦合強度λ取不同值時，信噪比與乘性噪聲強度D的關(guān)系曲線，參數(shù)為a=0.9, b=0.9, P=0.2,r=0.01,ε=0.1,A=0.1,λ0=1

圖6表明，信噪比是加性白噪聲強度的非單調(diào)函數(shù)。隨著加性噪聲強度的增大，系統(tǒng)輸出信噪比先單調(diào)增大，直到最大值，然后隨著加性噪聲強度的進一步增大而單調(diào)減小。故相對于無噪聲情形，適量的加性噪聲強度可以提升系統(tǒng)的輸出信噪比。

圖6 系統(tǒng)參數(shù)b取不同值時，信噪比與加性噪聲強度P的關(guān)系曲線，參數(shù)為a=2,D=0.2,λ=0.3,r=0.2,ε=0.2,A=0.1,λ0=2

綜上，隨著乘性方波信號幅度的增大，信噪比可以取得一個最大值和一個最小值(對于λ=0.72情形，在A=0.8時出現(xiàn)最大值為2.9，A=0.35時出現(xiàn)最小值為2.5)，而隨著其他參數(shù)的變化僅出現(xiàn)一個極值，即最大值。對于加性噪聲情形，在信噪比與雙值噪聲幅度的曲線上或者僅有一個極值，即最大值，或者雖然有兩個極值，但先出現(xiàn)最小值，后出現(xiàn)最大值。另外，以前的研究表明，較高的加性方波信號幅值可以提升系統(tǒng)的信噪比，而本文的研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，較大的乘性方波信號幅度會抑制系統(tǒng)的輸出信號，對于λ=0.65的情形，A=1.0時系統(tǒng)輸出幅度比A=0.3時的輸出幅值下降約29%；反之，較大的乘性雙值噪聲幅度可以提升系統(tǒng)輸出信噪比，對于b=3.8情形，ε=3.5時系統(tǒng)輸出幅度為ε=0.25時輸出幅值的2.5倍。

3 總 結(jié)

本文研究了乘性方波信號和乘性雙值噪聲作用下的雙穩(wěn)系統(tǒng)，觀察到了兩種隨機共振現(xiàn)象，即傳統(tǒng)的隨機共振與廣義的隨機共振。當信噪比隨著乘性雙值噪聲強度、乘性白噪聲強度和加性白噪聲強度變化時，乘性系統(tǒng)出現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象。廣義的隨機共振出現(xiàn)在信噪比與系統(tǒng)參數(shù)、直流偏置及乘性方波信號幅度的關(guān)系曲線上。進一步將研究結(jié)果推廣，在天文信號處理方面，例如在不同接收機性能、無線電干擾信號注入情況下，對接收機噪聲的影響情況等。